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Definiciones de movimiento angular y movimiento lineal
El movimiento es la acción de mover o ser movido un objeto. El movimiento puede clasificarse en movimiento lineal o movimiento angular.
El movimientolineal es un movimiento unidimensional a lo largo de una trayectoria recta.
En cambio, el movimiento angular se refiere a una trayectoria curva.
El movimientoangular es el movimiento circular alrededor de un eje fijo.
Relación entre movimiento angular y movimiento lineal
El movimiento angular y el movimiento lineal están relacionados por un campo de la física conocido como cinemática.
Lacinemática se refiere al estudio del movimiento sin tener en cuenta las fuerzas en juego.
En el campo de la cinemática, hay cuatro magnitudes de movimiento correspondientes. Estas magnitudes son
- Velocidad
- Aceleración
- Desplazamiento
- Tiempo
y pueden escribirse en términos de movimiento lineal o angular. Las variables de movimiento anteriores corresponden al movimiento lineal.
Observa que la velocidad, la aceleración y el desplazamiento son magnitudes vectoriales, lo que significa que tienen magnitud y dirección.
Variables del movimiento lineal
Definamos cada una de las magnitudes del movimiento lineal, empezando por el desplazamiento.
El desplazamiento, \( x \), es la diferencia entre una posición inicial y una final a lo largo de una trayectoria determinada.
La fórmula matemática correspondiente a esta definición es $$x=v\,\Delta{t}$$ donde \( v \) es la velocidad y \( t \) es el tiempo. El desplazamiento tiene una unidad SI de \(\mathrm{m}\). El desplazamiento se confunde a veces con el término distancia. Eldesplazamiento esel cambio global en la posición de un objeto, mientras que la distancia es la magnitud del desplazamiento.
Lavelocidad, \( v \), es la tasa de cambio del desplazamiento de un objeto con respecto al tiempo.
La fórmula matemática correspondiente a esta definición es
$$v=\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}}$$ donde \( x \) es el desplazamiento y \( t \) es el tiempo. La velocidad tiene una unidad SI de \( \mathrm{\frac{m}{s}}). Sin embargo, para la velocidad instantánea utilizamos \( v=\frac{dx}{dt}. \) De nuevo, igual que el desplazamiento se confunde con la distancia, la velocidad se confunde con la rapidez. La velocidad es el índice direccional de cambio de posición, mientras que la rapidez es la magnitud de la velocidad.
La aceleración, \( a \), es el cambio de velocidad de un objeto con respecto al tiempo.
La fórmula matemática correspondiente a esta definición es
$$a=\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}$$ donde \( v \) es la velocidad y \( t \) es el tiempo. La aceleración tiene una unidad SI de \( \mathrm{\frac{m}{s^2}}. \) Sin embargo, para la aceleración instantánea, utilizamos \( a=\frac{dv}{dt}. \)
El tiempo, \( (t) \) no cambia en relación con el tipo de movimiento de un objeto y se mide en \( s. \)
Variables de desplazamiento angular
Para el movimiento angular, las cuatro magnitudes del movimiento son
- Desplazamiento angular - Ángulo que recorre un objeto respecto a algún centro de rotación.
- velocidad angular
- aceleración angular
- tiempo
Definamos ahora cada variable, empezando por el desplazamiento angular.
El desplazamiento angular, \( \theta \), es la diferencia entre una posición angular inicial y final alrededor de un eje determinado.
La fórmula matemática correspondiente a esta definición es $$\theta=\omega\,\Delta{t}$$ donde \( \omega \) es la velocidad angular y \( t \) es el tiempo. El desplazamiento angular tiene una unidad SI de \(\mathrm{radians}\).
Lavelocidad angular, \( \omega \), es la tasa de cambio del desplazamiento angular de un objeto con respecto al tiempo.
La fórmula matemática correspondiente a esta definición es
$$\omega=\frac{\Delta{\theta}}{\Delta{t}}$$ donde \( \theta \) es el desplazamiento angular y \( t \) es el tiempo. La velocidad angular tiene una unidad SI de \( \mathrm{\frac{rad}{s}}).
La derivada de esta ecuación da \( \omega=\frac{d\theta}{dt} \) , que es la definición de velocidad angular instantánea.
