Definición de movimiento en una dimensión
Cuando decimos que un objeto está "en movimiento", queremos decir que su posición cambia con el tiempo. Para el movimiento unidimensional, esto significa que el objeto se mueve sólo en línea recta: piensa en viajar en línea recta a lo largo del eje x o y en una gráfica, o en una línea como \(x=2\). O imagina que vas en bici por un camino recto y llano, sin giros ni curvas.
El movimientoen una dimensión se produce cuando la posición de un objeto cambia a lo largo de una línea recta.
El movimiento en una dimensión implica un cambio de posición en una sola coordenada espacial. Ir en bicicleta por un camino recto y llano es un ejemplo de movimiento en una dimensión, Robert Cramer vía Wikimedia Commons CC BY-SA 3.0
Muchas de las cantidades que utilizamos en nuestro estudio del movimiento son cantidades vectoriales, por lo que debemos comprender la diferencia entre vectores y escalares antes de continuar.
Un escalar es una cantidad que sólo tiene magnitud y ningún valor direccional.
Un vector es una cantidad que tiene magnitud y dirección.
La cinemática es el estudio del movimiento sin referencia a las fuerzas causales implicadas. El movimiento en una dimensión, implica situaciones como el desplazamiento a lo largo de una línea recta o la caída de un objeto después de dejarlo caer desde cierta altura. Hay un puñado de variables y fórmulas que necesitamos aprender para comprender el movimiento en una dimensión, así que vamos a sumergirnos en cada una de ellas a continuación.
Fórmulas del movimiento en una dimensión
Para describir el movimiento en una dimensión utilizamos las siguientes variables: posición,desplazamiento, distancia, rapidez, velocidad y aceleración. Te interesará conocer el significado de cada una de ellas, así como algunas definiciones importantes basadas en el cálculo para estas cantidades. Empecemos por las tres primeras variables de la lista.
Posición, desplazamiento y distancia
Saber describir dónde se encuentra un objeto en el espacio será esencial a lo largo de tu estudio de la física. La primera variable que utilizamos para comprender la ubicación es la posición.
La posición es una cantidad vectorial que representa la ubicación espacial de un objeto medida en un sistema de coordenadas definido.
Lo más frecuente es que utilices el plano de coordenadas cartesianas bidimensional para describir el movimiento en una y dos dimensiones. Para trazar la posición, las coordenadas \(x\) y \(y\) de una gráfica 2D representan la ubicación del objeto en el espacio.
Utilizamos el sistema de coordenadas cartesianas bidimensional para trazar y analizar el movimiento tanto en una como en dos dimensiones, StudySmarter Originals
En el gráfico anterior, la posición inicial de un objeto en movimiento es \((1,1)\) y la posición final es \((3,1)\). La flecha dibujada entre las posiciones inicial y final es el desplazamiento del objeto.
El desplazamiento es una magnitud vectorial que mide el cambio de posición respecto a su posición inicial. Calculamos el desplazamiento mediante la siguiente fórmula
$$ \Delta x = x_f -x_0, $$
donde \(x\) es la variable de posición y \(x_0\) es la posición inicial.
El \(\Delta x\) se lee en voz alta como "el cambio en x" o "delta x". En nuestra gráfica de ejemplo anterior, el desplazamiento es de \(\Delta x = (3-1) = 2\) unidades de longitud. Por tanto, si las unidades de longitud fueran metros, el desplazamiento total del objeto en movimiento es de \(2\) metros. Te preguntarás, ¿qué relación tiene esto con la distancia recorrida, no son lo mismo? La respuesta es ¡no!
La distancia es una cantidad escalar que mide la longitud total recorrida con referencia a la posición inicial.
Medimos tanto el desplazamiento como la distancia en unidades de longitud, normalmente metros, o \(\mathrm{m}\). La dirección de desplazamiento es muy importante para el desplazamiento, ¡así que presta atención al calcular! El desplazamiento de un objeto puede ser cero si terminamos en el mismo lugar donde empezamos, pero la distancia total siempre será distinta de cero si nos hemos movido algo. En nuestro gráfico, la distancia recorrida es la misma que el desplazamiento aquí. Sin embargo, si el objeto volviera a su posición inicial, entonces el desplazamiento sería cero con una distancia total recorrida de \(4\) unidades.
Velocidad y rapidez
Las dos siguientes magnitudes que utilizamos para el movimiento en una dimensión son la rapidez y la velocidad.
