Caída Libre y Velocidad Terminal

Fórmula de la velocidad terminal

La velocidad terminal es la velocidad máxima que puede obtener cualquier objeto al caer bajo el efecto de la gravedad a través de un fluido, normalmente la atmósfera. Depende de varios factores, como la masa del objeto, el área transversal del objeto y el coeficiente de resistencia del objeto.

Se describe mediante la siguiente ecuación

$$V_t = \sqrt {\frac {2mg} {\rho AC_d}}$$

\(V_t\) es la velocidad terminal final. \(m\) es la masa del objeto. \(g\) es la aceleración debida a la gravedad. \(\rho\) es la densidad del fluido. \(A\) es el área de la sección transversal del objeto. \(C_d\) es el coeficiente de resistencia.

Velocidad terminal y resistencia del aire

Hemos mencionado que varios factores pueden alterar la velocidad terminal experimentada por un objeto. Estos factores pueden dar lugar a resultados interesantes.

Resolución de problemas relacionados con la velocidad terminal

Ahora que hemos repasado los distintos componentes que intervienen en la velocidad terminal de un objeto, veamos algunos ejercicios prácticos para poner a prueba nuestra comprensión.

Un paracaidista se sumerge en el aire a \(14.000\) pies y se pregunta casualmente a qué velocidad viaja. Sabe que su masa es de \(80\) kilogramos y que su coeficiente de resistencia es de sólo \(0,5\), gracias a su nuevo traje de paracaidista. A su altitud y temperatura, la densidad del aire es de \(1,2\) kilogramos por metro cúbico. Por último, sabe que la inmersión hacia el suelo presenta la sección transversal más pequeña, de unos \(0,5\) metros cuadrados. ¿A qué velocidad cae por el aire, cuánto tardará en tocar el suelo y puedes resolver la ecuación antes de que llegue a la tierra?

Todo lo que tenemos que hacer es introducir todas las variables que se nos dan en nuestra ecuación para la velocidad terminal.

$$V_t = \sqrt {\frac {2mg} {\rho AC_d}}$$

$$V_t = \sqrt {\frac {2*(80kg)*(9,8\frac m {s^2})} {1,2\frac {kg} {m^3} * (0.5 m^2) * (0.5)}}$$

$$V_t = \sqrt {\frac {1568 \frac {kg m} {s^2} {0,3 \frac {kg} m}}$$

$$V_t = \sqrt {5227 \frac {m^2}{s^2}$$

$$V_t = 72 \frac m s$$

Así pues, nuestro paracaidista está cayendo a unos \(72\) metros por segundo, lo que equivale a unas \(161\) millas por hora, o \(259\) kilómetros por hora. Como ha alcanzado la velocidad terminal, ésta será su velocidad constante hasta que actúe sobre él otra fuerza que cambie su velocidad. En este caso, sería la fuerza de la Tierra sobre su cuerpo. Por suerte, podemos averiguar cuánto tiempo tiene para tirar del paracaídas antes de que eso ocurra.

$$Distancia = Velocidad * Tiempo$$

$$14000 pies = 14000*0,305 m = 4270 m$$

$$4270 m = 72 \frac m s * t$$

$$t = 59,31 s$$

A nuestro paracaidista le queda poco menos de un minuto de caída antes de concluir bruscamente su vuelo.

Sin embargo, no cree que sea tiempo suficiente para disfrutar de la sensación de caer a través de las nubes, así que decide cambiar su posición de caída en picado a caída extendida. Quiere caer durante \(90\) segundos enteros. ¿El aumento de la sección transversal es suficiente para darle \(30\) segundos más de vuelo?

