Movimiento en dos dimensiones

Definición del movimiento en dos dimensiones

Aunque a diario observamos cosas que se mueven, rara vez nos detenemos en la pregunta "¿en cuántas dimensiones se produce este movimiento?". Uno de los ejemplos más sencillos de movimiento es un objeto que se mueve linealmente en una dimensión. Volvamos al ejemplo de la autopista. Un coche moviéndose a lo largo del eje x representa el movimiento en una dimensión.Si ese mismo coche se moviera en una dirección con unavelocidadconstante mientras acelera en otra dirección, sería un movimiento bidimensional .

Muchos de los objetos en movimiento que observamos y experimentamos cada día no se desplazan en línea recta, y su movimiento se describe mejor en dos dimensiones. En una dimensión, analizamos el movimiento de los objetos en línea recta estudiando el desplazamiento, la velocidad y la aceleración. Ahora, ¿cómo podemos ampliar lo que hemos aprendido sobre el movimiento en una dimensión a situaciones bidimensionales?

Fuerzas y movimientos en dos dimensiones

Para distinguir entre fuerza y movimiento , definamos exactamente qué entendemos por fuerza.

Las fuerzas que se ejercen sobre los objetos se deben siempre a la interacción de ese objeto con otro, como un empujón o un tirón. Un ejemplo de fuerza es lanzar una pelota de béisbol, ya que el proceso puede simplificarse en un objeto que es empujado por el aire. Del mismo modo,cuando la fricción actúa entre dos superficies, debemos considerar tanto la fuerza de fricción paralela a la superficie como la fuerza normal perpendicular a ella. Éstas se describen mejor utilizando las coordenadas x e y en dos dimensiones.

Dos grandes ejemplos de movimiento bidimensional son el proyectil y el circular, en los que las fuerzas relevantes son la gravitatoria y la centrípeta, respectivamente.

Movimiento de proyectiles

El movimiento de los proyectiles es un caso especial de movimiento bidimensional.

Al analizar el movimiento de un proyectil, es fundamental recordar que siempre es mejor dividir el movimiento en dos componentes: una a lo largo del eje horizontal y otra a lo largo del eje vertical.

Cuando un proyectil se lanza en ángulo, el objeto se mueve en las direcciones x e y simultáneamente. Éstas pueden expresarse mediante vectores, cuya suma dará como resultado un vector neto. Lamayoría de las veces, el movimiento de un proyectil se modela sin incluir los efectos de la resistencia del aire, por lo que puede ignorarse.

Al despreciar la resistencia del aire, la componente horizontal de la velocidad de un proyectil no tiene ninguna fuerza neta que actúe sobre ella, mientras que la componente vertical sólo se ve afectada por la fuerza de la gravedad, lo que significa que el término de aceleración \(a_y\) puede sustituirse por la aceleración debida a la gravedad \(g\).

Movimiento circular uniforme

Otro ejemplo común de movimiento bidimensional es el movimiento circular uniforme.

Aunque la velocidad sea constante, la rapidez no lo es. Esto se debe a que la dirección del vector velocidad cambia de un punto a otro a lo largo de la trayectoria que recorre. El hecho de que la velocidad cambie significa que la aceleración es distinta de cero.

En el movimiento circular, siempre existe una aceleración centrípeta cuya magnitud puede expresarse como \(a_\mathrm{c}\),

\[a_\mathrm{c}=\frac{v^2}{r},\]

donde \(r\) es el radio del círculo. Como resultado, existe una fuerza centrípeta que apunta al centro del círculo definido por el movimiento del objeto. Esta fuerza cambia la dirección del vector velocidad del objeto, pero no su magnitud. Por último, el tiempo que se tarda en completar una revolución completa se conoce como periodo \(T\) y viene dado por la ecuación

\[T=\frac{2 \pi r}{v}.\]

Algunos buenos ejemplos de movimiento circular son una noria o un satélite en órbita alrededor de un planeta.