La velocidad es una cantidad escalar que mide la variación de la distancia en un intervalo de tiempo. Matemáticamente, definimos la velocidad como
$$ s=frac{d}{t}, $$
donde \(d\) es la distancia total recorrida y \(t\) es el tiempo transcurrido.
De forma similar a la diferencia entre distancia y desplazamiento, la distinción clave entre rapidez y velocidad es que la velocidad es una cantidad vectorial, mientras que la rapidez no lo es.
La velocidad es una cantidad vectorial que mide el índice de cambio de desplazamiento sobre el cambio en el tiempo. Matemáticamente, definimos la velocidad en la dirección x como
$$ v_x = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(x\left(t\right)\right), $$
la primera derivada de la función de posición respecto al tiempo.
Medimos tanto la rapidez como la velocidad en unidades de longitud por tiempo, normalmente metros por segundo, o \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}). Diferenciando la tasa de cambio de posición de un objeto en movimiento con respecto al tiempo obtendremos la velocidad instantánea, o la velocidad medida en un momento concreto del tiempo:
$$ v_{x,(\mathrm{inst})} = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}. $$
Si, en cambio, queremos hallar la velocidad media, podemos utilizar la siguiente fórmula:
$$ v_{x,(\mathrm{avg})} = \frac{x_f-x_0}{t_f-t_0} = \frac{\Delta x}{\Delta t}, $$
donde \(\Delta x\) es el cambio de posición y \(\Delta t\) es el cambio de tiempo. Esta fórmula es útil si te dan los valores numéricos de las posiciones inicial y final y del tiempo.
Otra forma de escribir la fórmula matemática de la velocidad es
\bin{align*} v\left(t\right) &= \ x'\left(t\right) \\ x\left(t\right) &= \int{v(t)\mathrm{d}t}. \fin{align*}
En palabras, esto significa que la primera derivada de la función de posición de un objeto da la función de velocidad, y la integral de la función de velocidad da la función de posición. Ambas operaciones se realizan con respecto al tiempo. Utilizarás estas relaciones para determinar una función dada la otra.
Aceleración
Definimos la aceleración de un objeto en movimiento en una dimensión como sigue.
La aceleración es una magnitud vectorial que mide el índice de variación de la velocidad en el tiempo. Matemáticamente, definimos la aceleración como
\a_x &= \frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t}v_x(t) \frac{mathrm{d}^2}{mathrm{d}t^2}x(t), \end{align*}.
la primera derivada de la función velocidad respecto al tiempo, y la segunda derivada de la función posición respecto al tiempo.
Medimos la aceleración en unidades de longitud por unidad cuadrada de tiempo, normalmente metros por segundo al cuadrado, o \frac(\frac{mathrm{m}}{mathrm{s}^2}). En pocas palabras, la aceleración es un cambio de velocidad. Este cambio de velocidad puede ser una aceleración o una ralentización, o también un cambio de dirección. La aceleración instantánea, o aceleración en un momento concreto del tiempo, es
$$ a_{x,(\mathrm{inst})} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t.} $$
Para hallar la aceleración media durante un periodo de tiempo, utilizamos la fórmula
$$ a_{x,(\mathrm{avg})} = \frac{v_f-v_0}{t_f-t_0} = \frac{\Delta v}{\Delta t}, $$
donde \(\Delta v\) es el cambio de velocidad. Por último, podemos escribir de nuevo esta relación entre las funciones de posición, velocidad y aceleración de forma diferente utilizando el cálculo:
\begin{align*} a(t) &= v'(t) = x''(t) \t(t) &= \int{a(t)\mathrm{d}t} \\ x(t) &= \int{v(t)\mathrm{d}t} = \iint{a(t)\mathrm{d}t}. \fin{align*}
En palabras, esto dice que la función velocidad es la integral de la función aceleración, y la función posición es la integral doble de la función aceleración.
Descripción del movimiento y la cinemática en una dimensión
Aparte de las variables que acabamos de introducir, una de las herramientas más importantes para describir el movimiento y la cinemática unidimensionales son las gráficas. Algunos de los gráficos que tendrás que entender tanto cómo interpretar como crear son:
Gráficas de posición-tiempo, que muestran la distancia recorrida en el tiempo desde el punto de partida.
Gráficas de velocidad-tiempo, que muestran los cambios de velocidad a lo largo del tiempo.
Gráficas de aceleración-tiempo, que muestran los cambios en la aceleración a lo largo del tiempo.