Si quiere tardar \(90\) segundos en recorrer \(4270\) metros de distancia, necesita caer más despacio.

$$4270m = V_{ff} * 90s$$

$$V_{ff} = 47 \frac m s$$

Su nueva velocidad tiene que ser \(47 \frac m s$) si quiere volar 90 segundos completos. ¿Qué área de la sección transversal le garantizará esa velocidad, con todas las demás variables iguales?

$$V_t = \sqrt {\frac {2mg} {\rho AC_d}}$$

$$47 \frac m s = \sqrt {\frac {2*80kg*9,8 \frac m {s^2} {1,2 \frac {kg} {m^3} * A * (0.5)}}$$

$$2209 \frac {m^2} {s^2} = \frac {1568 \frac {kgm} {s^2} {0,6 \frac {kg} {m^3} * A}$$

$$2209 \frac {m^2}{s^2} * A = 2613 \frac {m^4}{s^2}$$

$$A = 1,18 m^2$$

Para prolongar su vuelo todo lo que quiera, el paracaidista necesita aumentar su sección transversal de \(0,5 m^2\) a \(1,18 m^2\). Si extiende al máximo los brazos y las piernas, ¡podría ser posible!

Diferencia entre caída libre y velocidad terminal

Mientras que la velocidad terminal se define como el punto en el que la fuerza de resistencia de un fluido es equivalente a la fuerza de aceleración de la gravedad que tira de un objeto hacia abajo, la caída libre se define como cualquier situación en la que la única fuerza significativa que actúa sobre un objeto es la gravedad.

Fórmula de la caída libre

Dado que la gravedad es la única fuerza que actúa sobre un objeto en caída libre, la ecuación de la caída libre es mucho más sencilla que la de la velocidad terminal.

$$V_{ff}=gt+V_0$$

\(V_{ff}\) es la velocidad final de caída libre. \(g\) es la aceleración debida a la gravedad. \(t\) es el tiempo transcurrido desde el inicio de la caída. \(V_0\) es la velocidad inicial. Podemos ver las diferencias entre estos estados examinando y comparando los diagramas de cuerpo libre.

Diagrama de cuerpo libre de velocidad terminal

Las fuerzas sobre el paracaidista son iguales, y el aire crea suficiente resistencia para anular perfectamente la atracción aceleradora de la gravedad. Esto hace que su velocidad se estabilice, al menos hasta que cambien las condiciones.

Un paracaidista que cae a velocidad terminal experimenta una fuerza descendente debida a la gravedad y una fuerza de arrastre ascendente igual debida a la resistencia del aire. Estas fuerzas iguales no producen aceleración. Originales de StudySmarter

Diagrama de cuerpo libre en caída libre

Sin embargo, para un objeto en caída libre, no existe ninguna fuerza restauradora significativa que actúe contra la gravedad. La aceleración debida a la gravedad no se ve obstaculizada, por lo que la velocidad del objeto sigue aumentando.

Un paracaidista por encima de la atmósfera experimenta la caída libre y no tiene ninguna fuerza sobre su cuerpo aparte de la gravedad. Por tanto, su velocidad sigue aumentando. Originales de StudySmarter

Velocidad máxima para velocidad terminal y caída libre

La velocidad máxima alcanzable por un objeto en velocidad terminal depende de los factores descritos anteriormente, pero para el paracaidista humano medio su velocidad terminal alcanzará hasta \(200 mph\), o \(320 km/h\). La velocidad máxima alcanzable durante la caída libre no tiene límites. Sin ninguna fuerza de resistencia que actúe contra la aceleración de la gravedad, la velocidad de un objeto en caída libre no dejará de aumentar. Felix Baumgartner saltó desde el borde del espacio en 2012 y pudo alcanzar velocidades estimadas de más de \ (843,6 mph\), o \ (1.357,6 km/h\), ¡antes de llegar a la atmósfera suficiente para experimentar una fuerza de resistencia!

Situaciones de caída libre

Esta restricción de la caída libre, en la que la gravedad puede ser la única fuerza significativa que actúa sobre un objeto, reduce el número de situaciones que realmente se clasifican como caída libre.

Para velocidades lentas de movimiento en el aire, la resistencia del aire es despreciable. Esto significa que situaciones como lanzar una pelota al aire o saltar desde el suelo son situaciones de caída libre. La resistencia del aire puede ignorarse, y la única fuerza significativa que actúa sobre esos objetos es la aceleración debida a la gravedad.

Los objetos en el espacio también suelen estar en caída libre. Si no hay sistemas de propulsión externos activados, la única fuerza que actúa sobre las naves espaciales y los astronautas es la de la gravedad.