Conexión entre el movimiento lineal y rotacional

Desplazamiento angular, velocidad y aceleración

En un artículo anterior, definimos las ecuaciones para determinar la velocidad y la aceleración instantáneas de un objeto mediante el cálculo. Estas definiciones tienen un análogo rotacional. El desplazamiento angular es el ángulo con el que un punto de un sistema rígido gira alrededor de un eje. Los sistemas rígidos son sistemas que mantienen su forma, pero distintos puntos del sistema pueden moverse en distintas direcciones. Si la rotación del sistema gira en torno al centro de masa, el sistema rígido puede tratarse como un objeto. Por ejemplo, la rotación de la Tierra sobre su eje es despreciable si tratamos a la Tierra como un punto, un centro de masa que gira alrededor del Sol. La velocidad angular es la tasa de variación del desplazamiento angular, mientras que la aceleración angular es la tasa de variación de la velocidad angular. A continuación presentamos las definiciones del cálculo.

$$\begin{array}{rcl}\Delta x=x_texto{f}-x_texto{i}&\leftrightarrow&\Delta \theta=\theta_texto{f}-\theta_texto{i}\v=\frac{operador dx}{operador dt}&\leftrightarrow&&\omega=\frac{operador} d\theta}{operador} dt}\a=\frac{operador} dv}{operador} dt}&\fleftrightarrow&\alpha=\frac{operador} d\omega}{operador} dt}\end{array}\$$

También puedes utilizar intervalos para determinar la velocidad angular media y la aceleración.

También hemos utilizado las definiciones del cálculo para hallar las ecuaciones del movimiento para una aceleración constante en movimiento de traslación. Podemos utilizar el cálculo para deducir estas ecuaciones para el movimiento de rotación. Así podemos mostrar la relación directa entre el desplazamiento angular, la velocidad y la aceleración. En primer lugar, debemos integrar la definición de aceleración angular:

$$\begin{align*}\alpha&=\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm dt},\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm d\omega&=\int_0^t\alpha\;\mathrm dt\;,\\\omega&=\omega_0+\alpha t,\end{align*}$$

donde \(\omega_0\) es la constante de integración que representa la velocidad angular inicial en radianes por segundo \((\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s})\). La ecuación anterior es útil para los problemas de física que no proporcionan o no te piden que halles el desplazamiento angular. Si integramos una vez más, podemos hallar la ecuación para la posición angular y el desplazamiento de un objeto en rotación:

$$\begin{align*}\omega&=\frac{\mathrm{dθ}}{\mathrm dt},\\\omega&=\omega_0+\alpha t,\\\frac{\mathrm{dθ}}{\mathrm dt}&=\omega_0+\alpha t,\\\int_{\theta_0}^\theta\mathrm{dθ}&=\int_0^t\left(\omega_0+\alpha t\right)\mathrm dt,\\\theta&=\theta_0+\omega_0t+\frac12\alpha t^2.\nd{align*}\$$

La ecuación anterior es útil para los problemas de física que no proporcionan o no te piden que halles la velocidad angular. Podemos derivar una última ecuación útil completando el cuadrado. En caso de que no recuerdes cómo completar el cuadrado, te mostraremos lo que necesitas:

$$ax^2+bx+c flecha izquierda a{(x+d)}^2+e,$$

donde \(d=\frac b{2a}\) y \(e=c-\frac{b^2}{4a}\). En nuestro caso, \(d=\frac{\omega_0}{alpha}\) y \(e=\theta_0-\frac{\omega_0^2}{2\alpha}\). Ahora podemos reescribir la ecuación de la posición angular del objeto,

$$\theta=\theta_0+\frac12\alpha{(t+\frac{\omega_0}\alpha)}^2\;-\frac{\omega_0^2}{2\alpha}.$$

Si reordenamos la ecuación de la velocidad angular y sustituimos el término \(t+\frac{\omega_0}\alpha) en la expresión anterior, obtenemos una expresión útil para resolver problemas de física que no proporcionan o no te piden que halles el intervalo de tiempo:

$$\begin{align*}\omega&=\omega_0+\alpha t,\\\frac\omega\alpha&=t+\frac{\omega_0}\alpha.\end{align*}$$