Veamos brevemente cada uno de estos tres tipos de gráficos.
Una gráfica posición-tiempo representa la posición \(x\) en el eje vertical y el tiempo \(t\) en el eje horizontal.
En este gráfico, la magnitud del vector de posición nos dará la distancia recorrida:
$$ \Delta x = 3-0 = 3\,\mathrm{m}. $$
La pendiente de una gráfica posición-tiempo en un punto dado nos dará el valor de la velocidad en ese punto. Cuando la pendiente es cero, la velocidad también será cero. La pendiente de esta recta es simplemente igual a \(1\), por lo que la velocidad aquí es \(1\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}).
A continuación, veamos un gráfico de velocidad-tiempo.
Una gráfica velocidad-tiempo representa la velocidad en el eje vertical y el tiempo en el eje horizontal.
El trazado de la velocidad en función del tiempo muestra los aumentos y disminuciones de la velocidad.También podemos determinar la aceleración en cualquier punto hallando la pendiente de una recta tangente en ese punto, StudySmarter Originals
El área bajo las gráficas velocidad-tiempo nos dará el desplazamiento del objeto en movimiento. En esta gráfica, si calculamos el área del rectángulo sombreado en amarillo, hallaremos el desplazamiento ocurrido entre los tiempos \(t_1\) y \(t_2\). Si hallamos la pendiente de un punto a lo largo de la curva, obtendremos la aceleración en ese momento.
Ahora bien, ¿qué ocurre con la aceleración antes, durante y después del tiempo \(t_1\)? En el gráfico anterior, hay treslíneas tangentes cerca de la región de máxima velocidad. Estas rectas tienen una pendiente equivalente a la curva en ese punto. Justo antes del tiempo \
Por último, examinemos una gráfica de aceleración-tiempo.
Una gráfica de aceleración-tiempo representa la aceleración en el eje vertical y el tiempo en el eje horizontal.
El área bajo las gráficas de aceleración-tiempo dará el cambio en la velocidad \(\Delta v\) de un objeto en movimiento durante el intervalo de tiempo cubierto en la gráfica. En este gráfico, el objeto en movimiento en cuestión tiene una aceleración constante de \(1,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}). Por ahora, es probable que no utilices tanto estas gráficas, pero sigue siendo beneficioso saber a qué atenerse.
Quizá te preguntes qué medimos con las gráficas de aceleración-tiempo. La velocidad de cambio de la aceleración es otra variable del movimiento llamada sacudida. La sacudida se define matemáticamente como
$$ \mathrm{jerk} = \frac{\Delta a}{\Delta t}, $$
donde \(\Delta a\) es el cambio en la aceleración. En una gráfica aceleración-tiempo, la pendiente de la curva da el valor de la sacudida en un punto concreto del tiempo. Si el nombre de esta variable te parece extraño, piensa en ella como el tipo de movimiento brusco que se produce cuando cambias repentinamente de aceleración, como al frenar de golpe un coche en marcha.
Las gráficas del movimiento en una dimensión, junto con algo de cálculo, son poderosas ayudas para comprender todo tipo de movimientos. Ahora que hemos repasado las herramientas que necesitamos, veamos un tipo de problema habitual: el movimiento vertical de un proyectil en una dimensión.
Movimiento vertical de proyectil en una dimensión
Uno de los primeros tipos de problemas con los que te encontrarás es el movimiento de proyectil.
El movimiento deproyectil es el movimiento de un objeto que se lanza al aire, acelerando sólo debido a la gravedad.
El movimiento de proyectilvertical es el movimiento de un objeto lanzado hacia arriba, que sólo tiene una componente vertical en su velocidad.
Un objeto lanzado directamente al aire acelerará hacia abajo debido a la gravedad, MikeRun vía Wikimedia Commons CC BY-SA 4.0
En un problema de movimiento vertical de proyectil, lanzamos un objeto como una pelota al aire, partiendo de una posición vertical inicial de \(h_0\). Durante el lanzamiento, sólo damos al objeto una velocidad vertical inicial \(v_{x,0}\); la componente horizontal es cero. Tras el lanzamiento inicial, la bola alcanza una altura máxima antes de acelerar de nuevo hacia abajo debido a la gravedad. Esto es sólo una breve introducción; más adelante entraremos en los detalles del movimiento vertical de proyectiles en una dimensión.
