Movimiento uniformemente acelerado

Definición de movimiento uniformemente acelerado

A lo largo de nuestra introducción a la cinemática hasta ahora, nos hemos encontrado con varias variables y ecuaciones nuevas para resolver problemas de movimiento en una dimensión. Hemos prestado mucha atención al desplazamiento y a la velocidad, así como a los cambios de estas magnitudes, y a cómo las diferentes condiciones iniciales afectan al movimiento global y al resultado de un sistema. Pero, ¿qué ocurre con la aceleración?

Observar y comprender la aceleración de los objetos en movimiento es igual de importante en nuestro estudio inicial de la mecánica. Puede que te hayas dado cuenta de que hasta ahora hemos estado examinando principalmente sistemas en los que la aceleración es cero, así como sistemas en los que la aceleración permanece constante durante algún periodo de tiempo. A esto lo llamamos movimiento uniformemente acelerado.

La fuerza de atracción de la gravedad provoca la caída uniformemente acelerada de un paracaidista, Creative Commons CC0

En otras palabras, la velocidad de un objeto en movimiento cambia uniformemente con el tiempo y la aceleración permanece como un valor constante. La aceleración debida a la gravedad, como se observa en la caída de un paracaidista, de una manzana de un árbol o de un teléfono que se cae al suelo, es una de las formas más comunes de aceleración uniforme que observamos en nuestra vida cotidiana. Matemáticamente, podemos expresar la aceleración uniforme como

\begin{align*}a=\mathrm{const.}\end{align*}

Cálculo Definición de aceleración

Recordemos que podemos calcular la aceleración \(a\) de un objeto en movimiento si conocemos los valores inicial y final tanto de la velocidad como del tiempo:

\begin{align*}a_{avg}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_1-v_0}{t_1-t_0}\end{align*}

donde \(\Deltav\ ) es el cambio en la velocidad y \(\Delta t\) es el cambio en el tiempo. Sin embargo, esta ecuación nos da la aceleración media a lo largo del periodo de tiempo. Si en cambio queremos determinar la aceleración instantánea, debemos recordar la definición de aceleración del cálculo:

\begin{align*}a_{inst}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}\end{align*}

Es decir, la aceleración se define matemáticamente como la primera derivada de la velocidad y la segunda derivada de la posición, ambas con respecto al tiempo.

Fórmulas del movimiento uniformemente acelerado

Resulta que ya conoces las fórmulas del movimiento uniformemente acelerado: ¡son las ecuaciones cinemáticas que aprendimos para el movimiento en una dimensión! Cuando introdujimos las ecuaciones cinemáticas básicas, supusimos que todas estas fórmulas describen con precisión el movimiento de un objeto que se mueve en una dimensión siempre que la aceleración se mantenga constante. Antes, éste era en gran medida un aspecto que dábamos por supuesto y en el que no profundizábamos.

Reorganicemos nuestras ecuaciones cinemáticas y aislemos la variable aceleración. De este modo, podremos utilizar fácilmente cualquiera de nuestras fórmulas para resolver el valor de la aceleración, dadas distintas condiciones iniciales de partida. Empezaremos con la fórmula \ (v=v_0+at\).

Nuestra siguiente ecuación cinemática es (Delta x=v_0t+frac{1}{2}at^2\).

Nuestra ecuación cinemática final de interés es \ (v^2=v_0^2+2a \Delta x\).

Quizá recuerdes que existe una ecuación independiente de la aceleración asociada a la cinemática, pero esta ecuación es irrelevante aquí, ya que no se incluye la variable aceleración.

Movimiento uniforme vs. Aceleración uniforme

Movimiento uniforme, aceleración uniforme, ¿hay realmente alguna diferencia entre ambos? La respuesta, quizá sorprendentemente, es ¡sí! Aclaremos qué entendemos por movimiento uniforme.

Aunque las definiciones de movimiento uniforme y movimiento uniformemente acelerado suenan parecidas, ¡hay una sutil diferencia! Recuerda que para un objeto que se mueve con velocidad constante, la aceleración debe ser cero según la definición de velocidad. Por tanto, un movimiento uniforme no implica también una aceleración uniforme, ya que la aceleración es cero. En cambio, el movimiento uniformemente acelerado significa que la velocidad no es constante, pero la aceleración sí lo es.

Gráficas del movimiento uniformemente acelerado

Anteriormente hemos visto algunas gráficas de movimiento en una dimensión; ahora vamos a volver a las gráficas de movimiento uniformemente acelerado con un poco más de detalle.

