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Definición de velocidad crítica en movimiento circular
Un objeto en movimiento circular tiene velocidad lineal en una dirección tangente a su trayectoria circular. Para un objeto en movimiento circular no uniforme, la magnitud de su velocidad, o su rapidez, cambia a medida que se desplaza a lo largo de la trayectoria. Esto es lo que ocurre cuando un objeto, como una pelota o un cubo de agua, se balancea en una trayectoria circular vertical, porque la fuerza de la gravedad actúa siempre hacia abajo sobre el objeto. La velocidad crítica es la velocidad mínima que debe tener el objeto en la posición superior de una trayectoria circular vertical para completar la trayectoria circular.
Lavelocidad crítica es la velocidad mínima que debe tener un objeto en la posición superior de una trayectoria circular vertical para completar la trayectoria circular cuando no hay apoyo hacia arriba.
Utilicemos el ejemplo de una pelota en una cuerda que se balancea en una trayectoria circular vertical. En el artículo "Movimiento circular" identificamos las dos fuerzas que actúan sobre la pelota: la fuerza de gravedad y la fuerza de tensión de la cuerda. La fuerza de gravedad depende de la masa de la pelota, que permanece invariable, por lo que es constante mientras la balanceas. La cantidad de tensión, por otra parte, cambia en función de la rapidez con que balancees la pelota. Cuanto más rápido la balanceas, más tensión hay en la cuerda. Esto tiene sentido porque sabemos por la segunda ley de Newton que la fuerza centrípeta, la suma de la tensión y la componente radial de la gravedad en este caso, es proporcional a la velocidad lineal al cuadrado. Si no balanceas la pelota lo suficientemente rápido, la cuerda no tendrá tensión y la pelota saldrá del movimiento circular y en su lugar se moverá en un movimiento parabólico como un proyectil.
En la parte superior de un círculo vertical, una pelota balanceada sobre una cuerda permanecerá en movimiento circular si se balancea con al menos la velocidad crítica, StudySmarter Originals
Cuando la bola está en la posición superior del círculo, como se muestra arriba, y si la velocidad de la bola es al menos la velocidad crítica, continuará moviéndose en una trayectoria circular. Si es inferior a la velocidad crítica, la cuerda no tendrá tensión y la bola caerá. Otro ejemplo de esto es un coche de montaña rusa que recorre un bucle circular. El coche de la montaña rusa completará un bucle circular si tiene al menos la velocidad crítica en la parte superior del bucle. Si tuviera menos de la velocidad crítica en la parte superior del bucle, el coche de la montaña rusa se caería (si no estuviera sujeto a los raíles). En el siguiente apartado veremos cómo calcular la velocidad crítica.
Cálculo de la velocidad crítica
Considera de nuevo la bola que se balancea sobre una cuerda en la posición superior de la trayectoria circular. Ya hemos identificado que las fuerzas que actúan sobre la bola son la tensión y la gravedad. En esta posición, la fuerza de la gravedad apunta hacia abajo, o radialmente hacia dentro, por lo que contribuye a la fuerza centrípeta junto con la tensión:
\[\begin{align}F_\text{c}&=ma_\text{c},\\ F_T+F_g&=m\frac{v^2}{r}.\end{align}\]
En esta ecuación, \(m\) es la masa de la bola, \(v\) es la velocidad lineal, y \(r\) es el radio de la trayectoria circular. Como buscamos la velocidad crítica, necesitamos calcular la velocidad mínima de la bola en la posición superior. La velocidad mínima de la bola en esta posición se produce cuando la fuerza de tensión es nula. Además, recuerda que la fuerza de la gravedad es la masa multiplicada por la aceleración debida a la gravedad, \(F_g=mg\). Haciendo estas sustituciones obtenemos
\[\begin{align}0+F_g&=m\frac{v^2}{r},\\mg&=m\frac{v^2}{r},\\gr&=v^2,\\v&=\sqrt{gr}.\end{align}\]
Es la velocidad mínima de la bola en la parte superior del círculo, de modo que no abandone su trayectoria circular.
