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Cálculo del valor actual: Fórmula
La fórmula del cálculo del valor actual es
\(\hbox{Ecuación 2:}\})
\(C_0= \frac {C_t} {(1+i)^t})
Pero, ¿de dónde viene? Para entenderlo, primero debemos introducir dos conceptos: el valor temporal del dinero y el interés compuesto.
El valor temporal del dinero es el coste de oportunidad de recibir dinero en el futuro en lugar de hoy. El dinero es más valioso cuanto antes se reciba, porque entonces puede invertirse y ganar interés compuesto.
El valor temporal del dinero es el coste de oportunidad de recibir dinero más tarde que más pronto.
Ahora que entendemos el concepto de valor temporal del dinero, introducimos el concepto de interés compuesto. El interés compuesto es el interés ganado sobre la inversión original y el interés ya recibido. Por eso se llama interés compuesto, porque la inversión va ganando interés sobre interés... se va componiendo con el tiempo. El tipo de interés y la frecuencia con la que se compone (diaria, mensual, trimestral, anual) determinan la rapidez y la cantidad con la que aumenta el valor de una inversión a lo largo del tiempo.
Elinterés compuesto es el interés obtenido sobre la cantidad original invertida y el interés ya recibido.
La siguiente fórmula ilustra el concepto de interés compuesto:
\(\hbox{Cuadrado 1:}\})
\(\hbox{Valor final} = \hbox{Valor inicial} \veces (1 + caja de interés)^t)
\Si \ C_0=Caja de Entrada, C_1=Caja de Salida y \ entonces:} \)
\(C_1=C_0\times(1+i)^t\)
\(\hbox{Durante 1 año}\ t=1\hbox{, pero t puede ser cualquier número de años o periodos}\)
Así, si conocemos el valor inicial de la inversión, el tipo de interés devengado y el número de periodos de capitalización, podemos utilizar la ecuación 1 para calcular el valor final de la inversión.
Para comprender mejor cómo funciona el interés compuesto, veamos un ejemplo.
\(\hbox{Si} \ C_0=Caja de inicio, C_t=Caja final y \ i = tipo de interés, entonces:} \)
\(C_t=C_0 veces (1 + i)^t)
\(\hbox{Si} \ C_0=1.000 $, i=8%, y \ t=20 \hbox{ años, ¿cuál es el valor de la inversión} \Al cabo de 20 años, si los intereses se capitalizan anualmente, ¿cuál es el valor de la inversión?
\(C_{20}=1.000 $ por (1 + 0,08)^{20}=4.660,96 $)
Ahora que entendemos los conceptos de valor temporal del dinero e interés compuesto, podemos introducir por fin la fórmula de cálculo del valor actual.
Reordenando la ecuación 1, podemos calcular \(C_0) si conocemos \(C_1\):
\(C_0= \frac {C_1} {(1+i)^t}\)
De forma más general, para cualquier número dado de períodos t, la ecuación es
\(\hbox{Ecuación 2:}\})
\(C_0= \frac {C_t} {(1+i)^t}\)
Esta es la fórmula de cálculo del valor actual.
Elvalor actual es el valor actual de los flujos de caja futuros de una inversión.
Aplicando esta fórmula a todos los flujos de caja futuros previstos de una inversión y sumándolos, los inversores pueden fijar con precisión el precio de los activos en el mercado.
Cálculo del valor actual: Ejemplo
Veamos un ejemplo de cálculo del valor actual.
Supongamos que acabas de recibir una prima de 1.000 $ en el trabajo y piensas ingresarla en el banco, donde puede ganar intereses. De repente, tu amigo te llama y te dice que va a poner un poco de dinero en una inversión que paga 1.000 $ al cabo de 8 años. Si ingresas hoy el dinero en el banco, ganarás un 6% de interés anual. Si pones el dinero en esta inversión, tendrás que renunciar a los intereses del banco durante los próximos 8 años. Para obtener un trato justo, ¿cuánto dinero deberías poner hoy en esta inversión? En otras palabras, ¿cuál es el valor actual de esta inversión?
