Comenzaremos con una ilustración de la segunda ley del movimiento de Newton, en la que repasaremos el significado de los símbolos de la ecuación de la ley de fuerza y discutiremos cómo se relacionan estas magnitudes. A continuación, enumeraremos 10 aplicaciones de la segunda ley del movimiento de Newton a fenómenos cotidianos, antes de seleccionar dos ejemplos para un análisis semicuantitativo más profundo.
Ilustración de la segunda ley del movimiento de Newton
Una cantidad dinámica es una cantidad cuyo valor puede cambiar con el tiempo
Si queremos describir el movimiento de un sistema físico, primero debemos conocer sus magnitudes dinámicas: desplazamiento, velocidad y aceleración. Para el caso del movimiento lineal, que describe el movimiento de un objeto en una sola dimensión espacial, a lo largo de una línea recta, aplicar la segunda ley de Newton nos da toda la información que necesitamos sobre el cambio del movimiento del objeto con el tiempo. En este caso, escribiríamos
\[\vec{a} = \frac{\suma \vec{F}}{m}.\]
Recuerda que las flechitas sobre la aceleración \(\vec{a}\) y la fuerza \(\vec{F}\) denotan cantidades vectoriales. Es esencial atenerse a la notación vectorial porque un sistema puede acelerar a lo largo de una dimensión espacial, pero no a lo largo de otra dimensión. Por ejemplo, una manzana que cae de un árbol sólo acelera a lo largo de la dimensión vertical.
Además, como la aceleración y la fuerza son las únicas magnitudes vectoriales en la segunda ley del movimiento de Newton (la masa no tiene dirección, ya que es un escalar), la aceleración del centro de masa de un sistema siempre estará en la misma dirección que la fuerza neta que actúa sobre él.
El símbolo que precede a \(\vec{F}\) es la letra griega Sigma, que utilizamos para denotar una suma en matemáticas. Es decir
\[\vec{F}_{texto{red}} = \suma \vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \dots\].
Cada uno de los términos del lado derecho es una fuerza que actúa sobre el centro de masa del sistema. Puesto que todas las fuerzas externas que actúan sobre un sistema pueden proceder de direcciones distintas, ¡es vital no dejar de lado la notación vectorial cuando escribamos la fuerza neta! Si las fuerzas están desequilibradas (es decir, las fuerzas netas sobre el objeto no son cero), el objeto acelera.
Contrasta con la masa, que se sitúa por debajo de la línea de división del lado derecho. Si el centro de masa del sistema aumentara en un factor de diez, estaríamos dividiendo la fuerza neta por un valor diez veces mayor que el valor original. En consecuencia, la aceleración disminuiría en un factor de diez. Por tanto, la aceleración del centro de masa de un sistema es inversamente proporcional a la masa del sistema.
La siguiente figura ilustra lo que hemos comentado antes. Asegúrate de que lo entiendes antes de seguir leyendo.
Supongamos que conocemos la masa de un sistema y hemos calculado su aceleración a partir de la fuerza neta. ¿Cómo nos ayuda esto a encontrar las otras magnitudes dinámicas: velocidad y desplazamiento? Llegamos a la respuesta a partir de la definición de aceleración.
La aceler ación es la tasa de cambio de la velocidad con respecto al tiempo.
Escrito en forma de ecuación tenemos
\[\vec{a}_{texto{avg}}=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t},\}
donde \(\Delta \vec{v} = \vec{v} - \vec{v_0}\) denota la diferencia entre la velocidad final y la inicial. Puede que reconozcas de estudios matemáticos anteriores que el lado derecho se parece a la pendiente de una curva. De hecho, esto es lo que queremos decir con la expresión tasa de cambio en la definición anterior. Pero, ¿por qué hemos escrito ahora \(\vec{a}_{texto{avg}}) en lugar de simplemente \(\vec{a}\)?
Lo hacemos para especificar que la fórmula anterior se utiliza para calcular la aceleración media de un objeto. El significado de aceleración media, a diferencia de la aceleración instantánea, es que calculamos \(\Delta \vec{v}\) como la diferencia entre la velocidad final y la inicial en un intervalo de tiempo fijo \(\Delta t\). Al hacerlo, sin embargo, despreciamos los valores intermedios que pueda adoptar la velocidad. Por lo tanto, el valor es sólo una media.
La velocidad es la tasa de variación del desplazamiento con respecto al tiempo.
Del mismo modo, la velocidad media en un intervalo de tiempo satisface la ecuación
\[\vec{v}_{texto{avg}=\frac{\Delta \vec{x}}{\Delta t}.\}
donde \(\Delta \vec{x} = \vec{x} - \vec{x_0}) denota la diferencia entre el desplazamiento final y el inicial. Trabajar con valores medios de aceleración y velocidad es suficiente para resolver la mayoría de los problemas que te encontrarás en los cursos de física basados en el álgebra. Pero puede que tengas curiosidad por saber cómo hacer más exacto un valor medio que sólo es una aproximación. Hacerlo implica el concepto de aceleración instantánea que hemos mencionado antes.
