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Definición del teorema del votante mediano
¿Cuál es la definición del teorema del votante mediano?
El teorema del votante mediano sugiere que el votante mediano decide qué política seleccionar de entre un conjunto de preferencias en un sistema de votación por mayoría.
Según Duncan Black, en los sistemas de votación por mayoría, los resultados de la votación dependerán de las preferencias del votante mediano.
Para comprender mejor la sugerencia, primero debemos definir qué es el votante mediano.
Dibujemos una línea que contenga las preferencias de la gente sobre un tema hipotético. En la Figura 1 de abajo, el eje x denota dicha línea. Contiene las posibles preferencias políticas sobre un tema hipotético. Supongamos que hay un agente, un votante. Podemos denotar cuánta utilidad obtiene de una preferencia con el eje y.
Por ejemplo, si elige la política \(P_2\), su beneficio será igual a \(u_2\). Como la utilidad que obtiene el agente de la primera política, \(u_1\), es menor que la utilidad que obtiene el agente de la segunda política, \(u_2\), el agente preferirá la segunda política, \(P_2\), a la primera política, \(P_1\).
Fig. 1 - Niveles de utilidad de X respecto a distintas políticas.
Sin embargo, en una sociedad existen muchos agentes con preferencias diferentes. Digamos que ahora hay cinco agentes en la sociedad \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\). Podemos denotar sus curvas de utilidad con \(u_{x_1},u_{x_2},u_{x_3},u_{x_4},u_{x_5}). La figura 2 muestra la combinación de agentes en una sociedad. Nuestro agente anterior x puede denotarse con \(x_1\) y su curva de utilidad será \(u_{x_1}\). De forma similar al esquema anterior, podemos denotar las utilidades de los agentes con el eje y y las políticas con el eje x.
Fig. 2 - Niveles de utilidad de la sociedad respecto a distintas políticas.
Puesto que buscan la mayor utilidad de las distintas políticas, cada agente quiere maximizar su utilidad. Por ejemplo, para el agente \(x_1\), la mayor utilidad puede obtenerse de la primera política, que se denota con \(P_1\). Puedes ver que en el punto \(A_1\), la curva de utilidad \(u_{x_1}\) alcanza su máximo local. Podemos dar un paso más y denotar la utilidad máxima de cada agente con \(A_1,A_2,A_3,A_4,A_5\) respectivamente.
En este escenario, el votante mediano es \(x_3\). Los votantes \(x_1\) y \(x_2\) perderán utilidad a medida que se acerquen a la tercera política,\(P_3\). Del mismo modo, los votantes \(x_4\) y \(x_5\) sufrirán al moverse en dirección opuesta hacia la tercera política. Los políticos seleccionarán la tercera política por obtener la mayor cantidad de votos debido a que con la tercera política, la utilidad combinada de la sociedad será mayor que con cualquier otra política.
Prueba del Teorema del Votante Mediano
Podemos demostrar el teorema del votante mediano con dos métodos. Un método es lógico y el otro es matemático. El teorema del votante mediano puede demostrarse desde dos perspectivas. Una es desde el punto de vista de los votantes, y la segunda es desde el punto de vista de los responsables políticos. Ambas pruebas dependen de la información sobre el otro grupo. Aquí nos centraremos en la prueba desde el punto de vista de los responsables políticos. Ambos enfoques siguen las mismas reglas. Por tanto, es fácil comprender el otro si alguien conoce alguno de ellos. Repasemos ahora la prueba lógica y la prueba matemática.
Supongamos que un partido puede seleccionar cinco políticas. Este partido cuenta con un grupo de analistas de datos que encuestaron a los cinco votantes y, a partir de sus respuestas, los analistas de datos conocieron las preferencias de los votantes. Como el partido quiere obtener la máxima cantidad de votos, este partido establece su programa con respecto a los votantes. Si el partido elige la primera política, \(P_1\), el cuarto y el quinto agente, \(x_4,x_5\), no votarán al partido, ya que su utilidad en \(P_1\) es cero. Del mismo modo, para la política \(P_2\), el cuarto agente obtendrá la utilidad \(u_1\), y el quinto agente seguirá obteniendo utilidad cero. En el gráfico siguiente, podemos ver las utilidades del cuarto y del quinto agente.
