Figura 1: El paracaidismo es un buen ejemplo de movimiento en caída libre.
Caída libre
A continuación definimos y discutimos la caída libre y sus características.
La caídalibre es el movimiento lineal de un objeto en el que sólo actúa sobre él la fuerza de la gravedad.
El movimiento lineal es un movimiento unidimensional.
Cuando los objetos están en caída libre, se supone que caen en el vacío. En consecuencia, este movimiento se define por dos características:
- Los objetos no experimentan resistencia del aire.
- Los objetos aceleran hacia la Tierra a \( 9,8\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}. \)
Laresistencia del aire, también conocida como resistencia aerodinámica, es una fuerza que actúa sobre un objeto en dirección opuesta a la fuerza del peso del objeto.
Peso de un objeto en caída libre
Cuando un objeto está en caída libre, se dice que la fuerza gravitatoria que actúa sobre él es igual al peso del objeto. La fórmula del peso viene dada por la ecuación $${begin{align}W&=mg\\\W&=F\\\\end{align},$$ donde \(m\) es la masa, \(g\) es la aceleración debida a la gravedad, y \(F) es la fuerza del peso.
Ecuaciones de un objeto en caída libre
Las variables asociadas al movimiento de caída libre pueden calcularse mediante el uso de la cinemática.
La cinemática se refiere al estudio del movimiento sin tener en cuenta las fuerzas en juego.
En el campo de la cinemática, hay cuatro variables correspondientes del movimiento. Estas variables son
Observa que la velocidad, la aceleración y el desplazamiento son magnitudes vectoriales, lo que significa que tienen magnitud y dirección.
Portanto, definamos cada variable empezando por el desplazamiento.
El desplazamiento es el producto de la velocidad y el tiempo.
La fórmula matemática correspondiente a esta definición es $$\Delta{y}=\Delta{v},\Delta{t}$$ donde \( \Delta{v} \) es la velocidad y \( t \) es el tiempo. El desplazamiento tiene una unidad SI de \(\mathrm{m}).
Lavelocidad es el cambio de desplazamiento de un objeto con respecto al tiempo.
La fórmula matemática correspondiente a esta definición es
$$v=\frac{\Delta{y}}{\Delta{t}}$$ donde \( \Delta{y}\) es el desplazamiento y \( t \) es el tiempo. La velocidad tiene una unidad SI de \( \mathrm{\frac{m}{s}}).
La aceleración es el cambio de velocidad de un objeto con respecto al tiempo.
La fórmula matemática correspondiente a esta definición es
$$a=\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}$$ donde \( v \) es la velocidad y \( t \) es el tiempo. La aceleración tiene una unidad SI de \( \mathrm{\frac{m}{s^2}}).
Eltiempo no cambia en relación con el tipo de movimiento de un objeto y se mide en \( s. \)
Relación entre variables
En consecuencia, tres ecuaciones describen la relación entre estas variables. Estas ecuaciones son las ecuaciones cinemáticas del movimiento.
La ecuación de la velocidad,
$$v=v_{o} + g{t}.$$
La ecuación del desplazamiento,
$$\Delta{y} =v_o{t}+\frac{1}{2}{g}t^2.$$
La ecuación de la velocidad al cuadrado,
$$v^2=v_{o}^2 +2g\Delta{y}.$$
La ecuación de la velocidad media,
$$v_{avg}=\frac{v+v_o}{2}.$$
donde \( v \) es la velocidad final, \( v_o \) es la velocidad inicial, \( g \) es la aceleración debida a la gravedad, \( t \) es el tiempo, y \( \Delta{y} \) es el desplazamiento.
Estas ecuaciones cinemáticas sólo se aplican cuando la aceleración es constante.
Observa que la constante gravitatoria, \( g \), ha sustituido a la aceleración, \( a \), en estas ecuaciones y \( \Delta{x} \) se ha sustituido por \( \Delta{y} \) porque estamos trabajando a lo largo del eje y.
Aceleración de un objeto en caída libre
La aceleración de un objeto en caída libre es igual a la gravedad. Esto se puede ver reordenando la segunda ley del movimiento de Newton, \( F=ma \), y resolviendo la aceleración.
$$\begin{align}F&=ma\\a&=\frac{F}{m}=\frac{W}{m}=\frac{mg}{m}=g\\a&=g.\\\end{align}$$
Los objetos en caída libre están acelerando hacia abajo, hacia la Tierra, por lo que debemos saber que la aceleración es negativa.
Esto implica que los objetos se acelerarán al mismo ritmo independientemente de su forma, tamaño o masa. Sin embargo, debemos comprender que esto no tiene en cuenta la resistencia del aire. Por ejemplo, si no se despreciara la resistencia del aire, una pelota y una hoja de papel en caída libre no acelerarían al mismo ritmo. La pelota aceleraría más deprisa y llegaría antes al suelo, porque tiene mayor masa y mayor impulso que la hoja de papel.
Velocidad y rapidez de un objeto en caída libre
Los objetos en caída libre aceleran hacia abajo, hacia la superficie de la Tierra. Este movimiento descendente indica una aceleración negativa. Como la aceleración nos indica lo rápido que cambia la velocidad cada segundo, la dirección descendente también implica que la velocidad será negativa. Esto puede explicarse por el hecho de que la aceleración y la velocidad son magnitudes vectoriales, con magnitud y dirección. Como la dirección es hacia abajo, está implícito un valor negativo. Sin embargo, aunque la velocidad sea negativa, la rapidez será positiva. Como la velocidad es una magnitud escalar, que sólo tiene magnitud, no se ve afectada por la dirección. Por tanto, para un objeto en caída libre, su velocidad se hace más negativa cada segundo, mientras que su rapidez se hace más positiva cada segundo.