\(\hbox{La fórmula de cálculo del valor actual es:} \)
\(C_0=\frac{C_t} {(1 + i)^t} \)
\(\hbox{Si} \ C_t=1.000 $, i=6%, y \ t=8 \hbox{ años, ¿cuál es el valor actual de esta inversión?} \)
\(C_0=frac{1.000$} {(1 + 0,06)^8}=627,41$)
La lógica de este cálculo es doble. En primer lugar, quieres asegurarte de que obtendrías al menos el mismo rendimiento de esta inversión que si la depositaras en el banco. Eso, sin embargo, supone que esta inversión conlleva aproximadamente el mismo riesgo que poner el dinero en el banco.
En segundo lugar, con eso en mente, quieres averiguar cuánto es un valor justo invertir para obtener ese rendimiento. Si invirtieras más de 627,41 $, obtendrías un rendimiento inferior al 6%. Por otra parte, si invirtieras menos de 627,41 $, podrías obtener un rendimiento mayor, pero eso probablemente sólo ocurriría si la inversión es más arriesgada que poner tu dinero en el banco. Si, por ejemplo, invirtieras 200 $ hoy y recibieras 1.000 $ dentro de 8 años, obtendrías un rendimiento mucho mayor, pero el riesgo también sería mucho mayor.
Por tanto, los 627,41 $ igualan las dos alternativas, de modo que los rendimientos para inversiones de riesgo similar son iguales.
Veamos ahora un ejemplo más complicado de cálculo del valor actual.
Supongamos que quieres comprar un bono corporativo que actualmente rinde un 8% anual y vence dentro de 3 años. Los pagos del cupón son de 40 $ anuales y el bono paga el principal de 1.000 $ al vencimiento. ¿Cuánto deberías pagar por este bono?
\(\hbox{La fórmula de cálculo del valor actual también puede utilizarse para fijar el precio de un activo} \) \(\hbox{con múltiples flujos de caja} \hbox{con múltiples flujos de caja})
\(caja Si \ C_1 = 40 $, C_2 = 40 $, C_3 = 1.040 $, y \ i = 8\%, entonces:} \)
\(C_0=\frac{C_1} {(1 + i)^1} + \frac{C_2} {(1 + i)^2} + \frac{C_3} {(1 + i)^3} \)
\frac(C_0= \frac{$40} {(1,08)} + \frac{$40} {(1,08)^2} + \frac{$1.040} {(1,08)^3} = 896,92 $)
Pagar 896,92 $ por este bono te garantiza una rentabilidad del 8% en los próximos 3 años.
En el primer ejemplo sólo tuvimos que calcular el valor actual de un flujo de caja. El segundo ejemplo, sin embargo, nos exigía calcular el valor actual de múltiples flujos de caja y luego sumar esos valores actuales para obtener el valor actual global. Unos pocos periodos no están tan mal, pero cuando se trata de 20 ó 30 periodos o más, esto puede volverse muy tedioso y llevar mucho tiempo. Por eso, los profesionales financieros utilizan ordenadores, programas informáticos o calculadoras financieras para realizar estos cálculos más complejos.
Cálculo del valor actual neto
El cálculo del valor actual neto se utiliza para determinar si una inversión es o no una decisión acertada. La idea es que el valor actual de los flujos de caja futuros debe ser mayor que la inversión realizada. Es la suma de la inversión inicial (que es un flujo de caja negativo) y el valor actual de todos los flujos de caja futuros. Si el valor actual neto (VAN) es positivo, la inversión suele considerarse una decisión acertada.
Elvalor actual neto es la suma de la inversión inicial y el valor actual de todos los flujos de caja futuros.
Para comprender mejor el valor actual neto, veamos un ejemplo.
Supongamos que XYZ Corporation quiere comprar una nueva máquina que aumentará la productividad y, por tanto, los ingresos. El coste de la máquina es de 1.000 $. Se espera que los ingresos aumenten en 200 $ el primer año, 500 $ el segundo y 800 $ el tercero. Después del tercer año, la empresa tiene previsto sustituir la máquina por otra aún mejor. Supongamos también que, si la empresa no compra la máquina, los 1.000 $ se invertirán en bonos corporativos de riesgo que actualmente rinden un 10% anual. ¿Comprar esta máquina es una inversión inteligente? Podemos utilizar la fórmula del VAN para averiguarlo.
