Definición de dinámica rotacional
Empecemos aclarando a qué nos referimos con dinámica rotacional.
Ladinámica rotacional es el estudio del movimiento rotacional resultante de fuerzas externas y sus pares.
Esta área de la mecánica es muy amplia, pero intentaremos darle una visión general.
Movimiento Dinámico Rotacional
Podemos describir el movimiento de rotación utilizando cuatro magnitudes físicas principales: velocidad angular, aceleración angular, desplazamiento angular y tiempo. Aunque tenemos una noción intuitiva del tiempo, es posible que las demás variables del movimiento de rotación no te resulten tan familiares, así que empecemos por definir cada una de ellas.
Desplazamientoangular, \( \Delta \theta \), es la diferencia entre una posición angular inicial y final alrededor de un eje especificado.
La fórmula matemática correspondiente a esta definición es
$$\Delta \theta= \theta_f - \theta_i.$$
El desplazamiento angular tiene una unidad SI de radianes (\(\mathrm{rad}\)).
Lavelocidad angular, \( \omega \), es la tasa de cambio del desplazamiento angular de un objeto con respecto al tiempo.
La fórmula matemática de la velocidad angular media es
$$\omega=\frac{\Delta{\theta}}{\Delta{t}},$$
donde \( \Delta\theta \) es el desplazamiento angular y \( t \) es el tiempo. La velocidad angular tiene una unidad SI de \( \mathrm{\frac{rad}{s} \). Sin embargo, para la velocidad angular instantánea utilizamos
$$\omega=\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}.$$
La aceleraciónangular, \( \alfa \), es el cambio de velocidad angular de un objeto con respecto al tiempo.
Podemos calcular la aceleración angular media como
$$\alpha=\frac{\Delta{\omega}}{\Delta{t}},$$
y para la aceleración angular instantánea
$$ \alpha=\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{ d}t} .$$
La aceleración angular tiene una unidad de \( \mathrm{\frac{rad}{s^2}}.
Ahora bien, además de comprender estas definiciones y las fórmulas correspondientes, también hay que conocer la relación entre estas magnitudes. La velocidad angular es la primera derivada del desplazamiento angular con respecto al tiempo, \( \omega=\frac{d\theta}{dt} \), mientras que la aceleración angular es la primera derivada de la velocidad angular con respecto al tiempo, \( \alpha=\frac{d\omega}{dt} \), así como la segunda derivada del desplazamiento angular \( \alpha=\frac{d^2\theta}{dt^2} \)
Dada la función de posición angular, \( \theta(t)=\left(5;\mathrm{\frac{rad}{s^2}}\right) t^2 +\left(8;\mathrm{\frac{rad}{s^2}\right)t -6;\mathrm{rad}, \) calcula las funciones de velocidad angular y aceleración angular.
Solución
Para hallar la función de velocidad angular podemos calcular la derivada de la función de posición angular respecto al tiempo.
\begin{align}\omega(t)&=\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\\\omega(t)&= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \left(5\;\mathrm{frac{rad}{s^2}}\right) t^2 +\left(8\;\mathrm{frac{rad}{s}\right)t -6\;\mathrm{rad}\right)\\\omega(t)&=\left(10\;\mathrm{\frac{rad}{s^2}}\right)t+8\;\mathrm{\frac{rad}{s}}\end{align}
Del mismo modo, como la aceleración angular es la segunda derivada de la función de posición angular, podemos hallarla calculando la derivada de la función de velocidad angular.
\begin{align}\\\alpha(t)&=\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}\\\alpha(t)&= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\left(10\;\mathrm{\frac{rad}{s^2}}\right)t+8\;\mathrm{\frac{rad}{s}}\right)\\\alpha(t)&=10\;\mathrm{\frac{rad}{s^2}}\\\end{align}
Medir ángulos con radianes
Un radián es una medida angular utilizada frecuentemente en un movimiento circular.
Un radián es el ángulo correspondiente a una longitud de arco igual al radio del círculo.
Fig. 1 - Diagrama que muestra la definición de un radián.
Si queremos convertir radianes en grados, podemos utilizar la fórmula
$$\theta_\text{degrees}=\theta_\text{radians}\left(\frac{180^\circ}{\pi\;\mathrm{rad}} \right). $$
Por otra parte, para convertir de grados a radianes, podemos aplicar la fórmula
$$\theta_\text{radianes}=\theta_\text{grados}{left(\frac{pi\,\mathrm{rad}{180^circ}{right).$$ Comprobemos nuestra comprensión con un ejemplo rápido.
