Modelo de Cournot

Supuestos del modelo de Cournot

¡Repasemos los supuestos del modelo de Cournot!

• Hay varios supuestos en el modelo de Cournot:
  1. Las empresas son racionales y su objetivo es maximizar sus beneficios;
  2. Las empresas fabrican productos homogéneos;
  3. Las empresas compiten fijando las cantidades de producción;
  4. Las empresas toman decisiones simultáneamente;
  5. Las empresas consideran fija la producción de sus competidores;
  6. No hay cooperación entre las empresas;
  7. Las empresas tienen suficiente poder de mercado como para que su decisión sobre la producción pueda afectar al precio de mercado.

No te olvides de esto, ya que todo será más evidente en el siguiente apartado, en el que analizaremos el modelo matemáticamente.

Modelo de Cournot de Duopolio

Veamos el modelo de Cournot de un duopolio en términos de algunas ecuaciones matemáticas y gráficos!Como a los economistas les encanta divertirse, vamos a dar nombres a nuestras empresas: "La Empresa Feliz" y "La Empresa Afortunada".Suponemos que los productos que fabrican las empresas son homogéneos. Las dos empresas decidirán fijar sus cantidades simultáneamente. Cada empresa considerará primero lo que haría su competidora y después fijará su propia producción para maximizar sus beneficios.La Empresa Feliz está pensando en cómo afrontar este reto y decide crear un programa de todas las cantidades posibles que podría producir la Empresa Afortunada.La Empresa Feliz ha trazado una línea que representa cuánta producción debería producir dada la decisión de la Empresa Afortunada. Esta función se denomina función de reacción de la Empresa Feliz en un duopolio.

Imagina que la empresa Afortunada hace el mismo ejercicio y encuentra su función de reacción. Ahora podemos trazar estas dos funciones de reacción en un gráfico, como se muestra en la Figura 1 a continuación.

Fig. 1 - Ejemplo de funciones de reacción

La Figura 1 muestra las dos funciones de reacción: una para la Empresa Feliz y otra para la Empresa Afortunada. Las dos curvas tienen la misma forma porque las dos empresas de nuestro ejemplo son iguales. Las curvas de reacción tienen un aspecto diferente porque muestran la producción de una empresa que maximiza los beneficios dada la producción de la otra empresa. El punto de intersección de las dos funciones de reacción se conoce como equilibrio de Cournot. ¿Por qué es esto un equilibrio?Piénsalo de forma más general desde el punto de vista del equilibrio de Nash . Es un equilibrio porque, en este punto, ninguna empresa tiene incentivos para desviarse de su estrategia. O dicho de otro modo, cada empresa hace lo mejor que puede teniendo en cuenta lo que hace la otra empresa.

Supongamos que las empresas empiezan inicialmente a producir cantidades que difieren del equilibrio de Cournot. En ese caso, el modelo no puede predecir nada de la dinámica de los ajustes de cantidades, que es la limitación de este modelo.

Ejemplo de modelo de Cournot

¡Veamos un ejemplo de modelo de Cournot con ecuaciones y gráficos!

Volvamos a nuestra Empresa Feliz y Empresa Afortunada. Imagina que la curva de demanda del mercado es:\(P=300-Q=300-(Q_1+Q_2)\)

Donde:\(Q=Q_1+Q_2\)\(Q_1 - \hbox {la producción de la Empresa Feliz})\(Q_2 - \hbox {la producción de la Empresa Afortunada})\(Q - \hbox {la producción total de ambas empresas})Fijemos los costes marginales en cero para simplificar:\(MC_1=MC_2=0\)

¿Cómo podemos hallar la función de reacción de la empresa feliz?Recuerda la regla de maximización de beneficios:\(MC=MR\)

Necesitamos hallar los ingresos totales de la Empresa Feliz:

\(TR_1=P_veces Q_1=(300-Q)\veces Q_1=\)\(=300Q_1-(Q_1+Q_2)Q_1=\)\(=300Q_1-Q_1^2-Q_2Q_1\)El ingreso marginal es entonces la primera derivada con respecto a Q1:

\(MR_1=\frac{\Delta TR_1}{\Delta Q_1}=300-2Q_1-Q_2\)

Sabemos que

\(MC_1=0\)

Para que se cumpla la regla de maximización de beneficios:\(MC_1=MR_1=0\)\(MR_1=300-2Q_1-Q_2=0\)

Reorganízalo para hallar Q1:\(2Q_1=300-Q_2)\(Q_1=150-\frac{1}{2}Q_2) (1)¡Hemos hallado la función de reacción de la Empresa Feliz!

