Movimiento en Una Dimensión

Fórmulas del movimiento en una dimensión

Para describir el movimiento en una dimensión utilizamos las siguientes variables: posición,desplazamiento, distancia, rapidez, velocidad y aceleración. Te interesará conocer el significado de cada una de ellas, así como algunas definiciones importantes basadas en el cálculo para estas cantidades. Empecemos por las tres primeras variables de la lista.

Posición, desplazamiento y distancia

Saber describir dónde se encuentra un objeto en el espacio será esencial a lo largo de tu estudio de la física. La primera variable que utilizamos para comprender la ubicación es la posición.

Lo más frecuente es que utilices el plano de coordenadas cartesianas bidimensional para describir el movimiento en una y dos dimensiones. Para trazar la posición, las coordenadas \(x\) y \(y\) de una gráfica 2D representan la ubicación del objeto en el espacio.

Utilizamos el sistema de coordenadas cartesianas bidimensional para trazar y analizar el movimiento tanto en una como en dos dimensiones, StudySmarter Originals

En el gráfico anterior, la posición inicial de un objeto en movimiento es \((1,1)\) y la posición final es \((3,1)\). La flecha dibujada entre las posiciones inicial y final es el desplazamiento del objeto.

El \(\Delta x\) se lee en voz alta como "el cambio en x" o "delta x". En nuestra gráfica de ejemplo anterior, el desplazamiento es de \(\Delta x = (3-1) = 2\) unidades de longitud. Por tanto, si las unidades de longitud fueran metros, el desplazamiento total del objeto en movimiento es de \(2\) metros. Te preguntarás, ¿qué relación tiene esto con la distancia recorrida, no son lo mismo? La respuesta es ¡no!

Medimos tanto el desplazamiento como la distancia en unidades de longitud, normalmente metros, o \(\mathrm{m}\). La dirección de desplazamiento es muy importante para el desplazamiento, ¡así que presta atención al calcular! El desplazamiento de un objeto puede ser cero si terminamos en el mismo lugar donde empezamos, pero la distancia total siempre será distinta de cero si nos hemos movido algo. En nuestro gráfico, la distancia recorrida es la misma que el desplazamiento aquí. Sin embargo, si el objeto volviera a su posición inicial, entonces el desplazamiento sería cero con una distancia total recorrida de \(4\) unidades.

Velocidad y rapidez

Las dos siguientes magnitudes que utilizamos para el movimiento en una dimensión son la rapidez y la velocidad.

De forma similar a la diferencia entre distancia y desplazamiento, la distinción clave entre rapidez y velocidad es que la velocidad es una cantidad vectorial, mientras que la rapidez no lo es.

Medimos tanto la rapidez como la velocidad en unidades de longitud por tiempo, normalmente metros por segundo, o \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}). Diferenciando la tasa de cambio de posición de un objeto en movimiento con respecto al tiempo obtendremos la velocidad instantánea, o la velocidad medida en un momento concreto del tiempo:

$$ v_{x,(\mathrm{inst})} = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}. $$

Si, en cambio, queremos hallar la velocidad media, podemos utilizar la siguiente fórmula:

$$ v_{x,(\mathrm{avg})} = \frac{x_f-x_0}{t_f-t_0} = \frac{\Delta x}{\Delta t}, $$

donde \(\Delta x\) es el cambio de posición y \(\Delta t\) es el cambio de tiempo. Esta fórmula es útil si te dan los valores numéricos de las posiciones inicial y final y del tiempo.

Otra forma de escribir la fórmula matemática de la velocidad es

\bin{align*} v\left(t\right) &= \ x'\left(t\right) \\ x\left(t\right) &= \int{v(t)\mathrm{d}t}. \fin{align*}

En palabras, esto significa que la primera derivada de la función de posición de un objeto da la función de velocidad, y la integral de la función de velocidad da la función de posición. Ambas operaciones se realizan con respecto al tiempo. Utilizarás estas relaciones para determinar una función dada la otra.