Fig. 3 - Las curvas de utilidad del cuarto y el quinto agente.
Podemos imaginar un escenario similar para el primer y el segundo agente. Como el partido quiere ganar tantos votantes como pueda, seleccionará la tercera política por el interés de todos. Así, la preferencia del votante mediano establece la agenda.
Aunque la demostración lógica es suficiente, podemos demostrar el teorema del votante mediano desde la perspectiva del partido político también con un enfoque matemático.
Podemos definir una sociedad con el conjunto \(S\) que contiene \(n\) elementos:
\(S = \{x_1,x_2...,x_{n-1},x_n\}\)
Podemos denotar todas las políticas posibles con el conjunto \(P\):
\(P = \{P_1,P_2...,P_{n-1},P_n\}\})
Y existe una función de utilidad \(u_\alpha\) con la forma anterior que asigna el nivel de utilidad de un agente a partir de una política para cada elemento del conjunto \(S\). Podemos denotarlo con lo siguiente
∃\(u_alpha(P_i)|| \alpha \en S\land P_i \en P\)
Y, por último, podemos denotar la utilidad combinada de la sociedad a partir de una política con la función \(g(P_i)\).
\(g(P_i) = \suma_{{alfa = 1}}^nu_{alfa(P_i)\})
Como el partido quiere maximizar la utilidad de la sociedad para conseguir los mayores votos posibles, tiene que maximizar la función \(g\).
Denotemos ahora una política, \(P_\delta\):
\(g(P_\delta) > g(P_i) | \para todo P_i \en P \)
Como \(g\) es una función cuadrática que puede generalizarse como
\(g(x) = -ax^2 + bx + c | a \in R^+ \land g(x) > 0\)
\(g^{''}(x) < 0\), (b^2 - 4ac > 0\)
Debe tener una línea de simetría vertical que se cruce con el punto en el que la función alcanza su valor máximo:
\(g^'}(P_\delta) = 0 \iff g(P_\delta) = g_{max}\)
Por tanto, \(P_\delta\) sólo puede ser la política de la media que maximiza la utilidad total de la sociedad.
Ejemplos del teorema del votante mediano
Ahora, para la aplicación del teorema del votante mediano, veamos un ejemplo de la vida real para aplicar el teorema del votante mediano. Supongamos que vas a elegir un gobernador para tu estado. Sin embargo, hay dos competidores. El primer candidato es el Sr. Anderson, y la segunda candidata es la Sra. Williams.
No obstante, el único debate que puede desempatar es sobre el tipo impositivo para construir una piscina financiada por el estado. Hay 5 grupos en la sociedad con respecto a las cantidades que están dispuestos a pagar. La piscina se diseñará y construirá en función de la cantidad de dinero. Ahora comprobemos los tipos impositivos y lo que el estado puede construir con ese tipo impositivo.
| Tipo impositivo | Especificaciones de la Construcción |
| 2% | Piscina estándar sin funciones adicionales |
| 4% | Piscina estándar con funciones adicionales como cafetería y gimnasio. |
| 6% | Piscina olímpica sin funciones adicionales. |
| 8% | Piscina olímpica con funciones adicionales como cafetería y gimnasio. |
| 10% | Piscina olímpica con funciones adicionales como cafetería y gimnasio, sauna y servicio de masajes. |
Tabla 1 - Tipos impositivos necesarios para una piscina financiada por el Estado.
Coloquemos nuestros costes en el eje x y la utilidad de los mismos en el eje y.
Fig. 4 - Tipos impositivos y ejes de utilidad.
La Sra. Williams es consciente de que esta piscina será un factor de desempate. Por ello, decide trabajar con una empresa de ciencia de datos. La empresa de ciencia de datos realiza una encuesta para conocer las preferencias del público. Los resultados son los siguientes
La sociedad se divide en cinco secciones iguales. En una sección, \(\delta_1\), hay ciudadanos que no quieren una piscina. Pero, por el bien de la sociedad, están dispuestos a pagar el 2%, pues creen que si viven en una sociedad feliz, serán más felices. Otra sección, \(\delta_2\), contiene agentes que están dispuestos a pagar un poco más de impuestos, el 4%, por la piscina financiada por el Estado. Sin embargo, como no creen que vayan a ir a menudo, no quieren invertir tanto en ella. Además, creen que debería haber una cafetería y un gimnasio. No les importa el tamaño de la piscina.