Movimiento uniforme

Acabamos de discutir la diferencia entre movimiento uniforme y movimiento uniformemente acelerado. Aquí tenemos un conjunto de tres gráficos que visualizan tres variables cinemáticas diferentes para un objeto que experimenta un movimiento uniforme durante un cierto intervalo de tiempo \(\Delta t\):

Podemos visualizar el movimiento uniforme con tres gráficos: desplazamiento, velocidad y aceleración, MikeRun vía Wikimedia Commons CC BY-SA 4.0

En el primer gráfico, observamos que el desplazamiento, o cambio de posición desde el punto inicial, aumenta linealmente con el tiempo. Ese movimiento tiene unavelocidad constante a lo largo del tiempo. La curva de velocidad del segundo gráfico tiene una pendiente cero, mantenida constante al valor de \(v\) en \(t_0\). En cuanto a la aceleración, este valor permanece nulo a lo largo del mismo periodo de tiempo, como era de esperar.

Otro aspecto importante a tener en cuenta es que el área bajo la gráfica velocidad-tiempo es igual al desplazamiento. Tomemos como ejemplo el rectángulo sombreado de la gráfica velocidad-tiempo anterior. Podemos calcular rápidamente el área bajo la curva siguiendo la fórmula del área de un rectángulo, \(a=b \cdot h\). Por supuesto, también puedes integrar para hallar el área bajo la curva:

\begin{align*}\Delta s = \int_{t_1}^{t_2} v(t)\i,\mathrm{d}t\end{align*}.

En otras palabras, podemos integrar la función velocidad entre un límite inferior y superior de tiempo para hallar el cambio en el desplazamiento ocurrido durante ese periodo de tiempo.

Aceleración uniforme

Podemos representar gráficamente los mismos tres tipos de gráficos para examinar el movimiento uniformemente acelerado. Veamos una gráfica velocidad-tiempo:

Velocidad linealmente creciente con el tiempo siguiendo la función velocidad v(t)=2t, con el área bajo la curva igual al desplazamiento, StudySmarter Originals

Aquí tenemos una función de velocidad simple \ (v(t)=2t\), trazada desde \ (t_0=0\, \mathrm{s} ) hasta \ (t_1=5\,\mathrm{s}). Como el cambio de velocidad es distinto de cero, sabemos que la aceleración también será distinta de cero. Antes de echar un vistazo al gráfico de la aceleración, calculemos nosotros mismos la aceleración. Dados \(v_0=0\, \mathrm{\frac{m}{s}), \(v_1=10\, \mathrm{\frac{m}{s}), y \(\Delta t=6\, \mathrm{s}):

\begin{align*} a=\frac{v_1-v_0}{t} \\ a=\mathrm{\frac{10, \frac{m} {s} - 0, \frac{m} {s} {5\, s}} \\ a=mathrm{2,\frac{m}{s^2} \fin{align*}

Veamos ahora la gráfica aceleración-tiempo:

Las gráficas de aceleración-tiempo para un movimiento uniformemente acelerado tienen pendiente cero. El área bajo esta curva es igual al cambio de velocidad durante el periodo de tiempo, StudySmarter Originals

Esta vez, la gráfica de aceleración-tiempo muestra un valor de aceleración constante, distinto de cero, de \(2\,\mathrm{\frac{m}{s}). Aquí habrás observado que el área bajo la curva aceleración-tiempo es igual al cambio de velocidad. Podemos comprobarlo con una integral rápida:

\Comienzo \delta v = \int_{0}^{5}2,\mathrm{d}t = 2t \mathrm{frac{m}{s} = 10,\mathrm{frac{m}{s} \fin{align*}

Por último, podemos seguir trabajando hacia atrás para calcular el cambio de desplazamiento en metros, aunque no tengamos delante una gráfica de esta variable. Recuerda la siguiente relación entre desplazamiento, velocidad y aceleración:

\Inicio \Delta s = \int v(t)\,\mathrm{d}t = \iint a(t)\,\mathrm{d}t \end{align*}

Aunque conocemos funciones tanto para la velocidad como para la aceleración, en este caso es más fácil integrar la función velocidad:

\Inicio: Delta s = (5)^2 - (0)^2. Delta s = 25, coma.

Recuerda que este cálculo nos da el desplazamiento neto durante el periodo de tiempo de cinco segundos, en lugar de una función general del desplazamiento. Los gráficos pueden decirnos mucho sobre un objeto en movimiento, ¡sobre todo si nos dan una información mínima al principio del problema!

Ejemplos de movimiento uniformemente acelerado

Ahora que ya conocemos la definición y las fórmulas del movimiento uniformemente acelerado, veamos un problema de ejemplo.

Antes de terminar, veamos otro ejemplo de movimiento uniformemente acelerado, esta vez aplicando las ecuaciones cinemáticas que hemos repasado antes.

El movimiento uniformemente acelerado es un componente crucial de nuestros primeros estudios de cinemática y mecánica, la física del movimiento que rige gran parte de nuestras experiencias cotidianas. Saber cómo reconocer la aceleración uniforme y cómo abordar estos problemas es un primer paso para mejorar tu comprensión del universo en su conjunto.