Definición de equilibrio rotacional
En física, el equilibrio se refiere a un balance de fuerzas. Las fuerzas son acciones que alteran o mantienen el estado de movimiento de un objeto.
El equilibriorotacional se produce cuando un sistema tiene una velocidad de rotación constante y un par neto nulo.
Sin embargo, para comprender plenamente el equilibrio rotacional debemos entender el par. El par es el equivalente rotacional de una fuerza.
El par, \( \tau \), es una magnitud vectorial que cuantifica el efecto de giro de una fuerza aplicada a un objeto y es el equivalente rotacional de la fuerza lineal. Un par resultante genera una aceleración angular resultante (distinta de cero).
Launidad SI para el par es \( \mathrm{N\,m} \). La convención establece que una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj indica un par de torsión positivo, y una rotación en sentido de las agujas del reloj indica un par de torsión negativo. La cantidad de par aplicada a un objeto depende de la fuerza aplicada y de la distancia perpendicular desde donde se aplica la fuerza, con respecto al eje de rotación.
Ecuación del equilibrio rotacional
Para que un sistema esté en equilibrio rotacional, la suma de todos los pares que actúan sobre él debe ser igual a cero.
$$\suma \vec{\tau}=0.$$
Como resultado de esta fórmula, es importante discutir las tres fórmulas correspondientes al par motor.
- Fórmuladel producto cruzado, \( \vec{\tau} = \vec{r} \veces \vec{F}, \) donde \(\vec{r}) es el brazo de palanca medido en metros \(\mathrm{m} ) y \(\vec{F}) es la fuerza aplicada medida en newtons, \(\mathrm{N}).
- Fórmula de la magnitud, \( |\\tau| = |\\vec{r}| |\vec{F}| \sin\theta \) donde \( |\vec{r}||) es la magnitud del brazo de palanca, \(|\vec{F}|) es la magnitud de la fuerza aplicada, y \ (\theta\) es el ángulo entre el brazo de palanca y la fuerza aplicada.
- Fórmula de la Segunda Ley de Newton, \(\tau=I\alpha, \) donde \(\tau\) es la magnitud del par aplicado a un cuerpo, \(I\) es el momento de inercia, y \ (\alpha\) es la aceleración angular del cuerpo como resultado. Observa que el momento de inercia desempeña el papel de la masa cuando la segunda ley de Newton se escribe en forma rotacional.
El brazo de palanca es la distancia perpendicular desde el eje de rotación a la línea de acción de la fuerza.
Equilibrio rotacional vs. Equilibrio traslacional
Para que se produzca el equilibrio, deben cumplirse tres condiciones. Estas condiciones diferirán ligeramente en función del movimiento, ya que los objetos experimentan un movimiento traslacional o rotacional. El movimiento traslacional es unidimensional a lo largo de una trayectoria recta y corresponde al equilibrio traslacional.
El equilibriotraslacional es un estado en el que la suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre el centro de masa de un objeto es igual a cero.
Un objeto está en equilibrio traslacional si su velocidad es constante, está inmóvil o se mueve con velocidad constante, y la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el objeto es igual a cero. Es decir, las fuerzas a izquierda y derecha son iguales o las fuerzas hacia arriba y hacia abajo son iguales. Cuando la fuerza neta es igual a cero, sabemos que el objeto no está acelerando según la segunda ley de Newton, \( F=ma \).
Fig. 2 - Diagrama de cuerpo libre de fuerzas iguales y opuestas que se anulan mutuamente.
A la inversa, el equilibrio rotacional corresponde al movimiento de rotación, es decir, al movimiento circular alrededor de un eje. Un objeto está en equilibrio rotacional si su velocidad angular es constante, el objeto está en reposo o se mueve a velocidad angular constante, y la suma de todos los pares que actúan sobre el objeto es cero. Esto significa que todas las fuerzas en sentido horario y antihorario son iguales. Cuando el par neto es igual a cero, sabemos que el objeto no tiene aceleración angular según la segunda ley de Newton en forma rotacional, \( \tau=I\alpha \).
Fig. 3 - Este balancín está en equilibrio rotacional, ya que el par total alrededor del punto de equilibrio es cero.
Equilibrio rotacional y equilibrio estático
Estático significa estacionario o en reposo, mientras que equilibrio significa balance.