Convierte las siguientes cantidades
- 5,00 radianes en grados
- 275 grados en radianes
Solución
Utilizamos la fórmula correspondiente según las unidades del ángulo dado.
\begin{align}\theta_\text{degrees}&=\theta_\text{radians}\left(\frac{180^\circ}{\pi\;\mathrm{rad}} \right)\\\theta_\text{degrees}&=5.00\,\text{rad}\left(\frac{180^\circ}{\pi\,\mathrm{rad}}\right)\\\theta_\text{degrees}&=\frac{(5.00)180^\circ}{3.14}\\\theta_\text{degrees}&=286^\circ\\\end{align}
\begin{align}\theta_\text{radians}&=\theta_\text{degrees}\left(\frac{\pi\,\mathrm{rad}}{180^\circ}\right)\\\theta_\text{radians}&=275^\circ\left(\frac{\pi\,\mathrm{rad}}{180^\circ}\right)\\\theta_\text{radians}&=\frac{(275^\circ)(\pi\;\mathrm{rad})}{180^\circ}\\\theta_\text{radians}&=4.80\,\text{radians}\\\end{align}
Observa que \( 1\,\text{radian} \aprox 57,3^\\circ.\})
Par e inercia rotacional
El par es el equivalente rotacional de una fuerza. Para que un objeto experimente una aceleración angular, tiene que verse afectado por el par.
El par, \( \tau \), es una cantidad vectorial que cuantifica el efecto de giro de una fuerza aplicada a un objeto.
La unidad SI para el par es \( \mathrm{N\,m.} \)
La convención establece que una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj indica un par de torsión positivo, y una rotación en sentido de las agujas del reloj indica un par de torsión negativo. La cantidad de par aplicada a un objeto depende de la fuerza aplicada, pero también de la distancia perpendicular desde donde se aplica la fuerza, con respecto al eje de rotación.
Para que un sistema esté en equilibrio rotacional, la suma de todos los pares que actúan sobre él debe ser igual a cero.
$$\suma \tau=0$$
La suma de todos los pares que actúan sobre un sistema puede ser cero si los pares actúan en sentidos opuestos, anulándose.
Elequilibrio rotacional se define como un estado en el que ni el estado de movimiento de un sistema ni su estado de energía interna cambian con respecto al tiempo.
Y también tenemos una cantidad que desempeña el papel de la masa en el movimiento de traslación. Para el movimiento de rotación, utilizamos el momento de inercia o inercia rotacional.
Lainercia rotacional es una medida cuantitativa de la resistencia de un objeto a la aceleración angular.
La inercia rotacional varía en función de la forma del objeto y de su distribución de masas respecto al eje de rotación.
Ecuaciones de la dinámica rotacional
Hablemos ahora de las ecuaciones de los conceptos utilizados en el movimiento de rotación y de cómo podemos utilizarlas.
Ecuaciones cinemáticas rotacionales del movimiento
A veces, basta con trabajar con ecuaciones cinemáticas rotacionales al estudiar el movimiento de rotación.
La cinemáticarotacional se refiere al estudio del movimiento de rotación sin considerar las fuerzas externas.
Podemos utilizar las siguientes ecuaciones cinemáticas siempre que se trate de una aceleración angular constante.
Ecuación de la velocidad angular:
$$\omega=\omega_{o} + \alpha{t}.$$
Ecuación del desplazamiento angular:
$$\Delta{\theta} =\omega_o{t}+\frac{1}{2}{\alpha}t^2.$$
Ecuación de la velocidad angular al cuadrado:
$$\omega^2={\omega_{o}}^2 +2{\alpha}\Delta{\theta}.$$
En las ecuaciones anteriores, \(\omega\) es la velocidad angular final, \(\omega_0\) es la velocidad angular inicial, \(\alpha\) es la aceleración angular, \(t\) es el tiempo, y \(\Delta\theta\) es el desplazamiento angular.
Conexión entre la cinemática rotacional y la cinemática lineal
Ahora que hemos hablado de la dinámica rotacional y su conexión con la cinemática rotacional, debemos asegurarnos de reconocer y comprender también la relación entre la cinemática rotacional y la cinemática lineal. Estas relaciones aparecen en la tabla siguiente, donde \( r \) es el radio del movimiento circular.
| Variable | Lineal Abreviatura | Unidades SI lineales | Angular Abreviatura | Angular Unidades SI | Relación |
| aceleración | $$a$$ | $$\frac{m}{s^2}$$ | $$$alfa$$ | $$\frac{rad}{s^2}$$ | $$a=\alpha{r}, \alpha=\frac{a}{r}$$ |
| velocidad | $$v$$ | $$\frac{m}{s}$$ | $$\omega$$ | $$\frac{rad}{s}$$ | $$v=\omega{r}, \omega=\frac{v}{r}$$ |
| desplazamiento | $$x$$ | $$m$$ | $$\Delta \theta$$ | $$rad$$ | $$x=\theta{r}, \theta=\frac{x}{r}$$ |
| tiempo | $$t$$ | $$s$$ | $$t$$ | $$s$$ | $$t=t$$ |
Para comprender mejor estas relaciones, veamos el diagrama siguiente.
