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Fig. 1 - Esta es una imagen del cometa Halley. La Tercera Ley de Kepler se aplica al cometa.
Las leyes de Kepler sobre el movimiento planetario
En el siglo XVI, el astrónomo Nicolás Copérnico planteó la hipótesis de que el Sol estaba inmóvil en el centro de nuestro universo, y que los demás planetas, como la Tierra, orbitaban a su alrededor con revoluciones circulares. Una de las principales mejoras de este modelo la originó Johannes Kepler, que utilizó observaciones astronómicas para demostrar que, en lugar de tener órbitas circulares, los planetas seguían en realidad un movimiento elíptico alrededor del Sol.
Estas trayectorias orbitales se describieron mediante Leyes de Kepler, que trataremos y ampliaremos en este artículo. Aunque se formularon originalmente para los planetas del Sistema Solar que orbitan alrededor del Sol, pueden aplicarse universalmente. Pueden aplicarse a exoplanetas alrededor de otras estrellas, así como describir el movimiento de unsatélite que orbita alrededor de un planeta. Sin embargo, si queremos aplicar las Leyes de Kepler debemos asegurarnos de que el centro de masa del sistema satélite-planeta está dentro del cuerpo central y de que el satélite es mucho menos masivo que el centro de masa del planeta.
La Primera Ley de Kepler establece que los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol en su centro.
Fig. 2 - Las elipses tienen dos focos, así como un semieje mayor y un semieje menor.
LaSegunda Ley de Kepler establece que el vector distancia entre el planeta y el Sol barre áreas iguales de la elipse en tiempos iguales.
En una órbita circular, el satélite se moverá a la misma velocidad durante toda la órbita. Sin embargo, según la Segunda Ley de Kepler, en una órbita elíptica, un satélite viaja más rápido cuando está más cerca del planeta y se mueve más despacio cuando está más lejos del planeta. 
Fig. 3 - Representación visual de la Segunda Ley de Kepler. Observa cómo se barren zonas iguales del espacio en periodos iguales de tiempo.
Tercera Ley de Kepler: Definición
Kepler quedó tan asombrado por su hallazgo que afirmó lo siguiente en su libro Armonías del Mundo (1619):
Al principio creí que estaba soñando... Pero es absolutamente cierto y exacto que la relación que existe entre los tiempos de los períodos de dos planetas cualesquiera es precisamente la relación de la 3/2ª potencia de la distancia media."
LaTercera Ley de Kepler establece que el cuadrado del período orbital de un planeta es directamente proporcional al cubo del semieje mayor de la elipse.
Los planetas del sistema solar presentan periodos orbitales diferentes. Por ejemplo, comparemos los periodos orbitales de Venus y Mercurio. El periodo orbital de Venus es de 224 días terrestres y el de Mercurio es de 88 días terrestres. Estamos familiarizados con la descripción de los periodos orbitales en días terrestres, pero debemos recordar que los días sólo duran 24 horas en el planeta Tierra. Algunos planetas tienen incluso días más largos que un año. Un ejemplo de ello es el planeta Venus. Venus tarda 224 días terrestres en orbitar alrededor del Sol. En comparación, Venus tarda 243 días terrestres en completar una rotación sobre su eje.
¿Por qué los distintos planetas tienen periodos orbitales diferentes? Si nos fijamos en las distancias de los respectivos planetas al Sol, vemos que Mercurio es el planeta más cercano al Sol. Por tanto, tiene el periodo orbital más corto de los planetas.
Tercera Ley de Kepler: Fórmula
La Tercera Ley de Kepler explica que el período de un satélite en órbita alrededor de la Tierra aumenta rápidamente con el radio de su órbita. Para una órbita elíptica, la Tercera Ley de Kepler puede expresarse como sigue
$$T^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3,$$
donde \(T\) es el periodo de la órbita en segundos \(\mathrm s\), \(G\) es la constante gravitatoria \(6.67 veces10^11};frac {\mathrm N\mathrm m^2} {\mathrm{kg}^2}), \(M\) es la masa del planeta en \(\text{kg}\), y \(a\) es el semieje mayor en \(\text{m}\). El semieje mayor tiene una longitud igual a la mitad del diámetro mayor de una elipse. En el caso de una órbita circular, el semieje mayor puede sustituirse por el radio de la órbita.
Fig. 4 - Este es un diagrama que visualiza la Tercera Ley de Kepler. Según la Tercera Ley de Kepler, la relación entre el cuadrado del periodo orbital y el cubo del semieje mayor de su órbita es una constante.
