Fuerza de resorte

Fuerzas de los muelles: Definición, fórmula y ejemplos

Un muelle tiene una masa despreciable y ejerce una fuerza, al estirarse o comprimirse, que es proporcional al desplazamiento desde su longitud relajada. Cuando agarras un objeto sujeto a un muelle, tiras de él una distancia desde su posición de equilibrio, y lo sueltas, la fuerza restauradora tirará del objeto de vuelta al equilibrio. Para un sistema muelle-masa sobre una mesa horizontal, la única fuerza que actúa sobre la masa en la dirección del desplazamiento es la fuerza restauradora ejercida por el muelle. Utilizando la Segunda Ley de Newton, podemos establecer una ecuación para el movimiento del objeto. La dirección de la fuerza restauradora será siempre opuesta y antiparalela al desplazamiento del objeto. La fuerza restauradora que actúa sobre el sistema muelle-masa depende de la constante del muelle y del desplazamiento del objeto desde la posición de equilibrio.

Fig. 1 - Representación de un sistema muelle-masa, en el que la masa oscila alrededor de una posición de equilibrio.

$$\vec{F_{\text{net}}}=m\vec a$$

A lo largo de la dirección de desplazamiento \(\widehat x\):

$$-kx=m\frac {operador d^2x} {operador dt^2}$$

$$\frac {nombre del operador d^2x} {nombre del operador dt^2}=-\frac km x$$

Donde \(m\) es la masa del objeto en el extremo del muelle en kilogramos \((\mathrm{kg})\), \(a_x\) es la aceleración del objeto en el \(\text{eje x}\) en metros por segundo al cuadrado \((\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2})\), \(k\) es la constante del muelle que mide la rigidez del muelle en newtons por metro \((\frac{\mathrm N}{\mathrm m})\), y \(x\) es el desplazamiento en metros \((\mathrm m)\).

Esta relación también se conoce como Ley de Hooke, y puede demostrarse estableciendo un sistema de muelles con masas colgantes. Cada vez que añades una masa, mides la extensión del muelle. Si se repite el procedimiento, se observará que la extensión del muelle es proporcional a la fuerza restauradora, en este caso, el peso de las masas colgantes.

La expresión anterior se parece mucho a la ecuación diferencial del movimiento armónico simple, por lo que el sistema muelle-masa es un oscilador armónico, cuya frecuencia angular puede expresarse en la siguiente ecuación

$$\omega^2=\frac km$$

$$\omega=\sqrt{\frac km}$$

Se dice que un sistema muelle-masa está en equilibrio si no hay ninguna fuerza neta que actúe sobre el objeto. Esto puede ocurrir cuando la magnitud y la dirección de las fuerzas que actúan sobre el objeto están perfectamente equilibradas, o simplemente porque no actúa ninguna fuerza sobre el objeto. No todas las fuerzas intentan devolver el objeto al equilibrio, pero las fuerzas que lo hacen se denominan fuerzas restauradoras, y la fuerza del muelle es una de ellas.

Una fuerza restauradora es una fuerza que actúa contra el desplazamiento para intentar devolver el equilibrio al sistema. Este tipo de fuerza es la responsable de generar oscilaciones y es necesaria para que un objeto esté en movimiento armónico simple. Además, la fuerza restauradora es la que provoca el cambio de aceleración de un objeto en movimiento armónico simple. A medida que aumenta el desplazamiento, aumenta la energía elástica almacenada y aumenta la fuerza restauradora.

En el diagrama siguiente, vemos un ciclo completo que comienza cuando la masa se suelta del punto \(\text{A}\ ). Las fuerzas del muelle hacen que la masa pase por la posición de equilibrio hasta llegar a \(\text{A}\ ), para volver a pasar por la posición de equilibrio y llegar al punto \( \text{A}\) y completar un ciclo completo.

Fig. 2 - Ciclo de oscilación completo de un sistema muelle-masa.