Diferencia entre velocidad media y aceleración media
La velocidad media y la aceleración media no son lo mismo. Aunque tanto la velocidad como la aceleración son vectores con magnitud y dirección, cada uno describe un aspecto diferente del movimiento. La velocidad media describe el cambio de posición de un objeto con respecto al tiempo, mientras que la aceleración media describe el cambio de velocidad de un objeto con respecto al tiempo. Además,un objeto se acelera si cambia la magnitud o la dirección de su velocidad.
Las cantidades medias se refieren a cantidades que se calculan sólo teniendo en cuenta los valores inicial y final de esa cantidad.
Definición de velocidad media y aceleración media
Definiremos la velocidad media y la aceleración, y discutiremos sus fórmulas matemáticas correspondientes.
Velocidad media
La velocidad media es una cantidad vectorial que depende de la posición final e inicial de un objeto.
La velocidad media es el cambio de posición de un objeto con respecto al tiempo.
La fórmula matemática correspondiente a esta definición es $$v_{text{avg}}=\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}}$$.
donde \( \Delta{x} \ ) representa el cambio de posición y \ ( \Delta{t} \) representa el cambio de tiempo.
La unidad SI para la velocidad es \( \mathrm{\frac{m}{s} \).
También se puede calcular la velocidad media utilizando los valores inicial y final de la velocidad.
$$v_{texto{avg}=\frac{v_o + v}{2}$$
donde \( v_o \) es la velocidad inicial y \ ( v \) es la velocidad final.
Esta ecuación se puede derivar de la ecuación cinemática de la distancia media de la siguiente manera:
$$\begin{aligned}\Delta{x}=& \frac{v_o+v}{2}(t) \frac{\Delta{x}}{t}= & \frac{v_o+v}{2} \\ v_{\text{avg}}= & \frac{v_o+v}{2}. \\ fin{alineado}$$
Observa en lo anterior que \ ( \frac{\Delta{x}}{t} \) es la definición de velocidad media.
Ya que hemos definido la velocidad media y discutido dos fórmulas correspondientes que podemos utilizar para determinar su valor, vamos a resolver un ejemplo sencillo que nos ayude a entenderlo antes de seguir adelante.
Para hacer ejercicio, un individuo camina \( 3200\,\mathrm{m} \) todos los días. Si tarda \( 650\,\mathrm{s} \) en completarlo, ¿cuál es la velocidad media del individuo?
Caminar es un ejemplo de determinación de la velocidad media y la aceleración media.CC-iStock
Basándonos en el problema, se nos da lo siguiente
- desplazamiento
- tiempo
Como resultado, podemos identificar y utilizar la ecuación
\( v_{{text{avg}}=\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}}) para resolver este problema. Por tanto, nuestros cálculos son
$$\begin{aligned}v_{\text{avg}} &=\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}} \\ v_{\text{avg}}&=\frac{3200\,\mathrm{m}}{650\,\mathrm{s}} \\ v_{\text{avg}}&=4.92\,\mathrm{\frac{m}{s}}. \\\fin{alineado}$$
La velocidad media del individuo es \( 4,92,\mathrm{\frac{m}{s}. \})
Aceleración media
La aceleración media es una cantidad vectorial que depende de las velocidades final e inicial de un objeto.
Laaceleración media es el cambio de velocidad de un objeto con respecto al tiempo.
La fórmula matemática correspondiente a esta definición varía en función de distintas magnitudes, como la velocidad y el tiempo o la velocidad y la distancia.
Presentaremos la fórmula en otro apartado. Pero antes, discutiremos dos formas de calcular la velocidad media dadas unas variables cinemáticas.
Cálculo de la velocidad media a partir de las variables aceleración y tiempo
Arriba vimos que la definición de velocidad media no depende de los valores intermedios de la velocidad a lo largo de un intervalo de tiempo. Esto significa que sólo necesitamos los valores de la velocidad inicial y final de un objeto si queremos calcular su velocidad media. Pero, ¿qué ocurre si, en lugar de conocer la velocidad inicial y final, sólo conocemos la velocidad inicial y la aceleración? ¿Podemos seguir determinando la velocidad media? ¡Sí! Pero, para ello, tenemos que utilizar las ecuaciones cinemáticas.