No necesitamos repetir todos estos cálculos para la Empresa Afortunada, ya que sabemos que su función de reacción es simétrica y es

\(Q_2=150-\frac{1}{2}Q_1\) (2)

Sabemos que el equilibrio de Cournot se produce cuando las dos funciones se cruzan. Entonces podemos introducir el valor de Q2 en la ecuación de Q1 (1) para obtener

\(Q_1=150-\frac{1}{2}\times(150-\frac{1}{2}Q_1)\) xml-ph-0000@deepl.internal \(Q_1=150-75+\frac{1}{4}Q_1\)

\(\frac{3}{4}Q_1=75\)

\(Q_1=100\)

¡Hemos encontrado Q1! Ahora podemos introducir el valor de Q1 en (2):

\(Q_2=150-\frac{1}{2}Q_1=150-\frac{100}{2}=100\)

¡Ahora también hemos encontrado Q2!

Resulta que la Empresa Feliz y la Empresa Afortunada producen las mismas cantidades, pero no tiene por qué ser así.

La cantidad total producida en el mercado es

\(Q=Q_1+Q_2=100+100=200\)

Ahora podemos hallar el precio de equilibrio del mercado a partir de la ecuación de demanda original:

\(P=300-Q=300-200=100\)

Esto significa que cada una de las dos empresas obtiene un beneficio equivalente a sus ingresos totales, ya que los costes marginales son nulos:

\(\pi_1=\pi_2=TR_1=TR_2=(300-Q)\times Q_i=(300-200)\times 100=10,000\)

¡Ya podemos representar nuestro equilibrio de Cournot en un diagrama! Echa un vistazo a la Figura 2

Fig. 2 - Ejemplo de equilibrio de Cournot

La figura 2 muestra un equilibrio de Cournot para el duopolio formado por las empresas Feliz y Afortunada. Observa que este equilibrio se produce en la intersección de las dos funciones de reacción. La función de reacción de cada empresa representa su producción dada la producción de su competidor.

Colusión en el modelo de Cournot

Imaginemos por un momento que las dos empresas decidieran coludirse. ¿Cómo sería entonces el equilibrio de Cournot? Sería racional que la Empresa Feliz y la Empresa Afortunada maximizaran sus beneficios totales y luego los repartieran como acordaran.

Recordemos la ecuación de demanda del mercado

\(P=300-Q\)

Los ingresos totales combinados de las dos empresas son entonces:

\(TR=P \times Q=(300-Q) \times Q =300Q-Q^2\)

Hallemos el ingreso marginal de la producción conjunta:

\(MR=\frac{\Delta TR}{\Delta Q}=300-2Q\)

Fijando MR igual a cero y resolviendo para Q se obtiene

\(Q=150\)

Ahora las dos empresas pueden producir las cantidades que quieran. Aun así, para maximizar conjuntamente los beneficios, necesitan que las cantidades totales sumen 150.

Los propietarios de la Empresa Feliz y de la Empresa Afortunada son amigos, así que deciden repartirse el beneficio a partes iguales. Por tanto, producen las mismas cantidades:

\(Q_1=Q_2=75\)

Lo que es interesante ver es algo llamado curva de colisión. Una curva de colisión mostraría todas las posibles combinaciones de producción que pueden realizar las empresas. Estas producciones sumarían inevitablemente 150 y, por tanto, maximizarían los beneficios conjuntos.

La ecuación de la curva de colisión es

\(Q_1=Q_2=75\)

Echa un vistazo a la Figura 3 para visualizarlo.

Fig. 3 - La curva de colisión

La Figura 3 muestra la curva de colusión en amarillo, que contiene algunas ideas muy importantes. Sin cooperación, las empresas pueden obtener menos beneficios y tener que producir más. Con cooperación, pueden restringir su producción conjunta y disfrutar de mayores beneficios.

La cantidad de beneficios que las empresas obtenían conjuntamente antes de la cooperación era:

\(\pi_1+\pi_2=10,000+10,000=20,000\)

Mediante la colusión, pueden obtener unos beneficios mayores de:

\(\pi_1+\pi_2=P \times Q = (300-150) \times 150 = 22.500\)

Modelo de Cournot vs. Modelo de Bertrand

¿Cuál es la diferencia entre el modelo de Cournot y el modelo de Bertrand? La principal diferencia es que en el modelo de Cournot las empresas compiten en cantidades. En cambio, en el modelo de Bertrand, las empresas compiten en precios. Esto tiene algunas implicaciones significativas.

Cournot consideraba que un duopolio colusorio actuaba como un monopolio en la fijación de precios y cantidades. En cambio, Bertrand veía que la competencia de precios en un duopolio conducía a un resultado similar al de la competencia perfecta.

Un equilibrio de Cournot es estable, y no hay incentivos para que las dos empresas se enzarcen en guerras de precios. Sin embargo, en el modelo de Bertrand, es probable que las empresas entren en una guerra de precios, bajando los precios hasta sus costes marginales hasta que ninguna empresa tenga incentivos para desviarse. Es decir, subir el precio por encima o bajarlo por debajo del coste marginal sería peor para la empresa. Este es un resultado que se produce de forma similar en el modelo de competencia perfecta.