Aceleración

Definimos la aceleración de un objeto en movimiento en una dimensión como sigue.

Medimos la aceleración en unidades de longitud por unidad cuadrada de tiempo, normalmente metros por segundo al cuadrado, o \frac(\frac{mathrm{m}}{mathrm{s}^2}). En pocas palabras, la aceleración es un cambio de velocidad. Este cambio de velocidad puede ser una aceleración o una ralentización, o también un cambio de dirección. La aceleración instantánea, o aceleración en un momento concreto del tiempo, es

$$ a_{x,(\mathrm{inst})} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t.} $$

Para hallar la aceleración media durante un periodo de tiempo, utilizamos la fórmula

$$ a_{x,(\mathrm{avg})} = \frac{v_f-v_0}{t_f-t_0} = \frac{\Delta v}{\Delta t}, $$

donde \(\Delta v\) es el cambio de velocidad. Por último, podemos escribir de nuevo esta relación entre las funciones de posición, velocidad y aceleración de forma diferente utilizando el cálculo:

\begin{align*} a(t) &= v'(t) = x''(t) \t(t) &= \int{a(t)\mathrm{d}t} \\ x(t) &= \int{v(t)\mathrm{d}t} = \iint{a(t)\mathrm{d}t}. \fin{align*}

En palabras, esto dice que la función velocidad es la integral de la función aceleración, y la función posición es la integral doble de la función aceleración.

Descripción del movimiento y la cinemática en una dimensión

Aparte de las variables que acabamos de introducir, una de las herramientas más importantes para describir el movimiento y la cinemática unidimensionales son las gráficas. Algunos de los gráficos que tendrás que entender tanto cómo interpretar como crear son:

• Gráficas de posición-tiempo, que muestran la distancia recorrida en el tiempo desde el punto de partida.

• Gráficas de velocidad-tiempo, que muestran los cambios de velocidad a lo largo del tiempo.

• Gráficas de aceleración-tiempo, que muestran los cambios en la aceleración a lo largo del tiempo.

Veamos brevemente cada uno de estos tres tipos de gráficos.

A continuación, veamos un gráfico de velocidad-tiempo.

Por último, examinemos una gráfica de aceleración-tiempo.

Las gráficas del movimiento en una dimensión, junto con algo de cálculo, son poderosas ayudas para comprender todo tipo de movimientos. Ahora que hemos repasado las herramientas que necesitamos, veamos un tipo de problema habitual: el movimiento vertical de un proyectil en una dimensión.

Movimiento vertical de proyectil en una dimensión

Uno de los primeros tipos de problemas con los que te encontrarás es el movimiento de proyectil.

Un objeto lanzado directamente al aire acelerará hacia abajo debido a la gravedad, MikeRun vía Wikimedia Commons CC BY-SA 4.0

En un problema de movimiento vertical de proyectil, lanzamos un objeto como una pelota al aire, partiendo de una posición vertical inicial de \(h_0\). Durante el lanzamiento, sólo damos al objeto una velocidad vertical inicial \(v_{x,0}\); la componente horizontal es cero. Tras el lanzamiento inicial, la bola alcanza una altura máxima antes de acelerar de nuevo hacia abajo debido a la gravedad. Esto es sólo una breve introducción; más adelante entraremos en los detalles del movimiento vertical de proyectiles en una dimensión.

Ejemplos de movimiento en una dimensión

Para terminar nuestra introducción al movimiento en una dimensión, veamos un ejemplo

Veamos un ejemplo más, esta vez utilizando la definición de velocidad del cálculo.

Ahora que has visto una introducción al movimiento en una dimensión, tu siguiente paso es aprender cinemática unidimensional, o el estudio del movimiento sin referencia a las fuerzas implicadas. Trataremos más fórmulas cinemáticas para el movimiento en una dimensión en el artículo Ecuaciones cinemáticas, ¡así que sigue leyendo!