¿Qué es la cinemática? Bien, la cinemática es un campo de la física que se centra en el movimiento de un objeto sin referencia a las fuerzas que lo causan. El estudio de la cinemática se centra en cuatro variables: velocidad, aceleración, desplazamiento y tiempo. Observa que la velocidad, la aceleración y el desplazamiento son todos vectores, lo que significa que tienen magnitud y dirección. Por tanto, la relación entre estas variables se describe mediante las tres ecuaciones cinemáticas.
Estas son la ecuación cinemática lineal
$$v=v_o + at;$$
la ecuación cinemática cuadrática,
$$\Delta{x}=v_o{t} + \frac{1}{2}at^2;$$
y la ecuación cinemática independiente del tiempo,
$$v^2= {v_o}^2 + 2a\Delta{x}.$$
Aquí \( v \) es la velocidad final, \ ( v_o \) es la velocidad inicial, \ ( a \) es la aceleración, \ ( t \) es el tiempo, y \( \Delta{x} \) es el desplazamiento.
Estas ecuaciones cinemáticas sólo se aplican cuando la aceleración es constante.
Para calcular la velocidad media a partir de la aceleración y el tiempo, partimos de la ecuación cinemática cuadrática:
$$\begin{aligned}\Delta{x}&=v_o{t} + \frac{1}{2}at^2 \frac{1}{2}at)\frac{{1}{x}&= t(v_o + \frac{1}{2}at)\frac{1}{x}{t}&=v_o + \frac{1}{2}at \v_{texto{avg}&= v_o + \frac{1}{2}at.\final{alineado}$$
Por tanto, laecuación \( v_{{text{avg}}= v_o + \frac{1}{2}en \) puede determinar la velocidad media. Yendo un paso más allá, podemos introducir la definición de aceleración, \( {a=\frac{\Delta{v}}{t} \), y volver a obtener la ecuación de la velocidad media, que sólo incluye sus cantidades inicial y final.
$$\begin{aligned}v_{text{avg}}&= v_o + \frac{1}{2}at \ v_{text{avg}}&= v_o + \frac{1}{2}{\frac{Delta{v}}t} v_{text{avg}}&= v_o + \frac{1}{2}{Delta{v}}t= v_o + \frac{1}{2}{Delta{v} \frac{1}{2}{2}{v_texto{avg}&= \frac{2}{v_o + (v-v_o)}{2}{v_texto{avg}&= \frac{v_o + v}{2}{v_texto{avg}&= \frac{1}{2}{izquierda(v_o + v\derecha)}.\\\fin{alineado}$$
Con esto hemos comprobado que, efectivamente, la velocidad media sólo depende de la velocidad inicial y final. Veamos ahora cómo podemos calcular la velocidad media a partir de una representación gráfica.
Cálculo de la velocidad media a partir de una gráfica aceleración-tiempo
Otra forma de calcular la velocidad media es mediante una gráfica de aceleración-tiempo. Al observar una gráfica de aceleración-tiempo, puedes determinar la velocidad del objeto, ya que el área bajo la curva de aceleración es el cambio de velocidad.
$$\text{Área}=\Delta{v}.$$
Por ejemplo, la gráfica de aceleración-tiempo que aparece a continuación representa la función, \( a(t)=0,5t+5 \). Utilizándola, podemos demostrar que el cambio de velocidad corresponde al área bajo la curva.
La función indica que a medida que el tiempo aumenta en un segundo, la aceleración aumenta en \( 0,5\,\mathrm{\frac{m}{s^2}\}).
Fig. 1 Determinación de la velocidad media a partir de una gráfica aceleración-tiempo.
