Fig. 1 - La figura muestra a personas sentadas en círculo alrededor de una hoguera para sentir el mismo calor.
Ahora, sustituyamos el fuego por una carga, entonces todos los puntos de un círculo alrededor de la carga están al mismo potencial. En lugar del espacio bidimensional, elevemos la carga por encima del suelo, de modo que todos los puntos de la superficie de una esfera alrededor de esta carga estén a la misma distancia de la carga. En otras palabras, todos los puntos de la superficie de la esfera están al mismo potencial eléctrico. Esta superficie se denomina superficie equipotencial. En este artículo hablaremos de las superficies equipotenciales y sus propiedades, de un campo eléctrico en términos de gradiente de potencial eléctrico, del trabajo realizado sobre una superficie equipotencial y de cómo dibujar una superficie equipotencial en un mapa de líneas de campo eléctrico.
Definición de superficie equipotencial
En primer lugar, definamos qué es exactamente una superficie equipotencial.
La superficie en la que todos los puntos tienen el mismo potencial eléctrico se llama superficie equipotencial.
Antes de seguir explicándolo, es esencial conocer el potencial eléctrico y la diferencia de potencial eléctrico.
El potencial eléctrico describe la energía potencial eléctrica por unidad de carga en un punto del espacio, donde la energía potencial eléctrica describe la cantidad de trabajo realizado sobre una carga para desplazarla hasta ese punto del espacio desde algún punto de referencia.
Matemáticamente, el potencial eléctrico \(V\) puede expresarse como
\[V=\frac{U_{\mathrm{E}}}{q},\]
donde \(U_{mathrm{E}} es la energía potencial eléctrica, y \(q\) es la carga unitaria.
Como el potencial eléctrico siempre se define en términos de algún punto de referencia elegido, el valor absoluto del potencial eléctrico carece de significado físico. Lo importante, sin embargo, es el cambio de potencial al moverse entre dos puntos. Por tanto, si consideramos una carga puntual que se mueve entre dos puntos, ahora consideramos la diferencia de potencial eléctrico \(\Delta V\) :
\[\Delta V=\frac{\Delta U_{\mathrm{E}}}{q}].
Teniendo todo esto en cuenta, ahora podemos utilizar los mapas vectoriales del campo eléctrico y las líneas equipotenciales para describir el campo producido por las cargas, y así predecir el movimiento de los objetos cargados dentro de dicho campo eléctrico.
Superficie equipotencial y campo eléctrico
Supongamos ahora que una carga eléctrica positiva \(q_\mathrm{a}\) se mueve desde un punto inicial a un potencial eléctrico \(V_1\) hasta un punto final a un potencial eléctrico \(V_2\) hacia otra carga positiva \(q_\mathrm{b}\).
Fig. 2 - Movimiento de una carga positiva \(q_\mathrm{a}\) hacia otra carga positiva \(q_\mathrm{b}\) del punto A al B contra una fuerza electrostática de repulsión.
Sea \(W\) la cantidad de trabajo realizado por una fuerza electrostática de repulsión al mover \(q_\mathrm{a}\) de B a A. Utilizando todos los parámetros, la diferencia de potencial en el caso anterior es,
\[V_2-V_1=-\frac{W}{q_a}\]
o
\[V_2-V_1=-\frac{F\,\left(r_1-r_2\right)}{q_a}\tag{1}\]
Un campo eléctrico en términos de una fuerza eléctrica que actúa sobre una carga \(q_1\\) es,
\[E=\frac{F}{q_1}\tag{2}\]
A partir de las ecuaciones (1) y (2),
\[\begin{align*} xml-ph-0000@deepl.internal V_2-V_1&=-\frac{E\,q_\mathrm{a}\,\left(r_1-r_2\right)}{q_\mathrm{a}}\\ xml-ph-0001@deepl.internal V_2-V_1&=-E\,\left(r_1-r_2\right) xml-ph-0002@deepl.internal \end{align*}\]
Así pues, el cambio de potencial eléctrico entre dos puntos puede determinarse integrando el producto escalar del campo eléctrico con el desplazamiento a lo largo de la trayectoria que une los puntos
\delta V = V_\mathrm{2}-V_\mathrm{1}= -\int_{a}^{b} \vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{r}. \]
El campo eléctrico, por otra parte, puede hallarse utilizando\[E=-\frac{V_2-V_1}{r_1-r_2}.\]
En el movimiento tridimensional de una carga eléctrica, la ecuación anterior puede escribirse como
\[E=-\nabla V\tag{3}\]
Esta ecuación muestra que el campo eléctrico es un gradiente de potencial eléctrico, lo que significa que apunta perpendicular a la superficie equipotencial.
Las líneas equipotenciales representan líneas de igual potencial eléctrico. Este campo puede definirse en cualquier dirección en un lugar dado, por ejemplo, en la dirección \(x\) es así
\[E_x=-\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d}x}.\]
Ejemplos de superficie equipotencial
El ejemplo más adecuado para comprender las superficies equipotenciales es una distribución de carga en un conductor hueco cargado. Supongamos que suministramos carga a un conductor. La movilidad de una carga eléctrica es grande en el interior de un conductor. Debido a una fuerza electrostática de repulsión, las cargas eléctricas se distribuyen en la superficie de un conductor.