Fórmula para la velocidad crítica
La derivación anterior nos llevó a la fórmula de la velocidad crítica de un objeto en movimiento circular vertical:
\[v_\text{c}=\sqrt{gr}.\]
Observa que la velocidad crítica sólo depende de la aceleración debida a la gravedad y del radio de la trayectoria circular, no de la masa del objeto.
Ejemplos de velocidad crítica
Como ya hemos dicho, la ecuación de la velocidad crítica puede utilizarse para cualquier objeto que experimente un movimiento circular vertical. Hagamos un par de ejemplos para practicar la búsqueda de la velocidad crítica.
Un cubo de agua se balancea en una trayectoria circular vertical de radio \(1,5\,\mathrm{m}\). Halla la velocidad crítica que debe tener el cubo de agua para que el agua no se derrame.
Buscamos la velocidad mínima del cubo de agua en la parte superior de la trayectoria circular, por lo que podemos utilizar la ecuación de la velocidad crítica. La velocidad crítica para que el agua no se derrame es
\[v_\text{c}=\sqrt{gr}=\sqrt{9.81\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\cdot1.5\,\mathrm{m}}=3.8\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.\]
Un pasajero \(65\,\mathrm{kg}) va montado en una montaña rusa que da vueltas a un bucle vertical de radio \(15\,\mathrm{m}). Si la montaña rusa se mueve al menos a la velocidad crítica, el pasajero permanecerá en el asiento cuando esté boca abajo en la parte superior del bucle sin que el cinturón de seguridad aplique fuerza alguna. Si se desplaza a una velocidad inferior a la velocidad crítica, el cinturón de seguridad tendrá que aplicar fuerza para mantener al pasajero en su sitio. ¿Cuál es la velocidad crítica en la parte superior del bucle? Si la montaña rusa viaja a una velocidad 1,5 veces superior a la velocidad crítica, ¿cuál es la magnitud de la fuerza normal del asiento sobre el pasajero?
En la parte superior del bucle vertical, la fuerza normal del asiento y la fuerza de la gravedad actúan hacia abajo, o radialmente hacia dentro, sobre el pasajero, como se muestra en la imagen anterior. Por tanto, nuestra ecuación de movimiento es
\[\begin{align}F_\text{c}&=ma_\text{c},\\F_N+mg&=m\frac{v^2}{r}.\end{align}\]
Para hallar la velocidad crítica, ponemos la fuerza normal a cero, como hicimos antes con la tensión, y llegamos a la misma ecuación para la velocidad crítica:
\[\begin{align}0+mg&=m\frac{v_\text{c}^2}{r},\\v_\text{c}&=\sqrt{gr}.\end{align}\]
Así pues, la velocidad crítica del pasajero es \(v_texto{c}=\sqrt{9,81},\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\cdot15},\mathrm{m}=12},\frac{\mathrm{m}{\mathrm{s}}).
Cuando la montaña rusa viaja a una velocidad 1,5 veces superior a la velocidad crítica, tenemos \(v=1,5v_\text{c}\). Obtenemos la fuerza normal sustituyendo esto en la ecuación que hemos encontrado antes:
\[\begin{align}F_N+mg&=m\frac{v^2}{r},\\F_N&=m\left(\frac{\left(1.5v_\text{c}\right)^2}{r}-g\right),\\ xml-ph-0000@deepl.internal F_N&=m\left(\frac{2.25gr}{r}-derecha),F_N&=1,25mg,F_N&=8,0\cdot 10^2,\mathrm{N}.\final{align}]
Velocidad crítica - Puntos clave
- La velocidad crítica es la velocidad mínima que debe tener un objeto en la posición superior de una trayectoria circular vertical para permanecer en movimiento circular.
- La fuerza centrípeta que actúa sobre un objeto es proporcional al cuadrado de la velocidad lineal.
- La fórmula de la velocidad crítica de un objeto es \(v_\text{c}=\sqrt{gr}\).
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