Demostración de la tercera ley de Kepler
Esta relación puede obtenerse en el caso de una órbita circular utilizando la Ley de Gravitación de Newton. Para hallarla, podemos igualar la fuerza centrípeta del satélite a la fuerza gravitatoria entre el planeta y el objeto en órbita.
La Ley de Gravitación de Newton viene dada por
$$F=\frac{GMm}{r^2},$$
\(G\) es la constante gravitatoria \ (6.67\times10^{-11}\;\frac{\mathrm N\;\mathrm m^2}{\mathrm{kg}^2} ), \ (M\) es la masa del planeta en kilogramos \(\mathrm{kg}\), \ (m\) es la masa del objeto en órbita en kilogramos \(\mathrm{kg}\), y \(r\) es la distancia entre ellos en metros \(\mathrm m\).
La fuerza centrípeta se expresa así
$$F=m\omega^2r,$$
donde definimos \ (m\) como la masa del objeto en órbita en kilogramos \( \mathrm{kg}\), mientras que \(\omega\) es la velocidad angular en radianes por segundo \(\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s}\), y \(r\) es la distancia entre el planeta y el objeto en órbita en metros \ (\mathrm m\).
Ahora igualamos la fuerza centrípeta del satélite a la fuerza gravitatoria entre el planeta y el Sol,
$$\frac{GMm}{r^2}=m\omega^2r.$$
Podemos expresar la velocidad angular en términos del periodo orbital y reordenar la ecuación:
$$\begin{align*}\frac{GMm}{r^2}&=mr\left(\frac{2\pi}T\right)^2,\\mr\frac{4\pi^2}{T^2}&=\frac{GMm}{r^2}.\end{align*}$$
Si resolvemos para \(T^2\), hallamos la expresión para la Tercera Ley de Kepler:
$$T^2=\left(\frac{4\pi^2}{GM}\right)r^3.$$
Como el valor entre paréntesis es una constante, podemos ver que \ (T^2\) es proporcional a \ (r^3).
En lugar de círculos, se puede hacer una derivación más completa utilizando órbitas elípticas genéricas. Como resultado, el radio \(r\) de un círculo se sustituye por el semieje mayor \(a\) de una elipse.
Como resultado, la fórmula de la Tercera Ley de Kepler para órbitas elípticas viene dada por
$$T^2=\left(\frac{4\pi^2}{GM}\right)a^3.$$
También podemos deducir la Tercera Ley de Kepler examinando la Segunda Ley de Kepler y utilizando el cálculo. La Segunda Ley de Kepler viene dada por
$$\frac{{\text{d}}A}{{\text{d}}t}=\frac{L}{2m},$$
donde \(L\) es el momento angular y \(m\) es la masa del planeta en órbita. Puesto que el sentido de la Segunda Ley de Kepler es que la órbita barre áreas iguales de la elipse en tiempos iguales, el lado derecho de la ecuación anterior es constante. El área barrida en una órbita puede expresarse en términos del periodo de la órbita \(T\):
$$A={\frac{L}{2m}}T.$$
Sabemos que el área total de una elipse viene dada por:
$$A=\pi{a}{b},$$
donde \(a\) es el semieje mayor y \(b\) es el semieje menor de la elipse. Estas cantidades están relacionadas con la excentricidad \(e\) que determina la forma de la órbita:
$$b^2={a^2}\left(1-e^2\right).$$
Ahora expresamos el área barrida en una órbita como
$$\frac{\pi{a}{b}}{T}=\frac{L}{2m}.$$
A continuación, examinaremos la ecuación de la órbita para el caso de una masa \(m\) que orbita alrededor de una masa central \(M\):
$$r\left(\theta\right)=\frac{L^2}{GMm^2\left(1+e\cos{\theta}\right)}.$$
La ecuación de la órbita predice con exactitud la posición de la masa \(m\) en cualquier punto de la órbita y el ángulo \(\theta\) con respecto al semieje mayor. Examinemos el caso del afelio, que es la mayor distancia entre las dos masas. En el afelio, \(\theta=0\) y \(r=a\left(1-e\right)\), por lo que la ecuación de la órbita pasa a ser
$$a\left(1-e\right)=\frac{L^2}{GMm^2\left(1+e\right)}.$$
Podemos resolver esta ecuación para hallar una expresión para el cuadrado del momento angular \(L\) que nos permita sustituirla en la ecuación del área barrida en una órbita:
$$\begin{align*}\frac{L^2}{m^2}&=a\left(1-e\right)GM\left(1+e\right),\\\frac{L^2}{m^2}&=a\left(1-e^2\right)GM.\end{align*}$$
Ahora elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación del área barrida en una órbita y sustituimos las ecuaciones obtenidas por \(\frac{L^2}{m^2}) y \(b^2\):
$$\begin{align*}\frac{{\pi}^2{a}^2{b}^2}{T^2}&=\frac{L^2}{4m^2},\\\frac{{\pi}^2{a}^2\bcancel{\left(1-e^2\right)}}{T^2}&=\frac{a\bcancel{\left(1-e^2\right)}GM}{4},\\\frac{4{\pi}^2{a^3}}{GM}&=T^2\end{align*}$$
Hemos demostrado la Tercera Ley de Kepler.