Fig. 2 - Diagrama que ilustra la relación entre las variables cinemáticas lineales y las variables cinemáticas rotacionales donde \( v={texto}{velocidad},\} \(r={texto}{radio},\} \( X={texto}{desplazamiento lineal},\} \( \Delta \theta={texto}{desplazamiento angular},\}) y \( \omega={texto}{velocidad angular},\})
Ecuaciones para el par
El par se puede calcular utilizando tres fórmulas diferentes.
- Fórmula del producto cruzado
- Fórmula de la magnitud
- Fórmula de la Segunda Ley de Newtons
Fórmula del producto cruzado
La definición de producto cruzado del par se expresa mediante la ecuación
$$\tau=\vec{r} \veces \vec{F}$$
donde \( \vec{r} \) es el desplazamiento desde el eje de rotación y \( \vec{F} \) es la fuerza aplicada.
El producto cruzado también se conoce como producto vectorial. Su resultado es otra cantidad vectorial cuya dirección es perpendicular a ambos argumentos vectoriales y al plano definido por ellos. El vector par es paralelo al eje de rotación.
Fórmula de magnitud
Si sólo nos interesa la magnitud del par, \( | \vec{\tau} | = \tau, \) podemos calcularla mediante la siguiente fórmula:
$$ \tau = | \vec r \veces \vec F | = r F \sin\theta.$$
donde \( r \) es la magnitud del desplazamiento respecto al eje de rotación, \( F \) es la magnitud de la fuerza aplicada, y \( \theta \) es el ángulo entre ambas.
También podemos escribir la ecuación anterior como
$$ \tau = Fr_\\perp,$$
donde \( r_\perp = r\sin\theta ,\) es la distancia perpendicular desde el eje de rotación a la línea de acción de la fuerza, conocida como brazo de palanca.
Fig. 3 - Diagrama de torsión que muestra la fuerza aplicada, la distancia al eje de rotación, el ángulo que forman y el brazo de palanca.
Forma de la segunda ley de Newton
La ecuación de la torsión puede escribirse en el mismo formato que la de la segunda ley de Newton, \( F=ma \).
$$\tau=I\alpha$$
Aquí \( I \) es el momento de inercia y \( \alpha \) es la magnitud de la aceleración angular.
Ecuación de inercia rotacional
El momento de inercia para una masa puntual a una distancia de \(r\) del eje de rotación es
$$I=mr^2.$$
Esta fórmula es importante porque podemos utilizarla para obtener fórmulas del momento de inercia de sistemas complejos, ya que los objetos pueden considerarse como conjuntos de masas puntuales. La inercia rotacional total de un conjunto de objetos se calcula mediante la fórmula
$$I_{\mathrm{total}}= \suma I_i=\suma m_ir_{i}^2.$$
Probemos con un ejemplo rápido.
Una masa puntual de \( 2,1\,\mathrm{kg} \) está situada a \( 0,89\,\mathrm{m} \) del eje de rotación. Calcula su momento de inercia.
Solución
Nos dan tanto la masa como el radio. Por tanto, podemos aplicar directamente la fórmula del momento de inercia para una masa puntual.
$$\begin{align}I&=mr^2\\I&=(2.1\,\mathrm{kg})(0.89\,\mathrm{m})^2\\I& = 1.7\,\mathrm{kg\,m^2}\\\end{align}$$
Si nuestro sistema es un cuerpo de tamaño finito, podemos modelarlo como si estuviera compuesto por infinitas masas diferenciales \( \mathrm{d}m \). Cada una de estas masas contribuye al momento de inercia del objeto, pero en lugar de sumarlas, tenemos que integrarlas para hallar el momento de inercia total del objeto:
$$I=\int{r^2}dm,$$
donde \( r \) es la distancia perpendicular de las masas diferenciales, \( dm,\) al eje de rotación.
Ecuaciones para otras magnitudes útiles del movimiento de rotación
Aún nos quedan muchas otras contrapartidas a las del movimiento de traslación. Hablemos brevemente de algunas de ellas.