Cuanto menor sea el intervalo de tiempo en el que varía la velocidad, más exacto será el valor de la aceleración del centro de masa del sistema. Para que el denominador sea arbitrariamente pequeño sin que la expresión de la aceleración se vuelva indefinida, tenemos que tomar prestada una idea del cálculo, que llamamos límite. Concretamente, decimos que en el límite en que el intervalo de tiempo llega a cero, la expresión resultante que obtenemos es la de la derivada de la velocidad respecto al tiempo.
Sólo por diversión, así es como se ve la aceleración como tasa instantánea de cambio de la velocidad con respecto al tiempo en un curso basado en el cálculo como Física C AP:
\[\vec{a} = \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}].
No tienes que preocuparte por aprenderte esta ecuación. Cuando estudies cálculo, entenderás el significado de sustituir \(\Delta \vec{v}\) y \(\Delta t\) por \(\mathrm{d}\vec{v}\) y \(\mathrm{d}t\).
10 aplicaciones de la Segunda Ley del Movimiento de Newton
A continuación encontrarás una lista de 10 aplicaciones de la segunda ley del movimiento de Newton.
- Un golfista golpea una pelota de golf con un palo.
- Un niño se suelta de un columpio de cuerda para zambullirse en un lago.
- Una grúa de construcción levanta una viga de acero del suelo.
- Un transbordador espacial utiliza sus aceleradores para ajustar su rumbo en el espacio.
- Un disco de hockey se desliza hasta detenerse.
- Una niña lanza una pelota a su madre.
- Dos perros compiten en un tira y afloja por su juguete favorito.
- Un coche choca contra otro aparcado y lo arrastra.
- El sistema Tierra-Luna se mueve en una órbita fija alrededor del Sol.
- Dos trabajadores empujan una caja por una rampa.
Aquí tienes una pregunta. ¿Anotaste pasivamente lo que describía cada situación o intentaste pensar en las cantidades dinámicas implicadas en cada escenario? La física, al igual que las matemáticas, no es un deporte para espectadores. Tienes que pensar activamente en lo que lees para consolidar tu comprensión. Hacerte preguntas como las siguientes es una buena forma de conseguirlo.
- ¿Cuáles son los sistemas que interactúan en este escenario?
- ¿Cuáles son los componentes de cada sistema, si los hay?
- ¿Cuál es la velocidad del sistema que cambia?
- ¿Cuáles son las fuerzas externas que actúan sobre el sistema en movimiento?
- ¿Qué aspecto tendría un diagrama de cuerpo libre de este escenario?
El siguiente ejemplo pretende orientarte sobre cómo responder eficazmente a estas preguntas.
Responde a las preguntas para el caso de una grúa de construcción que levanta una viga de acero del suelo.
- ¿Cuáles son los sistemas que interactúan en este caso?
- Los sistemas que interactúan son la grúa de construcción y la viga de acero.
- ¿Cuáles son los componentes de cada sistema, si los hay?
- La viga de acero es un objeto sólido rígido sin partes componentes. En cambio, la grúa tiene muchos componentes: un motor con contrapesos, la cabina del operador, el brazo de trabajo, un carro con un bloque de gancho y un sistema de cables que lo conectan todo. Sin embargo, el único componente de la grúa que debemos considerar para analizar el movimiento de la viga de acero es el cable que va del brazo de trabajo al bloque de gancho.
- ¿Qué sistema cambia de velocidad?
- La velocidad de la viga de acero está cambiando desde el reposo hasta un valor distinto de cero que apunta hacia arriba al ser arrastrada por la grúa.
- ¿Cuáles son las fuerzas externas que actúan sobre el sistema en movimiento?
- El sistema en movimiento es la viga de acero y las fuerzas externas que actúan sobre ella son la gravedad y la tensión del bloque de gancho.
- ¿Qué aspecto tendría un diagrama de cuerpo libre de este escenario?
- A continuación aparece un diagrama de cuerpo libre de este escenario. Observa que hemos omitido todos los detalles excepto las dos fuerzas que actúan sobre la viga de acero: la fuerza de tensión aplicada de la cadena de la grúa que tira hacia arriba y la fuerza de la gravedad que tira de la viga hacia abajo. Como la viga tenía una velocidad positiva apuntando hacia arriba, la fuerza aplicada es mayor en magnitud que la fuerza de la gravedad opuesta, como muestran las flechas.