Utilizando esta gráfica, podemos averiguar cuál será la velocidad después de un tiempo determinado, entendiendo que la velocidad es la integral de la aceleración
$$v=\int_{t_1}^{t_2}a(t)$$
donde la integral de la aceleración es el área bajo la curva y representa el cambio de velocidad. Por tanto
v&=int_{t_1=0}^{t_2=5}(0,5t +5)dt\ v&=frac{0.5t^2}{2}+5t \\v&=\left(\frac{0.5(5)^2}{2}+5(5))-(\frac{0.5(0)^2}{2}+5(0)\right)\\v&=31.25\,\mathrm{\frac{m}{s}}.\\\end{aligned}$$
Podemos comprobar este resultado calculando el área de dos formas distintas (un triángulo y un rectángulo), como muestra la primera figura.
Empieza calculando el área del rectángulo azul:
$$\begin{aligned}\text{Area}&=(\text{height})(\text{width})=hw \\\text{Area}&=(5)(5)\\ \text{Area}&=25.\\\end{aligned}$$
Calcula ahora el área del triángulo verde:
$$\begin{aligned}\text{Area}&=\frac{1}{2}\left(\text{base}\right)\left(\text{height}\right)=\frac{1}{2}bh \\\text{Area}&=\frac{1}{2}\left(5\right)\left(2.5\right)\\ \text{Area}&=6.25.\\\end{aligned}$$
Ahora, sumando estas dos, obtenemos el resultado del área bajo la curva:
$$\begin{aligned}\text{Area}_{\text{(curve)}}&=\text{Area}_{(\text{rec})}+ \text{Area}_{(\text{tri})} \text{Area}_{(\text{curva})}&= 25 + 6,25 \text{Area}_{(\text{curva})}&=31,25.\nd{aligned}$$
Los valores coinciden claramente, lo que demuestra que en la gráfica aceleración-tiempo, el área bajo la curva representa el cambio de velocidad.
Cálculo de la aceleración media dada la velocidad y el tiempo
Para calcular la aceleración media a una velocidad y un tiempo dados, la fórmula matemática adecuada para empezar es
$$a_{avg}=\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}$$
donde \( \Delta{v} \) representa el cambio de velocidad y \ ( \Delta{t} \) representa el cambio de tiempo.
La unidad SI para la aceleración es \( \mathrm{\frac{m}{s^2}}.
La velocidad de un coche aumenta de \( 20\, \mathrm{\frac{m}{s} ) a \ ( 90\,\mathrm{\frac{m}{s}) en un lapso de \( 16\,\mathrm{s}). ¿Cuál es la aceleración media del coche?
Un coche en movimiento mostrando la velocidad media y la aceleración media.CC-Science4fun
Basándonos en el problema, se nos da lo siguiente
- velocidad inicial
- velocidad final
- tiempo
Como resultado, podemos identificar y utilizar la ecuación, \( a_{{text{avg}}=\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}} \) para resolver este problema. Por tanto, nuestros cálculos son
$$\begin{aligned}a_{\text{avg}}&=\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}} \\a_{\text{avg}}&=\frac{90\,\mathrm{\frac{m}{s}}-20\,\mathrm{\frac{m}{s}}}{16\,\mathrm{s}}\\ a_{\text{avg}}&=\frac{70\,\mathrm{\frac{m}{s}}}{16\,\mathrm{s}}\\a_{\text{avg}}&= 4.375\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}.\\\end{aligned}$$
La aceleración media del coche es \( 4,375,\mathrm{frac{m}{s^2}. \)
A continuación veremos cómo cambia el método para calcular la aceleración si nos han dado la distancia en lugar del tiempo.
Cálculo de la aceleración media con la velocidad y la distancia
Para calcular la aceleración media a partir de la velocidad y la distancia, tenemos que utilizar una vez más las ecuaciones cinemáticas. Mirando la lista anterior, observa que la primera y la segunda ecuaciones tienen una dependencia temporal explícita. Esto significa que tenemos que descartarlas y utilizar en su lugar la tercera ecuación.
$$\begin{aligned}v^2&={v_o}^2+2a\Delta{x} \\v^2-{v_o}^2&=2a\Delta{x}\\ a&=\frac{v^2-{v_o}^2}{2\Delta{x}}.\\\end{aligned}$$
Recuerda que las ecuaciones cinemáticas sólo son aplicables en caso de aceleración constante. Como la aceleración media en un intervalo de tiempo es constante, la ecuación \( a=\frac{v^2-{v_o}^2}{2\Delta{x}}\) nos permite calcular la aceleración media a partir de la velocidad y la distancia.