Energía cinética rotacional
Al igual que la velocidad, se utiliza para calcular la energía cinética,
$$K=\frac{1}{2}mv^2,$$
podemos cuantificar la energía cinética rotacional de un sistema conociendo su velocidad angular
$$K_{\text{rot}}= \frac{1}{2}I\omega^2.$$
Momento angular e impulso
El momentoangular es una cantidad vectorial definida como el producto de la velocidad angular y la inercia rotacional.
La fórmula matemática correspondiente a esta definición es
$$L=I\omega,$$
donde \( \omega \) es la velocidad angular medida en \( \mathrm{\frac{rad}{s}, \) y \( I \) es la inercia medida en \( \mathrm{kg\,m^2}. \) El momento angular tiene unidades SI de \( \mathrm{kg\,\frac{m^2}{s} \).
Esta fórmula sólo puede utilizarse cuando el momento de inercia es constante.
También tenemos una definición para el impulso angular que describe cómo el par, el análogo rotacional de la fuerza, afecta a un sistema con respecto al tiempo.
Elimpulso angular se define como el producto del par ejercido sobre un sistema a lo largo de un intervalo de tiempo determinado.
La fórmula matemática correspondiente a esta definición es
$$\Delta \vec{J}_{rot}= \int_{t_o}^{t}\vec{\tau}(t)dt,$$
que puede simplificarse a
$$J=\tau\Delta{t},$$
cuando \( \tau \) no varía con el tiempo. Como \( \tau \) se mide en \( \mathrm{N\},m} \) y \( t \) en \( \mathrm{s}, \) la unidad de impulso angular en el sistema SI es \( \mathrm{N\},\frac{m}{s}. \)
El impulso angular y el momento angular están relacionados por el teorema del impulso-momento:
$$ J=\Delta{L} .$$
Experimento de dinámica rotacional
Para demostrar el concepto de dinámica rotacional en el laboratorio, se puede realizar un experimento con un brazo giratorio. En este experimento, el aparato consiste en un brazo giratorio conectado a un sensor de movimiento giratorio que mide la velocidad angular. En el brazo giratorio, se fijarán dos masas para ralentizarlo aumentando su inercia rotacional. Cuanto más alejadas estén las masas, más le costará girar al brazo. A continuación, el eje del brazo giratorio se fijará a una cuerda que también se fija a una polea con una masa colgante. Esta configuración permite aplicar un par constante al brazo, debido a la tensión de la cuerda, que lo hace girar. El par se puede medir y variar continuamente utilizando diferentes masas colgantes.
Ejemplos de dinámica rotacional
Para resolver problemas de dinámica rotacional, se puede utilizar una combinación de las ecuaciones que hemos explorado antes. Apliquemos nuestros nuevos conocimientos sobre dinámica rotacional a los dos ejemplos siguientes.
La noria tiene una velocidad angular inicial de \( 5,0,\mathrm{\frac{rad}{s}.\) Si su aceleración angular viene dada como \(2,1,\mathrm{\frac{rad}{s^2}) y su desplazamiento angular viene dado como \( 10,6,\mathrm{rad},\) ¿cuál es la velocidad angular final de la noria? ¿Cuánto tarda en alcanzar esta velocidad?
Solución
Observa que se nos da la siguiente información
- velocidad angular inicial
- aceleración angular
- desplazamiento angular
Por tanto, podemos identificar y utilizar la ecuación
$$\omega^2={\omega_o}^2+ 2\alpha\Delta\theta,$$
para resolver la primera parte de este problema. Por tanto, nuestros cálculos son los siguientes
$$\begin{aligned} \omega^2 &= \omega_0^2 + 2\alpha\Delta\theta\\\ \omega^2&=left( 5,0\,\mathrm{\frac{rad}{s} \right)^2+ 2\left( 2.1 \mathrm{frac{rad}{s^2} \left( 10.6,\mathrm{rad}\right)\mega^2&=25 + 44.52\mega^2&=69.52\mega&=8.3,\mathrm{frac{rad}{s}} \fin{alineado}$$
Ahora, utilizando esta información y la ecuación,\( \Delta\theta=\frac{\omega + \omega_o}{2}{t}, \) podemos calcular el tiempo que se tarda en alcanzar este valor de velocidad final de la siguiente manera:
$$\begin{align}\Delta\theta&=\frac{\omega + \omega_o}{2}{t}\ 10,6,\mathrm{rad}&=\frac{8,3,\mathrm{\frac{rad}{s} + 5.0\frac{rad}{s}}}{2}(t)\\10.6&= 6.7(\mathrm{t})\\t&= \frac{10.6}{6.7}=1.6\,\mathrm{s}\\\end{align}$$
La rueda giratoria alcanza su velocidad angular final de \( 8,3,\mathrm{frac{rad}{s}) a \( t=1,6,\mathrm{s}. \)
Ahora probemos con otro ejemplo.