Ejemplos de movimiento en una dimensión
Para terminar nuestra introducción al movimiento en una dimensión, veamos un ejemplo
Un objeto se desplaza con la función de velocidad \(v(t) = 5,5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot t+2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \). ¿Qué distancia recorre el objeto en medio minuto?
Utilizaremos las unidades más comunes para la velocidad y la mediremos en unidades estándar de \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}. Recuerda la relación entre posición y velocidad:
$$ x(t) = \int v(t) \mathrm{d}t. $$
Queremos integrar la función velocidad en el intervalo de tiempo, partiendo de cero y terminando en \(30\) segundos.
\begin{align*} x(t) &= \int_0^{30} \left(5.5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \(5,5frac {mathrm{m}} {mathrm{s}} derecha)\mathrm{d}t x(t) &= \frac{5,5frac {mathrm{m}} {mathrm{s}}^2} \cdot t^2}{2} + x(30,\mathrm{s}) &= \frac{5,5\frac{mathrm{s}} {\mathrm{s}^2} \cdot (30\,\mathrm{s})^2}{2} + 2frac {{mathrm{m}} {{mathrm{s}} {\cdot 30,\mathrm{s}} x(30,\mathrm{s}) &= 2475,\mathrm{m} +60\Nmathrm{s} \\ x(30\mathrm{s}) &= 2535\mathrm{m}end{align*}
El objeto se desplaza \(2535,\mathrm{m}) sobre \(30,\mathrm{s}).
Veamos un ejemplo más, esta vez utilizando la definición de velocidad del cálculo.
Un objeto se mueve a lo largo del eje x con una ecuación de posición de \(x(t) = 4\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}{\cdot t^2-7\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}{\cdot t+3\mathrm{m}}). \cdot t+3\mathrm{m}\), con \(x\) medido en \(m)\). En el momento \(t=5\,\mathrm{s}), ¿cuál es la velocidad instantánea del objeto?
Sabemos que la relación entre la velocidad y la posición de un objeto que experimenta un movimiento unidimensional es
$$ v(t) = x'(t). $$
En primer lugar, queremos tomar la segunda derivada de la función de posición dada anteriormente.
\v(t) &= x'(t) v(t) &= \frac{{mathrm{d}}{mathrm{d}}t}left(4\frac{mathrm{m}}{mathrm{s}^2}\cdot t^2-7\frac{mathrm{m}}{mathrm{s}) \cdot t+3\mathrm{m} \derecha) v(t) &= 8\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot t-7\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}. \fin{align*}
Por último, introducimos nuestro valor de \(t\) y resolvemos la velocidad:
\v(5\,\mathrm{s}) &= 8\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}. \cdot (5\,\mathrm{s})-7\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\ v(5\,\mathrm{s}) &= 33\,\frac{\mathrm{m}}{mathrm{s}}.end{align*}
En \(t=5,\mathrm{s}), la velocidad del objeto es igual a \(33,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.
Ahora que has visto una introducción al movimiento en una dimensión, tu siguiente paso es aprender cinemática unidimensional, o el estudio del movimiento sin referencia a las fuerzas implicadas. Trataremos más fórmulas cinemáticas para el movimiento en una dimensión en el artículo Ecuaciones cinemáticas, ¡así que sigue leyendo!
Movimiento en una dimensión - Puntos clave
- El movimiento en una dimensión es el cambio de posición de un objeto a lo largo de una única dimensión espacial.
- Podemos identificar si un objeto está en movimiento examinando sus cambios de posición y dirección, o velocidad, a lo largo de una trayectoria.
- La posición es la cantidad vectorial que mide la posición espacial de un objeto, representada normalmente con un par de coordenadas.
- El desplazamiento es la cantidad vectorial que mide el cambio de posición de un objeto respecto a su posición inicial, y se calcula mediante la fórmula \(\Delta x = x_f-x_0\).
- La distancia es la cantidad escalar que mide la longitud total que recorre un objeto en un periodo de tiempo medido.
- La velocidad es la cantidad escalar que mide la distancia recorrida en un periodo de tiempo y describe la rapidez con que se desplaza un objeto sin tener en cuenta la dirección, calculada mediante la fórmula \(s=\frac{d}{t}\).
- La velocidad es la cantidad vectorial que mide el índice de cambio de posición con respecto al tiempo, o \(v_x = \frac{mathrm{d}x}{mathrm{d}t}).
- La aceleración es la cantidad vectorial que mide el índice de cambio de la velocidad con respecto al tiempo, o \(a_x = \frac{mathrm{d}v}{mathrm{d}t}).
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