Laaceleración angular, \( \alfa \), es el cambio de velocidad angular de un objeto con respecto al tiempo.
La fórmula matemática correspondiente a esta definición es
$$\alpha=\frac{\Delta{\omega}}{\Delta{t}}$$ donde \( \omega \) es la velocidad angular y \( t \) es el tiempo. La aceleración angular tiene una unidad SI de \( \mathrm{\frac{rad}{s^2}} \).
La derivada de esta ecuación da \( \alpha=\frac{d\omega}{dt} \) , que es la definición de aceleración angular instantánea.
El tiempo, \( (t) \) no cambia en relación con el tipo de movimiento de un objeto y se mide en \( s. \)
Relación entre las variables de movimiento
Además de comprender las definiciones y las fórmulas correspondientes de las magnitudes de movimiento lineal y las magnitudes angulares, también debemos conocer la relación entre estas magnitudes.La velocidades la primera derivada del desplazamiento con respecto al tiempo, \( v=\frac{dx}{dt} \), mientras que la aceleración es la primera derivada de la velocidad con respecto al tiempo, \( a=\frac{dv}{dt} \) así como la segunda derivada del desplazamiento \( a=\frac{d^2{x}{dt^2} \) Del mismo modo, la velocidad angular es la primera derivada del desplazamiento angular con respecto al tiempo, \( \omega=\frac{d\theta}{dt}\), mientras que la aceleración angular es la primera derivada de la velocidad angular respecto al tiempo, \( \alpha=\frac{d\omega}{dt} \) así como la segunda derivada del desplazamiento angular \( \alpha=\frac{d^2\theta}{dt^2}. \) Comprobemos nuestra comprensión con los dos ejemplos siguientes, empezando por el movimiento angular.
Dada la función de posición, \( x(t)=\left(9\;\mathrm{\frac{m}{s^2}}\right) t^2 +\left(6\;\mathrm{\frac{m}{s^2}}\right)t -4\;\mathrm{m}, \) calcula las funciones de velocidad y aceleración.
Solución
Para hallar la función velocidad podemos calcular la derivada de la función posición respecto al tiempo.
\begin{align}v(t)&=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\\v(t)&= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \left(9;\mathrm{\frac{m}{s^2}}\right) t^2 +\left(6\;\mathrm{\frac{m}{s}}\right)t -4\;\mathrm{m}\right)\\v(t)&=\left(18\;\mathrm{\frac{m}{s^2}}\right)t+6\;\mathrm{\frac{m}{s}}\end{align}
Del mismo modo, como la aceleración es la segunda derivada de la función de posición, podemos hallarla calculando la derivada de la función de velocidad.
\begin{align}\\a(t)&=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\\a(t)&= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\left(18\;\mathrm{\frac{m}{s^2}}\right)t+6\;\mathrm{\frac{m}{s}}\right)\\a(t)&=18\;\mathrm{\frac{m}{s^2}}\\\end{align}
Una vez más para el movimiento angular.
Dada la función de posición angular, \( \theta(t)=\left(5;\mathrm{frac{rad}{s^2}\right) t^2 +\left(8;\mathrm{frac{rad}{s^2}\right)t -6;\mathrm{rad}, \) calcula las funciones de velocidad angular y aceleración angular.
Solución
Para hallar la función de velocidad angular podemos calcular la derivada de la función de posición angular respecto al tiempo.
\begin{align}\omega(t)&=\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\\\omega(t)&= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \left(5\;\mathrm{frac{rad}{s^2}}\right) t^2 +\left(8\;\mathrm{frac{rad}{s}\right)t -6\;\mathrm{rad}\right)\\\omega(t)&=\left(10\;\mathrm{\frac{rad}{s^2}}\right)t+8\;\mathrm{\frac{rad}{s}}\end{align}
Del mismo modo, como la aceleración angular es la segunda derivada de la función de posición angular, podemos hallarla calculando la derivada de la función de velocidad angular.
\begin{align}\\\alpha(t)&=\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}\\\alpha(t)&= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\left(10\;\mathrm{\frac{rad}{s^2}}\right)t+8\;\mathrm{\frac{rad}{s}}\right)\\\alpha(t)&=10\;\mathrm{\frac{rad}{s^2}}\\\end{align}
Ahora que entendemos la relación entre las magnitudes en sí, también tenemos que discutir cómo se relacionan entre sí las magnitudes de movimiento lineal y las de movimiento angular. Estas relaciones aparecen en la tabla siguiente, donde \( r \) es el radio del movimiento circular.