Una sección, \(\delta_3\), contiene agentes que quieren una piscina de gran tamaño. No necesitan tanto las funciones adicionales. Por tanto, son los que más se beneficiarán del tipo impositivo del 6%. Otra sección, \(\delta_4\), quiere invertir en natación más que los grupos anteriores. Quieren una piscina de grandes dimensiones con gimnasio y cafetería. Piensan que el 8% es el tipo impositivo óptimo. Y el último grupo, \(\delta_5\), quiere la mejor piscina posible. Creen que una sauna es necesaria para soltarse un poco y relajarse. Por tanto, creen que un tipo impositivo del 10% es aceptable y beneficioso.
La empresa compartió las siguientes curvas de utilidad aplicadas a nuestro gráfico anterior.
Fig. 5 - Funciones de utilidad de las secciones de la sociedad.
Ahora, como la Sra. Williams quiere ganar las elecciones, analiza el tipo impositivo que obtendrá más votos. Si elige el tipo impositivo del 2%, 2 secciones, la cuarta y la quinta, no la votarán, ya que su utilidad es cero. Si elige el tipo impositivo del 4%, una sección no la votará. Del mismo modo, si elige el tipo impositivo del 10%, el primer y el segundo grupo no la votarán porque su utilidad es cero. Si elige el tipo impositivo del 8%, perderá los votos del primer grupo. Sin dudarlo, elige el tipo impositivo medio para la piscina.
Podemos estar seguros de que si el número de preferencias es impar antes de la selección del tipo impositivo de la piscina y si el Sr. Anderson decide seleccionar cualquier otro tipo impositivo en lugar del 6%, ¡la Sra. Williams ganará estas elecciones!
Limitaciones del Teorema del Votante Medio
Lo habrás adivinado: existen limitaciones del teorema del votante medio. Si ganar elecciones puede ser tan fácil, ¿para qué sirven las campañas electorales? ¿Por qué los partidos no se centran simplemente en el votante medio?
Son preguntas bastante buenas. Para que el teorema del votante mediano funcione, deben cumplirse las siguientes condiciones.
Las preferencias de los votantes deben tener un solo pico.
Debe existir el votante mediano, lo que significa que el número total de grupos debe ser impar (Esto puede resolverse con métodos adicionales, pero no sin las herramientas necesarias).
No debe existir un ganador Condorcet.
Las preferencias de un solo pico significan que las curvas deben tener un punto positivo con su derivada igual a cero. En la Figura 6 mostramos una curva de utilidad con varios picos.
Fig. 6 - Una función con varios picos.
Como puedes ver en la Figura 6, la derivada en \(x_1\) y \(x_2\) son ambas cero. Por tanto, se incumple la primera condición. En cuanto a las otras dos condiciones, es trivial que exista un votante mediano. Y, por último, no debería existir una preferencia del Ganador de Condorcet. Esto significa que en la comparación por pares, una preferencia no debería ganar en todas las comparaciones.
¿No sabes qué es un ganador de Condorcet? Lo hemos tratado en detalle. No dudes en consultar nuestra explicación: Paradoja de Condorcet.
Crítica al Teorema del Votante Mediano
En la vida real, el comportamiento electoral es extremadamente complejo. La mayoría de las veces, los votantes tienen preferencias con múltiples picos. Además, en lugar de un espacio bidimensional, las preferencias son los resultados combinados de muchas políticas. Además, el flujo de información no es tan fluido como en el teorema, y puede haber falta de información por ambas partes. Esto puede hacer que sea muy difícil saber quién es el votante medio y cuál será la preferencia del votante medio.
¿Te interesa saber cómo aplicar los métodos económicos al estudio de la política? Consulta las siguientes explicaciones:
- Economía Política
- Paradoja de Condorcet
- Teorema de la Imposibilidad de Arrow
Teorema del votante mediano - Puntos clave
- El teorema del votante mediano forma parte de la teoría de la elección social propuesta por Duncan Black.
- El teorema del votante mediano sugiere que la preferencia del votante mediano marcará la agenda.
- Un ganador Condorcet impedirá la existencia del votante mediano.
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