Sustituimos esta expresión en la ecuación del desplazamiento angular,

$$\begin{align*}\theta&=\theta_0+\frac12\alpha\left(\frac\omega\alpha\right)^2-\frac{\omega_0^2}{2\alpha},\\\theta&=\theta_0+\frac{\omega^2-\omega_0^2}{2\alpha},\\\omega^2&=\omega_0^2+2\alpha\left(\theta-\theta_0\right).\fin{align*}$$

Hemos demostrado que las ecuaciones del movimiento de aceleración uniforme en una dimensión son idénticas para el movimiento de traslación y de rotación. El desplazamiento angular, la velocidad y la aceleración son los análogos rotacionales del desplazamiento, la velocidad y la aceleración traslacionales.

Ahora podemos describir el movimiento traslacional de un punto que gira alrededor de un eje y el movimiento rotacional de un punto que también se mueve traslacionalmente. En la imagen siguiente podemos ver cómo identificar un sistema que experimenta movimiento traslacional, movimiento rotacional o ambos a la vez. Es importante tener en cuenta que el movimiento de traslación puede ser lineal o no lineal.

Fig. 2 - Visualización de la combinación de movimientos de rotación y traslación. También vemos que el movimiento de traslación puede ser lineal o no lineal.

Conexión del movimiento de traslación y rotación

Para conectar el desplazamiento angular con la traslación de un punto en un sistema rígido, primero debemos imaginar un disco con un radio determinado que llamaremos línea de referencia. En un cuerpo rígido, todos los puntos situados a lo largo de una línea radial tendrán el mismo desplazamiento angular.

Fig. 3 - Visualización de la línea de referencia para relacionar el desplazamiento traslacional con el desplazamiento angular. En un sistema rígido, todos los puntos a lo largo de una línea radial tienen siempre el mismo desplazamiento angular.

En la imagen anterior, vemos que si multiplicamos el desplazamiento angular por la longitud de la línea radial, podemos determinar la longitud de arco. La definición de longitud de arco es clave para relacionar el movimiento de traslación y el de rotación,

$$\begin{align*}\Delta s\;&=r\Delta\theta,\\\frac{\Delta s}r&=\Delta\theta.\\final{align*}$$

Del mismo modo, podemos reordenar la definición de la longitud de arco para hallar la expresión de la velocidad angular. Debemos dividir ambos lados de la ecuación por un intervalo de tiempo,

$$\begin{align*}\Delta s&=r\Delta\theta,\\\frac{\displaystyle\Delta s}{\Delta t}&=r\frac{\displaystyle\Delta\theta}{\Delta t},\;\\\overline v&=r\overline\omega.\end{align*}$$

Para hallar la velocidad instantánea traslacional y angular, debemos utilizar sus definiciones de cálculo:

$$\begin{align*}\frac{\displaystyle\operatorname ds}{\operatorname dt}&=r\frac{\displaystyle\operatorname d\theta}{\operatorname dt},\v&=r\omega.\final{align*}$$

Hemos relacionado el desplazamiento traslacional y la velocidad con el desplazamiento angular y la velocidad. Además, podemos observar que la velocidad angular es proporcional a la longitud de la línea radial. Esto significa que los puntos que están lejos del eje de rotación se desplazarán más rápido que los puntos que están más cerca del eje.

Para relacionar la aceleración traslacional con la angular, debemos diferenciar la expresión anterior con respecto al tiempo:

$$\begin{align*}\frac{\displaystyle\operatorname dv}{\operatorname dt}&=r\frac{\displaystyle\operatorname d\omega}{\operatorname dt},\a&=r\alpha.\end{align*}$$

Acabamos de demostrar que la aceleración puede surgir de un cambio de velocidad causado por la aceleración angular.

Es importante mencionar que esta aceleración es diferente de la aceleración centrípeta causada por el movimiento de traslación y circular. La aceleración centrípeta no produce un cambio de velocidad, sino de rapidez, porque la dirección cambia constantemente.