| Variable | Abreviatura Lineal | Unidades SI lineales | Angular Abreviatura | Angular Unidades SI | Relación |
| aceleración | $$a$$ | $$\frac{m}{s^2}$$ | $$$alfa$$ | $$\frac{rad}{s^2}$$ | $$a=\alpha{r}, \alpha=\frac{a}{r}$$ |
| velocidad | $$v$$ | $$\frac{m}{s}$$ | $$\omega$$ | $$\frac{rad}{s}$$ | $$v=\omega{r}, \omega=\frac{v}{r}$$ |
| desplazamiento | $$x$$ | $$m$$ | $$\Delta \theta$$ | $$rad$$ | $$x=\theta{r}, \theta=\frac{x}{r}$$ |
| tiempo | $$t$$ | $$s$$ | $$t$$ | $$s$$ | $$t=t$$ |
Para comprender mejor estas relaciones, veamos el siguiente diagrama.
Eldesplazamiento angular, \(\theta\) es una medida de cuánto ha girado un cuerpo alrededor de un eje especificado, dado como un ángulo normalmente en unidades de radianes. El desplazamiento angular está directamente relacionado con el desplazamiento lineal, ya que el desplazamiento lineal se refiere a la distancia en línea recta entre puntos, mientras que el desplazamiento angular se refiere a la trayectoria curva del movimiento entre esos puntos. El desplazamiento lineal es proporcional al radio de giro y al desplazamiento angular. La velocidad tangencial, \(v\) describe la componente lineal instantánea del movimiento de un objeto respecto a su trayectoria circular en la dirección perpendicular a la normal a la dirección al centro de rotación. Una forma de visualizarlo es imaginar que hacemos girar una masa sobre una cuerda: si cortamos la cuerda, la masa seguirá moviéndose con su velocidad tangencial en el instante en que se cortó la cuerda. Esta dirección es perpendicular al centro del círculo de rotación de la masa.
Del mismo modo, esta relación describe la relación entre la aceleración angular y la aceleración lineal. Si insertamos la fórmula de la velocidad angular, \( \omega=\frac{v}{r} \), en la ecuación de la aceleración angular, \( \alpha=\frac{\Delta{\omega}}{\Delta{t}} \), podemos deducir la ecuación correspondiente que relaciona la aceleración angular con la aceleración lineal instantánea, \( \alpha=ar. \) Las magnitudes del movimiento lineal son análogas a las del movimiento angular.
Ecuaciones del movimiento angular y del movimiento lineal
En consecuencia, tres ecuaciones describen la relación entre las magnitudes de movimiento lineal y angular. Estas ecuaciones se conocen como las "Tres Grandes" y son dos conjuntos distintos de ecuaciones utilizadas para calcular variables cinemáticas desconocidas. A cada ecuación le falta una única variable cinemática. En consecuencia, al elegir qué ecuación es necesaria para resolver un problema, determina qué variable no se proporciona y qué variable no se pide que se encuentre.
Ecuaciones cinemáticas del movimiento lineal
La ecuación de la velocidad,
$$v=v_{o} + a{t}.$$
La ecuación de desplazamiento,
$$\Delta{x} =v_o{t}+\frac{1}{2}{a}t^2.$$
La ecuación de la velocidad al cuadrado,
$$v^2={v_{o}}^2 +2{a}\Delta{x}.$$
Observa que \( v \) es la velocidad final, \( v_o \) es la velocidad inicial, \( a \) es la aceleración, \(t\) es el tiempo, y \(\Delta{x} \) es el desplazamiento.
Estas ecuaciones cinemáticas sólo se aplican cuando la aceleración es constante.
Hagamos un ejemplo rápido para comprobar nuestra comprensión.
Un nadador, anticipándose a la señal de salida, espera en el bloque de salida. Cuando se le da la señal de salida, se zambulle en el agua y empieza a nadar con una velocidad de \( 0\,\mathrm{\frac{m}{s}. \) El nadador acelera hasta alcanzar una velocidad de \ ( 2,7\,\mathrm{\frac{m}{s}. \) ¿Cuál es la aceleración del nadador y el desplazamiento sobre esta aceleración si tarda \( 30\,\mathrm{s} \) en alcanzar la velocidad final?