El satélite \(A\) tiene un período orbital de cuatro días \(\left(T_{\text{A}}=4\,\text{d}\right)\). El satélite \(B\) también está en órbita, pero sólo sabemos que su radio es el doble del del satélite \ (A\). Determina el periodo orbital del satélite \( B\).
Fig. 5 - Los satélites \(A\) y \(B\) giran alrededor del planeta. El satélite \(B\) tiene el doble de radio que el satélite \(A\).
El Satélite \( A\) tiene un radio \(r\), mientras que el Satélite \ (B\) tiene un radio \(2r\). Si conocemos el periodo del Satélite \( A\), podemos hallar el periodo del Satélite \(B\ ) mediante la ecuación de la Tercera Ley de Kepler.
Según la tercera ley de Kepler, \(\frac{r^3}{T^2}\) es igual a una constante, ya que ambos satélites orbitan alrededor del mismo planeta. Por tanto, la proporcionalidad será igual para ambos satélites.
Para el satélite \ (A\):
$$\frac{r^3}{\left(4\;\mathrm{d}\right)^2}$$
Para el satélite (B):
$$\frac{{(2r)}^3}{T_{\text{B}}}$$
Ahora podemos determinar el periodo orbital del Satélite \(B\ ).
$$\begin{align*}\frac{r^3}{\left(4\;\mathrm{d}\right)^2}&=\frac{\left(2r\right)^3}{\left(T_{\text{B}}\right)^2},\\\frac{r^3}{16\;\mathrm{d}^2}&=\frac{8r^3}{\left(T_{\text{B}}\right)^2},\\\frac{\cancel{r^3}}{16\;\mathrm{d}^2}&=\frac{8\cancel{r^3}}{\left(T_{\text{B}}\right)^2},\\\left(T_{\text{B}}\right)^2&=128\;\mathrm{d}^2,\\\sqrt{\left(T_{\text{B}}\right)^2}&=\sqrt{128\;\mathrm{d}^2},\\T_{\text{B}}&=11.3\;\mathrm{d}.\end{align*}$$
Tercera Ley de Kepler - Puntos clave
- La Tercera Leyde Kepler establece que el cuadrado del período orbital de un planeta es directamente proporcional al cubo del semieje mayor de la elipse, \(T^2=\left(\frac{4\pi^2}{GM}\right)r^3\).
- Esta relación puede obtenerse en el caso de una órbita circular utilizando la Ley de Gravitación de Newton. Para hallarla, podemos igualar la fuerza centrípeta del satélite a la fuerza gravitatoria entre el planeta y el objeto en órbita.
- Se aplica a todos los objetos que orbitan alrededor de una masa central.
Referencias
- Fig. 1 - Esta es una imagen del cometa Halley. La Tercera Ley de Kepler se aplica al cometa (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Comet_Halley_close_up-cropped.jpg), por la ESA (https://www.esa.int/spaceinimages/Images/2012/11/Comet_Halley_close_up), bajo licencia CC BY-SA 3.0 IGO (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/igo/deed.en)
- Fig. 2 - Los elipses tienen dos focos, así como un semieje mayor y un semieje menor, StudySmarter Originals
- Fig. 3 - Representación visual de la Segunda Ley de Kepler. Observa cómo se barren áreas iguales de espacio a lo largo de periodos iguales de tiempo, StudySmarter Originals
- Fig. 4 - Este es un diagrama que visualiza la Tercera Ley de Kepler. Según la Tercera Ley de Kepler, el cociente entre el cuadrado del periodo orbital y el cubo del semieje mayor de su órbita es una constante, StudySmarter Originals
- Fig. 5 - Los satélites \(A\) y \(B\) están alrededor del planeta. El satélite \(B\) tiene el doble de radio que el satélite \(A\), StudySmarter Originals
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