Para calcular la velocidad y la rapidez de un objeto en caída libre, se pueden utilizar las ecuaciones cinemáticas, mencionadas anteriormente.
Función de posición para objetos en caída libre
Para calcular la posición de un objeto, durante la caída libre, con respecto al tiempo, se puede utilizar la ecuación \( \Delta{y} =v_o{t}+\frac{1}{2}{g}t^2 \). Sin embargo, podemos observar que los objetos en caída libre parten del reposo, lo que indica que la velocidad inicial del objeto es cero. Como resultado, la ecuación puede simplificarse a \( \Delta{y}=\frac{1}{2}gt^2. \) La ecuación \( v^2=v_{o}^2 +2g\Delta{y} \) también puede utilizarse para determinar la posición.
Objeto en caída libre en equilibrio
Cuando un objeto se libera inicialmente del reposo, la única fuerza que actúa sobre él es su peso, que viene dado por \( W=mg. \) A medida que el objeto acelera hacia abajo, empieza a experimentar los efectos de la resistencia del aire. La resistencia del aire se opone a la fuerza del peso, pero el peso del objeto será mayor, lo que le permitirá seguir acelerando. Sin embargo, en un momento determinado, el objeto alcanzará su velocidad terminal, su velocidad máxima, en la que la resistencia del aire se iguala al peso. Entonces se considera que el objeto está en equilibrio, porque ya no acelera. Esto puede verse en el siguiente diagrama de cuerpo libre.
Diagrama de cuerpo libre de un objeto que cae a velocidad terminal
Utilicemos el siguiente diagrama de cuerpo libre como representación visual de nuestra discusión sobre la caída libre y la velocidad terminal.
Figura 2: Diagrama de cuerpo libre que muestra un objeto en caída libre.
Ejemplos de cómo resolver problemas de objetos en caída libre
Para resolver problemas de caída libre, se pueden aplicar ecuaciones cinemáticas para calcular la aceleración, la velocidad, la rapidez y la posición de un objeto. Como ya hemos hablado de los objetos en caída libre, de su movimiento y de las fuerzas que les afectan, vamos a trabajar con algunos ejemplos para comprender mejor cada concepto. Ten en cuenta que antes de resolver un problema, debemos recordar siempre estos sencillos pasos:
- Lee el problema e identifica todas las variables que aparecen en él.
- Determina qué pide el problema y qué fórmulas se necesitan.
- Aplica las fórmulas necesarias y resuelve el problema.
- Haz un dibujo si es necesario para proporcionar una ayuda visual.
Ejemplos
Apliquemos nuestros nuevos conocimientos sobre cinemática y movimiento de caída libre a los dos ejemplos siguientes.
Se deja caer una pelota por la ventana de un edificio. ¿Cuál es el desplazamiento de la pelota después de \( 2\,\mathrm{s}? \)
Basándonos en el problema, se nos da lo siguiente:
- tiempo
Como resultado, podemos identificar y utilizar la ecuación, \ ( \Delta{y}=\frac{1}{2}gt^2, \) para resolver este problema. Por tanto, nuestros cálculos son
$$\begin{align}\Delta{y}&=\frac{1}{2}gt^2\\\Delta{y}&=\frac{1}{2}(9.8\,\mathrm{\frac{m}{s^2}})(2\,\mathrm{s})^2\\\Delta{y}&=19.6\,\mathrm{m}\\\end{align}$$
El desplazamiento de la bola después de \( 2\,\mathrm{s} \) es \ ( 19,6\,\mathrm{m}. \)
Ahora, después de resolver para el desplazamiento, vamos a resolver para una variable diferente en el ejemplo siguiente.
Una roca, inicialmente en reposo, se deja caer por un acantilado \( 85\,\mathrm{m} \). ¿Cuál es la velocidad final de la roca?
Basándonos en el problema, se nos da lo siguiente
- velocidad inicial
- desplazamiento
Como resultado, podemos identificar y utilizar la ecuación, \ ( v^2=v_{o}^2 +2g\Delta{y} \ ) para resolver este problema. Por tanto, nuestros cálculos son
$$\begin{align} v^2&=v_{o}^2 +2g\Delta{y}\ v^2&=0^2 +2\left(9.8\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\right)(85\,\mathrm{m})\\v^2&=1666\,\mathrm{\frac{m}{s}}\\v&=40.8\,\mathrm{\frac{m}{s}}\\\end{align}$$
La velocidad final de la roca es \( 40,8,\mathrm{\frac{m}{s}. \})
Objeto en caída libre - Puntos clave
- Caída libre es el movimiento lineal de un objeto en el que sólo actúa sobre él la fuerza de la gravedad.
- Se supone que los objetos en caída libre caen en el vacío, lo que significa que los objetos no experimentan resistencia del aire y aceleran hacia la Tierra a \ ( 9,8\,\mathrm{\frac{m}{s^2}. \)
- La fuerza gravitatoria que actúa sobre un objeto en caída libre es igual al peso del objeto, dado por la ecuación W=mg.
- La aceleración de un objeto en caída libre es igual a la gravedad.
- Los objetos aceleran al mismo ritmo independientemente de su forma, tamaño o masa.
- La velocidad, la rapidez y la posición de un objeto en caída libre pueden calcularse mediante las ecuaciones cinemáticas del movimiento lineal.
- La aceleración y la velocidad, magnitudes vectoriales, son negativas, mientras que la rapidez, magnitud escalar, es positiva.
- Un objeto en caída libre está en equilibrio cuando la resistencia del aire es igual al peso del objeto.
Referencias
- Figura 1: Paracaidismo (https://www.pexels.com/photo/parachuters-on-air-70361/) de Pexel (www.pexel.com) con licencia CC0 1.0 Universal.
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