Un balón de fútbol \( 5,\mathrm{kg} \), inicialmente en reposo, se hace girar y al cabo de \( 2,4,\mathrm{s} \) gira con una velocidad angular de \( 4,5,\mathrm{\frac{rad}{s}. \) Calcula la aceleración angular del balón. Si se da que el radio es \( 0,7\,\mathrm{m}, \) calcula el par ejercido sobre el balón. Ten en cuenta que un balón de fútbol se considera una fina envoltura esférica con una fórmula de inercia rotacional correspondiente de \( I=\frac{2}{3}mr^2. \)
Solución
Según el problema, nos dan
- velocidad angular inicial y final
- tiempo
Por tanto, podemos aplicar nuestra ecuación, \(\omega = \omega_0 + \alpha t\), para resolver la primera parte de este problema. En primer lugar, debemos reordenar nuestra ecuación para resolver la aceleración angular. \Comienzo \omega &= \omega_0 + \alpha t \\alpha t &= \omega - \omega_0 \alpha &= \frac{omega - \omega_0}{t} \fin{align*} Ahora podemos insertar nuestras variables y resolver de la siguiente manera: \Inicio \alfa &= \frac{\omega - \omega_0}{t} \\ &= \frac{4.5\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}-0\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}}{2.4\,\mathrm{s}} \\ &= 1,9\frac {mathrm{rad}} {mathrm{s}^2}. \fin{align*} Para la segunda parte de este problema, debemos aplicar la ecuación,\( \tau=I{\tau}.\tau) En primer lugar, debemos reescribir la ecuación del par utilizando la ecuación dada para el momento de inercia, $$\begin{align}\tau&=left(\frac{2}{3}mr^2\2right)\alpha\\pend{align}$$ y ahora podemos insertar nuestros valores. $$\begin{align}\tau&=\left(\frac{2}{3}mr^2\right)\alpha\\\tau&=\left(\frac{2}{3}(5\,\mathrm{kg})(0.7\,\mathrm{m})^2\right)1.9\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^2}\\\tau&=3.1\,\mathrm{N\,m}\\\end{align}$$
Dinámica rotacional - Puntos clave
- La dinámica rotacional es el estudio del movimiento y las fuerzas que hacen que los objetos giren alrededor de un eje.
- El movimiento de rotación es el movimiento circular de los objetos alrededor de un eje y se describe mediante cuatro variables principales: velocidad angular, aceleración angular, desplazamiento angular y tiempo.
- Cinemática rotacional estudia el movimiento de rotación sin analizar las fuerzas que actúan sobre el sistema.
- Existen tres ecuaciones cinemáticas rotacionales:
- La ecuación de velocidad angular \( \omega=\omega_{o} + \alpha{t}, \)
- La ecuación del desplazamiento angular \( \Delta{\theta} =\omega_o{t}+\frac{1}{2}{\alpha}t^2, \)
- La ecuación de la velocidad angular al cuadrado \( \omega^2={\omega_{o}}^2 +2{\alpha}\Delta{\theta}.\})
- El par es una magnitud vectorial que cuantifica el efecto de giro de una fuerza aplicada a un objeto.
- Podemos calcular el par mediante tres fórmulas diferentes:
- \( \tau=\vec{r} \veces \vec{F} \)
- \(tau=rFsin tau)
- \( \tau=I\alfa)
- El momento de inercia es la medida de la resistencia de un objeto a la aceleración angular.
- La fórmula inercial de un objeto puede expresarse como \( I=mr^2 \) para una masa puntual y \( I=\int{r^2}dm \) para un sistema de tamaño corporal finito.
- Equilibrio rotacional se define como un estado en el que ni el estado de movimiento de un sistema ni su estado de energía interna cambian con respecto al tiempo.
- El equilibrio rotacional se alcanza cuando la suma de todos los toques de un sistema es cero.
- El momento angular es una cantidad vectorial definida como el producto de la velocidad angular y la inercia rotacional. Su fórmula correspondiente es \( L=I\omega. \)
- El impulso angular se define como el producto del par ejercido sobre un sistema en un intervalo de tiempo determinado.
Referencias
- Fig. 1 - Diagrama de radianes, StudySmarter Originals
- Fig. 2 - Diagrama de relación de variables cinemáticas, StudySmarter Originals
- Fig. 3 - Diagrama de par, StudySmarter Originals
- Fig. 4 - Aparato de dinámica rotacional, StudySmarter Originals
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