Fórmulas del movimiento en dos dimensiones

Antes de enumerar todas las ecuaciones de movimiento relevantes para dos dimensiones, recordemos las principales ecuaciones del movimiento en una dimensión.

Tabla 1 - Ecuaciones cinemáticas del movimiento en una dimensión con aceleración constante.

El movimiento en dos dimensiones se describe mediante las mismas ecuaciones que las recopiladas en la Tabla 1, la única diferencia está en la notación. En el movimiento bidimensional consideramos dos direcciones (x e y), por lo que la notación para la posición pasa a ser:

\[ \Delta \vec{r}=\vec{r}_2-\vec{r}_1,\]

donde \( \vec{r}_1\) y \( \vec{r}_2\) son vectores desde el origen hasta los puntos \( A\) y \( B\) de la figura 2. Cada uno de estos vectores tiene componentes x e y.

Fig. 2 - Ejemplo de movimiento en dos dimensiones.

En este caso, la velocidad media es el vector desplazamiento \( \overrightarrow{A B}\) dividido por el tiempo que tarda el objeto en moverse de \( A\) a \( B\). La velocidad instantánea, por otro lado, puede expresarse como

\[\vec{v}= \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t},\]

donde la componente x es igual a

\[v_x= \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}.\]

La aceleración instantánea es el cambio de velocidad en el tiempo:

\[\vec{a}= \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}.\]

Como no es cómodo hacer cálculos con vectores, para resolver problemas de movimiento bidimensional utilizamos las componentes de los vectores. Entonces las ecuaciones vectoriales se convierten en ecuaciones algebraicas, iguales a las ecuaciones utilizadas en el movimiento unidimensional, que son más fáciles de resolver utilizando operaciones matemáticas elementales. Siguiendo esa lógica, todas las ecuaciones de la Tabla 1 pueden dividirse en componentes x e y:

\v_x&=v_{0 x}+a_x t \ v_y&=v_{0 y}+a_y t \end{align}

al calcular la velocidad,

\x-x_0&=v_0 x} t+\frac{1} {2} a_x t^2 \ y-y_0&=v_0 y} t+\frac{1} {2} a_y t^2, \end{align}

para obtener las componentes de posición, y

\v_x^2&=v_{0 x}^2 +2 a_x(x-x_0) v_y^2&=v_{0 y}^2 +2 a_y(y-y_0). \fin{align}

La descomposición de las expresiones en componentes convierte un problema de movimiento bidimensional en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Es más fácil comprender estas ecuaciones mediante su aplicación en problemas de ejemplo.

Ejemplos de movimiento en dos dimensiones

Veamos un problema de ejemplo del movimiento de un proyectil en dos dimensiones.

Movimiento en tres dimensiones

Al igual que al pasar del movimiento unidimensional al bidimensional, los objetos en tres dimensiones pueden analizarse utilizando relaciones cinemáticas unidimensionales si el movimiento se separa en componentes. Para conseguirlo, se introduce un tercer eje, por lo que ahora todo se describe utilizando coordenadas x, y y z.

Se aplica la notación vectorial unitaria para representar los vectores como la suma de sus componentes constituyentes en cada dirección. Las coordenadas habituales de x, y y z, se representan por \(\hat{i}\), \ (\hat{j}\) y\ (\hat{k}\), respectivamente. Por ejemplo, un vector \(\vec{r}\) en un espacio de tres dimensiones puede escribirse como

\Inicio \vec{r}&=(A, B, C) \vec{r}&=A\hat{i}+B\hat{j}+C\hat{k}. \fin{align}

Fig. 4 - Un giroscopio visualiza claramente el movimiento en tres dimensiones.

Un ejemplo de movimiento tridimensional es el movimiento de un giroscopio. En temas posteriores de Mecánica, como Electricidad y Magnetismo, se tratará más sobre cómo describir cualitativamente el movimiento de una partícula en el espacio tridimensional.