El equilibrioestático es el estado de reposo equilibrado que pueden ocupar los objetos cuando sobre ellos no actúa ninguna fuerza o par neto.
Cuando un objeto está en equilibrio estático, está en reposo. El objeto no se mueve a lo largo de un eje ni gira alrededor de un eje. El objeto está completamente inmóvil. Para que un objeto esté en equilibrio estático se requieren dos condiciones. \La condición 1 se refiere al equilibrio traslacional y establece que todas las fuerzas que actúan sobre el objeto a lo largo de cualquier eje deben ser iguales a cero. Esto significa que
\Comienzo \suma{F_x}=0, suma{F_y}=0, suma{F_z}=0. fin{align}
\La condición 2 se refiere al equilibrio rotacional y establece que todos los pares que actúan sobre el objeto a lo largo de cualquier eje deben ser iguales a cero. Esto significa que
\ {comienza} {suma} {tau_x}=0, \ {suma} {tau_y}=0, \ {suma} {tau_z}=0.\\\\ {final{comienza} {comienza} {align}
Si se cumplen estas condiciones, se dice que los objetos están en equilibrio estático.
Aplicaciones reales del equilibrio estático
El equilibrio estático es un concepto muy importante en la construcción de puentes colgantes. Tomemos como ejemplo el puente Golden Gate. Durante la construcción, los ingenieros dedican mucho trabajo a determinar las fuerzas en cada punto del puente. Esto les permite determinar la fuerza que deben tener los cables de suspensión a lo largo del puente. Los cables deben ser lo bastante fuertes para suspender el puente sin ser demasiado pesados. El equilibrio estático les permite hallar las fuerzas que actúan sobre el puente en cualquier punto y, a su vez, seleccionar el cable adecuado y/u otros materiales necesarios para construir con éxito el puente. Esto es bueno para nosotros, porque a mí no me gustaría cruzar en coche un puente en movimiento, ¿y a ti?
Ejemplos de equilibrio rotacional
Utilizando nuestros nuevos conocimientos sobre el equilibrio rotacional, vamos a completar dos ejemplos para ayudar a solidificar este concepto.
Dos niños están sentados en un balancín inmóvil, cada uno situado a \( 1,5\,\mathrm{m} \) del centro. Si uno de los niños ejerce sobre el balancín una fuerza de 588 N, calcula la fuerza que debe ejercer el otro niño para que el balancín se mantenga en equilibrio.
Solución
Para que un objeto esté en equilibrio, sabemos que todos los pares que actúan sobre el objeto deben ser iguales a cero. Por tanto, si la distancia desde el pivote es la misma en cada lado y se aplica una fuerza de \( 588\,\mathrm{N} \) en un lado, sabemos que debe aplicarse una fuerza igual de \( 588\,\mathrm{N} \) en el lado opuesto para satisfacer las condiciones de equilibrio rotacional.
\[\begin{align}\tau_1+\tau_2&=0,\\r_1F_1\sin\theta+r_2F_2\sin\theta&=0.\\\end{align} \]
Para \( \theta \), sabemos que ambos ángulos son de 90 grados debido a que la fuerza de la gravedad forma ángulos rectos con cada lado de la viga. Como \( \sin(90^\circ)=1 \), podemos reescribir la ecuación como \ (r_1 F_1+r_2 F_2=0\).
\[ \begin{align}r_1F_1+r_2F_2&=0,\\-r_1F_2&=r_2F_2,\\-\frac{r_1{F_1}}{r_2}&=F_2,\\-\frac{(1.5\,\mathrm{m})(588\,\mathrm{N})}{1.5 \,\mathrm{m}}&=F_2,\\F_2&=588\,\mathrm{N}.\\\end{align} \]
Por tanto, el segundo niño está al otro lado del punto de equilibrio, indicado por el signo negativo.
Intentemos un ejemplo un poco más complejo.
Una viga, en equilibrio sobre un perno, tiene una masa \( 0,050,\mathrm{kg}) colocada \( 0,32,\mathrm{kg}) a la izquierda del centro de la viga. ¿Dónde debe colocarse una masa \( 0,067\mathrm{kg}\), a la derecha del centro de la viga, para que ésta permanezca en equilibrio? Ten en cuenta que la gravedad empuja hacia abajo la viga en el punto central.
Fig. 4- Diagrama de masas en equilibrio sobre una viga.