Fig. 2: Un nadador demuestra un movimiento lineal.
A partir del problema, se nos da lo siguiente: velocidad inicial, velocidad final y tiempo. Como resultado, podemos identificar y utilizar la ecuación,\( v=v_o + at, \) para resolver la primera parte de este problema. Por tanto, nuestros cálculos son
\v&=v_o + at2,7,\mathrm{\frac{m}{s}&= 0 + a,(30,\mathrm{s})\a&= \frac{2,7,\mathrm{\frac{m}{s}}30,\mathrm{s}\a&=0,09,\mathrm{\frac{m}{s^2}\pend{align}
Utilizando este valor y la ecuación, \( v^2=v_{o}^2 +2a\Delta x, \) podemos calcular el desplazamiento del nadador de la siguiente manera: \begin{align}v^2&=v_{o}^2 +2a\Delta x\\\left({2.7\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\right)^2&=0 +2\left(0.09\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\right){\Delta x}\\7.29&=(0.09)(\Delta x)\\\Delta x&= \frac{7.29}{0.09}=81\,\mathrm{m}\\\end{align}
Ecuaciones cinemáticas del movimiento angular
Las siguientes ecuaciones representan las ecuaciones cinemáticas del movimiento angular de un objeto que se mueve con aceleración angular constante.
La ecuación de la velocidad angular viene dada por
$$\omega=\omega_{o} + \alpha{t}.$$
La ecuación del desplazamiento angular viene dada por
$$\Delta{\theta} =\omega_o{t}+\frac{1}{2}{\alpha}t^2.$$
La ecuación de la velocidad angular al cuadrado viene dada por
$$\omega^2={\omega_{o}}^2 +2{\alpha}\Delta{\theta}.$$
Observa que \(\omega\) es la velocidad angular final, \(\omega_0\) es la velocidad angular inicial, \(\alpha\) es la aceleración angular, \(t\) es el tiempo, y \(\Delta\theta\) es el desplazamiento angular.
Estas ecuaciones cinemáticas sólo se aplican cuando la aceleración angular es constante.
De nuevo, vamos a completar otro ejemplo utilizando las ecuaciones del movimiento angular.
Un ventilador gira inicialmente con una velocidad angular de \( 1,6\,\mathrm{\frac{rad}{s}. \) Si su aceleración angular es \( 2,1\,\mathrm{\frac{rad}{s^2}) y el desplazamiento angular de una de sus aspas sobre esta aceleración es \( 7,3\,\mathrm{rad}, \) ¿cuál es la velocidad angular final del ventilador?
Fig. 3: Un ventilador demuestra el movimiento angular.
Basándonos en el problema, se nos da lo siguiente: velocidad angular inicial, aceleración angular y desplazamiento angular. Como resultado, podemos identificar y utilizar la ecuación, \( \omega^2=\omega_{o}^2 +2\alpha\Delta\theta, \) para resolver este problema. Nuestros cálculos son los siguientes
\begin{align}\omega^2&=\omega_{o}^2 +2\alpha\Delta\theta \\\omega^2&=\left(1.6\,\mathrm{\frac{rad}{s}}\right)^2 +2\left(2.1\,\mathrm{\frac{rad}{s^2}}\right)(7.3\,\mathrm{rad})\\\omega^2&= 33.22\\\omega&= 5.8\,\mathrm{\frac{rad}{s}}\\\end{align}
Similitudes entre movimiento angular y movimiento lineal
Las similitudes entre el movimiento angular y el movimiento lineal pueden verse en sus correspondientes variables de movimiento y ecuaciones cinemáticas. Aunque las variables cambian y cada una describe un tipo de movimiento distinto, la relación entre desplazamiento, velocidad y aceleración sigue siendo la misma independientemente del movimiento. ¿Por qué? Pues porque la velocidad es la primera derivada del desplazamiento y la aceleración es la primera derivada de la velocidad y la segunda derivada del desplazamiento. Independientemente del movimiento y de la trayectoria seguida, estas derivadas se mantienen cuando la aceleración es constante. Por tanto, consideramos que el movimiento angular es análogo al movimiento lineal, lo que da lugar a que las variables de movimiento angular y movimiento lineal sean homólogas equivalentes entre sí. En consecuencia, las ecuaciones cinemáticas correspondientes a cada conjunto de variables también son análogas.