\(\hbox{Si la inversión inicial} \ C_0 = -$1.000 \)
\(\hbox{y} C_1 = 200 $, C_2 = 500 $, C_3 = 800 $, \hbox{y} \ i = 10\%, \hbox{entonces:} \)
\(VAN = C_0 + \frac{C_1} {(1 + i)^1} + \frac{C_2} {(1 + i)^2} + \frac {C_3} {(1 + i)^3} \)
\(VAN = -1.000$ + \frac{$200} {(1,1)} + \frac{$500} {(1,1)^2} + \frac{$800} {(1,1)^3} = 196,09 $)
\El rendimiento esperado de esta inversión es: } \frac{$196} {$1.000} = 19 {$1,000} = 19.6\% \)
Como el VAN es positivo, esta inversión se considera generalmente una inversión inteligente. Sin embargo, decimos generalmente porque hay otras métricas utilizadas para determinar si se debe o no asumir una inversión, que están fuera del alcance de este artículo.
Además, el 19,6% de rendimiento esperado al comprar la máquina es muy superior al 10% de rendimiento de los bonos corporativos de riesgo. Dado que las inversiones de riesgo similar deben tener rendimientos similares, con semejante diferencia, una de dos cosas debe ser cierta. O bien las previsiones de crecimiento de los ingresos de la empresa debido a la compra de la máquina son bastante optimistas, o bien la compra de la máquina es mucho más arriesgada que la compra de los bonos corporativos de riesgo. Si la empresa redujera sus previsiones de crecimiento de los ingresos o descontara los flujos de caja con un tipo de interés más alto, la rentabilidad de la compra de la máquina se acercaría más a la de los bonos corporativos de riesgo.
Si la empresa se siente cómoda tanto con sus previsiones de crecimiento de los ingresos como con el tipo de interés utilizado para descontar los flujos de caja, debería comprar la máquina, pero no debería sorprenderse si los ingresos no crecen tanto como se preveía, o si algo va mal con la máquina en los próximos tres años.
Fig. 2 - ¿Es un tractor nuevo una inversión inteligente?
Tipo de interés para el cálculo del valor actual
El tipo de interés para el cálculo del valor actual es el tipo de interés que se espera ganar con un determinado uso alternativo del dinero. Generalmente, se trata del tipo de interés de los depósitos bancarios, el rendimiento esperado de un proyecto de inversión, el tipo de interés de un préstamo, el rendimiento exigido a una acción o el rendimiento de un bono. En cada caso, puede considerarse como el coste de oportunidad de una inversión que da lugar a un rendimiento futuro.
Por ejemplo, si queremos determinar el valor actual de 1.000 $ que recibiríamos dentro de un año, lo dividiríamos por 1 más el tipo de interés. ¿Qué tipo de interés elegimos?
Si la alternativa a recibir 1.000 $ dentro de un año es ingresar el dinero en un banco, utilizaríamos el tipo de interés de los depósitos bancarios.
Sin embargo, si la alternativa a recibir 1.000 $ dentro de un año es invertir el dinero en un proyecto del que se espera que se obtengan 1.000 $ dentro de un año, utilizaríamos como tipo de interés el rendimiento esperado de ese proyecto.
Si la alternativa a recibir 1.000 $ dentro de un año es prestar el dinero, utilizaríamos el tipo de interés del préstamo como tipo de interés.
Si la alternativa a recibir 1.000 $ dentro de un año es invertirlos en la compra de acciones de una empresa, utilizaríamos el rendimiento exigido a las acciones como tipo de interés.
Por último, si la alternativa a recibir 1.000 $ dentro de un año es comprar un bono, utilizaríamos el rendimiento del bono como tipo de interés.
La conclusión es que el tipo de interés utilizado para calcular el valor actual es el rendimiento de un uso alternativo del dinero. Es el rendimiento al que renuncias ahora con la expectativa de recibir ese rendimiento en el futuro.
Fig. 3 - Banco
Piénsalo de esta manera. Si la persona A tiene un papel que dice que la persona B le debe a la persona A 1.000 $ dentro de un año, ¿cuánto vale hoy ese papel? Depende de cómo la persona B vaya a reunir el dinero para pagar los 1.000 $ dentro de un año.
Si la persona B es un banco, entonces el tipo de interés es el tipo de interés de los depósitos bancarios. La persona A depositará hoy en el banco el valor actual de 1.000 $ dentro de un año y recibirá 1.000 $ dentro de un año.