Fig. 3 - La figura muestra la distribución de la carga eléctrica en la superficie de un conductor hueco cargado, debido a su gran movilidad y a la fuerza electrostática de repulsión.
Según la ley de Gauss, el campo eléctrico en el interior del conductor hueco cargado es
\[E=\frac{Q}{\epsilon_0}\]
donde \(Q\) es la carga neta encerrada en el conductor. El diagrama muestra que la carga neta dentro del conductor es cero debido a la distribución de cargas eléctricas en la superficie de un conductor.
Por tanto, el campo eléctrico en el interior de un conductor es
\[E=0\,\mathrm{N\,C^{-1}}\tag{4}\]
A partir de las ecuaciones (3) y (4),
\[\nabla V=0\]
o
\[V=\mathrm{constant}\]
Esto indica que el potencial eléctrico permanece constante en el interior y en la superficie del conductor.
El interior de un conductor hueco cargado con un valor constante de potencial eléctrico se denomina volumen equipotencial.
La superficie de un conductor hueco cargado representa una superficie equipotencial. Del mismo modo, en el exterior del conductor, la superficie de esferas de distinto radio alrededor de los conductores representa superficies equipotenciales.
Fig. 4 - La figura muestra la superficie de esferas alrededor de un conductor como superficies equipotenciales.
Líneas de campo eléctrico y superficie equipotencial
Las líneas de campo eléctrico son uno de los métodos para representar gráficamente la dirección de un campo eléctrico alrededor de una carga eléctrica. La dirección de estas líneas de campo eléctrico es radialmente hacia fuera desde una carga positiva y radialmente hacia dentro hacia una carga negativa. La representación gráfica de estas líneas de campo eléctrico alrededor de una carga eléctrica se denomina mapa de campo eléctrico. El potencial eléctrico en un punto alrededor de una carga eléctrica en un espacio libre/vacío es
\[V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2},\]
donde \(\epsilon_0) es la permitividad eléctrica del espacio libre, \(q\) es una carga eléctrica alrededor de la cual se determina un potencial eléctrico, y \(r\) es la distancia del punto de prueba (donde se determina el valor de un potencial eléctrico) a una carga eléctrica.
La ecuación anterior muestra que el potencial eléctrico varía con la distancia. Por tanto, si consideramos una esfera alrededor de una carga eléctrica, cada punto de la esfera está a la misma distancia de la carga eléctrica. En otras palabras, \(V\) es constante en la superficie de la esfera. Esta superficie se llama superficie equipotencial.
La representación gráfica de esta superficie equipotencial en un mapa de campo eléctrico alrededor de una carga negativa \(-Q\) es la siguiente.
Fig. 5 - La figura muestra las superficies equipotenciales alrededor de la carga negativa en el mapa del campo eléctrico.
El diagrama anterior muestra que la dirección de un campo eléctrico es perpendicular a la superficie equipotencial.
Propiedades de las superficies equipotenciales
En los apartados anteriores hemos estudiado en detalle las superficies equipotenciales. Conozcamos más a fondo algunas propiedades principales de estas superficies.
Dos superficies equipotenciales nunca se cruzan (de lo contrario, en el punto de intersección habría dos vectores perpendiculares a ellas, por lo que habría dos campos eléctricos diferentes, lo cual es imposible).
La dirección de un campo eléctrico es siempre perpendicular a una superficie equipotencial.
Para una carga puntual, las superficies equipotenciales son esferas concéntricas.
La superficie de un conductor hueco cargado es una superficie equipotencial.
La cercanía de las superficies equipotenciales representa la mayor intensidad de un campo eléctrico en la región comprendida entre dichas superficies.
Superficie equipotencial - Puntos clave
- La superficie en la que todos los puntos tienen el mismo potencial eléctrico se denomina superficie equipotencial.
- El potencial eléctrico describe la energía potencial eléctrica por unidad de carga en un punto del espacio.
- Una superficie equipotencial es una superficie en la que la cantidad de trabajo realizado al mover una carga de un punto a otro es cero.
- El campo eléctrico es un gradiente de un potencial eléctrico, es decir, \(E=-\nabla V\).
- La dirección de un campo eléctrico es siempre perpendicular a una superficie equipotencial.
- Para una carga puntual, las superficies equipotenciales son esferas concéntricas.
- Dos superficies equipotenciales nunca se cruzan.
- La proximidad de las superficies equipotenciales representa la mayor intensidad de un campo eléctrico en la región comprendida entre dichas superficies.
Referencias
- Fig. 1 - Tocando los tambores en la hoguera, Sahara (https://unsplash.com/photos/1Ya-_vXJC8Q) de Tomáš Malík (https://unsplash.com/@malcoo) bajo licencia Unsplash (https://unsplash.com/license).
- Fig. 2 - Potencial eléctrico en un punto, StudySmarter Originals.
- Fig. 3 - Distribución de cargas eléctricas en un conductor, StudySmarter Originals.
- Fig. 4 - Superficies equipotenciales alrededor de un conductor, StudySmarter Originals.
- Fig. 5 - Superficies equipotenciales en el mapa del campo eléctrico, StudySmarter Originals.
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