Diferencias entre el movimiento angular y el movimiento lineal
Aunque similar, el movimiento lineal se caracteriza por variables y ecuaciones cinemáticas lineales, mientras que el movimiento angular se caracteriza por variables y ecuaciones cinemáticas angulares. Cada uno describe una forma distinta de movimiento y tiene unidades de medida diferentes. El movimiento lineal describe el movimiento de los objetos a lo largo de una trayectoria recta y sus variables asociadas se miden en unidades de longitud. El movimiento angular es el movimiento circular de los objetos alrededor de un eje fijo y sus variables asociadas se miden en unidades angulares, como radianes o grados. Sin embargo, dos diferencias claras entre el movimiento angular y el movimiento lineal tienen que ver con la fuerza que causa el movimiento y con el sistema de coordenadas utilizado para analizar cada tipo de movimiento. La fuerza provoca un movimiento lineal, mientras que el par provoca un movimiento angular. En consecuencia, pueden utilizarse dos sistemas de coordenadas diferentes. Para el movimiento lineal, utilizamos el típico sistema de coordenadas cartesianas, \( x,y, \) sin embargo, para el movimiento angular es más adecuado un sistema de coordenadas polares.
El sistema de coordenadaspolares es un sistema de coordenadas bidimensional en el que las posiciones de los puntos se definen en función del ángulo respecto a algún eje y de la distancia respecto a un punto central.
En este tipo de sistema de coordenadas, utilizamos \( \rho,\theta, \) donde \( \rho \) es la distancia entre el objeto y el origen y \( \theta \) es el ángulo entre el eje x y el vector de posición que nos da la dirección. Podemos transformar un sistema de coordenadas cartesianas en un sistema de coordenadas polares entendiendo que \( x=\rho\cos\theta,\) \( y=\rho\sin\theta,\) y \(\rho = \sqrt{x^2 +y^2}.\)
Movimiento angular y movimiento lineal - Puntos clave
- Movimiento lineal es un movimiento unidimensional a lo largo de una trayectoria recta.
- El movimiento angular es un movimiento de rotación alrededor de un eje fijo.
- El movimiento angular y el movimiento lineal están relacionados por un campo de la física conocido como cinemática.
- La cinemática se centra en el movimiento y en cómo las variables del movimiento dependen unas de otras.
- El movimiento lineal corresponde a la aceleración, la velocidad, el desplazamiento y el tiempo, así como a 3 ecuaciones cinemáticas.
- El movimiento angular corresponde al desplazamiento angular, la velocidad angular, la aceleración angular y el tiempo, así como a 3 ecuaciones cinemáticas.
- La velocidad es la primera derivada del desplazamiento con respecto al tiempo, \( v=\frac{dx}{dt}\), mientras que la aceleración es la primera derivada de la velocidad con respecto al tiempo, \( a=\frac{dv}{dt}\), así como la segunda derivada del desplazamiento \( a=\frac{d^2{x}{dt^2}. \)
- La velocidad angular es la primera derivada del desplazamiento angular con respecto al tiempo, \( \omega=\frac{d\theta}{dt} \), mientras que la aceleración angular es la primera derivada de la velocidad angular con respecto al tiempo, \( \alpha=\frac{d\omega}{dt} \) así como la segunda derivada del desplazamiento angular \( \alpha=\frac{d^2\theta}{dt^2}. \)
- Las magnitudes del movimiento lineal son análogas a las del movimiento angular.
- El movimiento lineal y el movimiento angular son dos formas distintas de movimiento, cada una con unidades de medida diferentes.
Referencias
- Fig. 1: Diagrama de relación cinemática lineal y angular- StudySmarter Originals
- Fig. 2: Nadador (https://www.pexels.com/photo/person-swimming-on-body-of-water-863988/) de Guduru Ajay bhargav ( https://www.pexels.com/@ajaybhargavguduru/) tiene licencia CC0 1.0 Universal (CC0 1.0).
- Fig. 3: Originales de Fan-StudySmarter
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