Solución
Paso 1: En primer lugar, debemos determinar todas las fuerzas que actúan sobre la viga y la distancia de cada una de ellas al punto de rotación. Recuerda que la fuerza que ejerce cada masa sobre la viga es igual al peso de la masa. El peso se calcula mediante la ecuación, \( F=mg\), donde \(m\) es la masa medida en \( \mathrm{kg}\) y la \(g\) es la aceleración debida a la gravedad, que es una constante, \( 9,8\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}). Por tanto, nuestros cálculos son los siguientes
\[ \begin{align} F_1&=m_1{g},\\F_1&=(0.050 \,\mathrm{kg})\left(9.8\,\mathrm{\frac{m}{s}^2}\right),\\F_1&=0.49 \,\mathrm{N}. \\\fin \]
Para la segunda masa, tenemos
\F_2&=2{align}. F_2&=m_2{g},\\F_2&=(0.067 \,\mathrm{kg})\left(9.8\,\mathrm{\frac{m}{s}^2}\right),\\F_2&=0.66 \,\mathrm{N}. \\\fin].
Ahora sabemos que el \( F_1 \) tiene un radio correspondiente de \( 0,32,\mathrm{m} \), ya que se nos da esta información. Sin embargo, debemos determinar el radio correspondiente para \( F_2\).
Paso 2: Para determinar el radio correspondiente a \( F_2 \), necesitamos calcular la suma de todos los pares que actúan sobre la viga. Recuerda que para que un objeto esté en equilibrio, la suma de todos los pares debe ser cero. Sin embargo, antes de seguir adelante, debemos identificar qué fórmula de par se aplica. La fórmula
\( \tau=rF\sin\theta \) se aplica y nos permite escribir lo siguiente.
\[ \begin{align}\tau_1+\tau_2&=0,\\r_1F_1\sin\theta+r_2F_2\sin\theta&=0.\\\end{align}\]
Para \( \theta \), sabemos que ambos ángulos son de 90 grados debido a que la fuerza de la gravedad forma ángulos rectos con cada lado de la viga. Además, sabemos que el primer par es positivo debido a la regla de la mano derecha. Si apuntamos con los dedos hacia la izquierda y los curvamos hacia abajo en la dirección de la gravedad, el pulgar apuntará hacia fuera. Para el segundo par, si apuntamos con los dedos hacia la derecha y los curvamos hacia abajo, el pulgar apuntará hacia dentro, lo que indica un par negativo. Como \( \sin \izquierda(90^{circ}\derecha)=1\) podemos simplificar esta ecuación \(r_1 F_1+r_2 F_2=0\).
Paso 3: Reorganiza nuestra ecuación,\(r_1 F_1+r_2 F_2=0\), en términos de \(r_2\) e inserta nuestras variables dadas. Observa que estamos tomando la dirección positiva hacia la derecha del rayo, lo que da como resultado
\[ \begin{align}r_1F_1+r_2F_2&=0,\\r_1F_2&=-r_2F_2,\\-\frac{r_1{F_1}}{F_2}&=r_2,\\-\frac{(-0.32\,\mathrm{m})(0.49\,\mathrm{N})}{0.66 \,\mathrm{N}}&=r_2,\\r_2&=0.24\,\mathrm{m}.\\\end{align} \]
La segunda masa debe colocarse \( 0,24,\mathrm{m}) a la derecha del centro de la viga.
Equilibrio rotacional - Puntos clave
- El equilibriorotacional es un estado en el que ni el estado de movimiento de un sistema ni su estado de energía interna cambian con respecto al tiempo.
- Elpar, \( \tau \), es una magnitud vectorial que cuantifica el efecto de giro de una fuerza aplicada a un objeto.
- Para que un sistema esté en equilibrio rotacional, la suma de todos los pares que actúan sobre él debe ser igual a cero, \ ( \suma\tau=0 \).
- El equilibriotraslacional es un estado en el que la suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre un objeto es igual a cero.
- El equilibrio estático es el estado de reposo absoluto.
Referencias
- Fig. 1 - Diagrama de par, StudySmarter Originals.
- Fig. 2 - Diagrama de cuerpo libre, StudySmarter Originals.
- Fig. 3 - Balancín en equilibrio, StudySmarter Originals.
- Fig. 4 - Viga de equilibrio, StudySmarter Originals.
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