Podemos comprobar que la ecuación derivada también es reducible a la definición de aceler ación media.
$$\begin{aligned}a&=\frac{v^2-{v_o}^2}{2\Delta{x}} \\a&=\frac{v^2-{v_o}^2}{2\Delta{t}(v_{\text{avg}})}\\ a&=\frac{(v+v_o)-(v-v_o)}{2\Delta{t}(\frac{v_o +v}{2})}\\a&=\frac{(v-v_o)}{\Delta{t}}\\a&=\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}.\\\fin{alineado}$$
Observa que \( v_{texto{avg}}=\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}}\frac{\Delta{x}}).
Ahora, en la derivación anterior, encontramos una expresión para la aceleración dada la velocidad y la distancia. Tomamos la tercera ecuación cinemática como punto de partida y aislamos en el lado izquierdo la cantidad que queríamos. También podríamos haber manipulado la misma ecuación para resolver otra cantidad.
El ejemplo siguiente ilustra este punto. En él, te dan la aceleración y la distancia y te piden que resuelvas la velocidad final.
Una pelota, lanzada desde un edificio, viaja \( 23\,\mathrm{m} \) hasta el suelo bajo la fuerza de la gravedad. ¿Cuál es la velocidad media de la pelota?
Dejar caer una pelota para demostrar la velocidad media y la aceleración media.CC-Chegg
A partir del problema, se nos da lo siguiente:
- desplazamiento
- aceleración
Como resultado, podemos identificar y utilizar la ecuación, \( v^2={v_o}^2 +2g\Delta{x} \) para resolver este problema. Por tanto, nuestros cálculos son
$$\begin{aligned}v^2&={v_o}^2+2g\Delta{x} \\v^2-{v_o}^2&=2g\Delta{x}\\ a\Delta{v}&=\sqrt{2g\Delta{x}}\\\Delta{v}&=\sqrt{2(9.81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}})(23\,\mathrm{m})}\\\Delta{v}&= 21.24\,\mathrm{\frac{m}{s}}.\\\end{aligned}$$
La velocidad media de la bola es \( 21,24,\mathrm{\frac{m}{s}).
Velocidad cero y aceleración media no nula
¿Es posible tener una velocidad cero y una aceleración media distinta de cero? La respuesta a esta pregunta es sí. Imagina que lanzas una pelota directamente al aire. Debido a la gravedad, la pelota tendrá una aceleración constante distinta de cero durante todo su vuelo. Sin embargo, cuando la pelota alcance el punto vertical más alto de su trayectoria, su velocidad será momentáneamente cero. La figura siguiente lo ilustra.
Diagrama que muestra la velocidad cero y la aceleración distinta de cero.CC-Mathsgee
Velocidad media y aceleración - Puntos clave
- La velocidad media se define como el cambio de posición de un objeto con respecto al tiempo.
- La velocidad media puede calcularse de tres formas: mediante las fórmulas \(\ v_{\text{avg}=\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}) o \( v_{\text{avg}= v_o + \frac{1}{2}en \) , así como mediante el uso de una gráfica de aceleración-tiempo en la que el área bajo la curva de aceleración es representativa del cambio de velocidad.
- La aceleración media se define como el cambio de velocidad de un objeto con respecto al tiempo.
- La aceleración media puede calcularse de dos formas: con las fórmulas \( a_{{text{avg}}=\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}} \) o \( a=\frac{\v^2-{v_o}^2}{2\Delta{x}} \).
- La velocidad media y la aceleración media no son lo mismo, ya que una describe el cambio de posición de un objeto con respecto al tiempo, mientras que la otra describe el cambio de velocidad de un objeto con respecto al tiempo.
- Es posible que un objeto tenga una velocidad cero y una aceleración media distinta de cero.
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