Si la persona B es una empresa que asume un proyecto, entonces el tipo de interés es el rendimiento del proyecto. La persona A dará a la persona B el valor actual de 1.000 $ dentro de un año y esperará que le devuelvan 1.000 $ dentro de un año con los rendimientos del proyecto.
Se pueden realizar análisis similares para préstamos, acciones y bonos.
Si quieres saber más, lee nuestras explicaciones sobre Banca y Tipos de activos financieros.
Es importante tener en cuenta que cuanto más arriesgada sea la forma de conseguir el dinero para devolver la inversión, mayor será el tipo de interés y menor el valor actual. Como poner el dinero en el banco tiene muy poco riesgo, el tipo de interés es bajo, por lo que el valor actual de 1.000 $ recibidos dentro de un año no es muy inferior a 1.000 $. Por otro lado, poner dinero en la bolsa es muy arriesgado, por lo que el tipo de interés es mucho más alto, y el valor actual de 1.000 $ recibidos dentro de un año es muy inferior a 1.000 $.
Si quieres saber más sobre el riesgo, ¡lee nuestra explicación sobre el Riesgo!
En general, cuando te plantean problemas de valor actual en economía, te dan un tipo de interés, pero rara vez te dicen qué tipo de interés se utiliza. Simplemente obtienes el tipo de interés y continúas con tus cálculos.
Cálculo del valor actual: Acciones de renta variable
El cálculo del precio de las acciones es básicamente un cálculo del valor actual. El precio es simplemente la suma del valor actual de todos los flujos de caja futuros. Para una acción, los flujos de caja futuros en la mayoría de los casos son los dividendos por acción pagados a lo largo del tiempo y el precio de venta de la acción en alguna fecha futura.
Veamos un ejemplo de utilización del cálculo del valor actual para fijar el precio de las acciones.
\La fórmula de cálculo del valor actual puede utilizarse para fijar el precio de una acción.
\Veamos una acción con dividendos pagados en 3 años.
\Supongamos que \ D_1 = 2 $, D_2 = 3 $, D_3 = 4 $, P_3 = 100 $, y \ i = 10\% \)
\(\hbox{donde:})
\(D_t = \hbox{El dividendo por acción en el año t}\})
\(P_t = \hbox{El precio de venta esperado de la acción en el año t}})
\(Entonces: P_0, el precio actual de la acción es:)
\(P_0=\frac{D_1} {(1 + i)^1} + \frac{D_2} {(1 + i)^2} + \frac{D_3} {(1 + i)^3} + \frac {P_3} {(1 + i)^3}\)
\frac(P_0=\frac{$2} {(1 + 0.1)^1} + \frac{$3} {(1 + 0.1)^2} + \frac{$4} {(1 + 0.1)^3} + \frac{$100} {(1 + 0,1)^3} = 82,43$)
Como puedes ver, utilizando este método, conocido como modelo de descuento de dividendos, un inversor puede determinar el precio de una acción hoy basándose en los dividendos esperados por acción y en el precio de venta esperado en alguna fecha futura.
Fig. 4 - Acciones
Queda una pregunta. ¿Cómo se determina el precio de venta futuro? En el año 3, simplemente volvemos a hacer este mismo cálculo, siendo el año 3 el año actual y los dividendos esperados en los años siguientes y el precio de venta esperado de la acción en algún año futuro los flujos de caja. Una vez hecho esto, volvemos a plantear la misma pregunta y volvemos a hacer el mismo cálculo. Como el número de años puede ser, en teoría, infinito, el cálculo del precio de venta final requiere otro método que queda fuera del alcance de este artículo.
Si quieres saber más sobre la rentabilidad esperada de los activos, ¡lee nuestra explicación sobre la Línea del Mercado de Valores!
Cálculo del valor actual - Puntos clave
- El valor temporal del dinero es el coste de oportunidad de recibir el dinero más tarde en lugar de más pronto.
- El interés compuesto es el interés ganado sobre la cantidad original invertida y el interés ya recibido.
- El valor actual es el valor actual de los flujos de caja futuros.
- El valor actual neto es la suma de la inversión inicial y el valor actual de todos los flujos de caja futuros.
- El tipo de interés utilizado para calcular el valor actual es el rendimiento de un uso alternativo del dinero.
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