Antes de pasar al siguiente apartado, intenta repetir el ejercicio anterior con otra de las 10 aplicaciones de la segunda ley de Newton que hemos enumerado antes.
Centro de masa
Con estas aplicaciones de la segunda ley del movimiento de Newton frescas en tu mente, ahora es una excelente oportunidad para aclarar por qué seguimos utilizando la expresión centro de masa en la sección anterior. Un sistema puede constar de muchas partes móviles o tener objetos en su interior que interactúan entre sí. Sin embargo, si las interacciones entre las partes móviles no afectan al movimiento exterior del sistema en su conjunto, podemos despreciarlas.
Por ejemplo, los astronautas pueden moverse dentro de la lanzadera pero, visto desde fuera, lo que estén haciendo no tiene ningún efecto sobre el movimiento global de la nave. Por eso decimos que las variables \(\vec{x}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{a}\) se refieren siempre a las cantidades del centro de masa, para resaltar que sólo nos importa el movimiento global del sistema.
2 ejemplos de la Segunda Ley del Movimiento de Newton
Ahora que hemos visto algunas aplicaciones de la segunda ley del movimiento de Newton, es hora de analizar dos ejemplos con más detalle. Elijamos dos de la lista anterior: la niña que lanza una pelota a su madre y el sistema Tierra-Luna. Hemos elegido estos dos porque el primero es un ejemplo de movimiento de proyectil, mientras que el segundo es un ejemplo de movimiento circular. Ambos temas aparecen en el examen AP de Física 1, ¡así que debes familiarizarte con estas ideas!
Ejemplo de movimiento de proyectil: Lanzar una pelota
El movimiento de un proyectil se caracteriza por trazar una parábola. De hecho, lanzar un proyectil en cualquier dirección que no sea directamente vertical hacia arriba dará lugar a un movimiento parabólico; cambiar el ángulo de lanzamiento sólo afectará al alcance del proyectil. En aras de la simplicidad, despreciaremos la resistencia del aire. Por tanto, la fuerza neta que actúa sobre la bola en cada punto de su vuelo será la fuerza de la gravedad. La figura siguiente representa la bola en el punto más alto de su trayectoria. En este punto exacto de la trayectoria, la velocidad vertical de la pelota es cero, por lo que hemos omitido el vector a lo largo de esa dirección.
Una pelota lanzada con un ángulo de 45 ° trazará una parábola, StudySmarter Originals.
Conociendo el ángulo y la velocidad inicial con la que se lanzó la pelota, puede ser interesante averiguar el desplazamiento vertical máximo que alcanza. El siguiente ejemplo nos ayudará a determinar cuantitativamente la respuesta a esta pregunta.
Pregunta
Una niña lanza una pelota con una velocidad de \(5\,\mathrm{\frac{m}}}) hacia su madre. Si el ángulo con el que lanza la pelota es \(45^\circ\), ¿cuál es la altura máxima que alcanza la pelota en su trayectoria? Supongamos que la niña mide \(1,40 \, \mathrm{m}). Ignora los efectos de la resistencia del aire.
Solución
En primer lugar, ten en cuenta que la única fuerza que actúa sobre la pelota durante su vuelo es la fuerza de la gravedad. Como esta fuerza acelera uniformemente todos los objetos que caen, nos encontramos en una situación de aceleración constante. Esto significa que podemos utilizar las ecuaciones cinemáticas. Además, no nos interesa el desplazamiento horizontal de la bola, por lo que sólo necesitamos considerar su movimiento a lo largo de la dirección vertical.
Procedemos invocando la ecuación cinemática independiente del tiempo:
\v_y^2 = v_{0y}^2 + 2a_y(y - y_0).\]
La velocidad vertical de la bola será cero en el punto más alto de su vuelo, por lo que podemos establecer \(v_y = 0\,\mathrm{\frac{m}{s}). Con esta información, podemos reordenar la ecuación para resolver la cantidad que nos interesa:
\begin{align} 0 &= v_{0y}^2 + 2a_yy - 2a_yy_0,\_ -2a_yy &= v_{0y}^2 - 2a_yy_0,\\ y &= -\frac{v_{0y}^2}{2a_y} + y_0.end{align}
donde \(y\) denota la altura máxima de la bola. Ahora bien,sabemos que la aceleración vertical es la aceleración debida a la gravedad, por lo que \(a_y = -9,8,\mathrm{\frac{m}{s^2}}). Además, \(y_0 = 1,40 \, \mathrm{m}) corresponde a la altura de la chica. ¿Y la velocidad inicial de la pelota en dirección vertical ?
Aquí tenemos que utilizar un poco de trigonometría básica:
\v_{y0} &= \vec{v}_0_sin(\theta)&= 5,\mathrm{frac{m} {s}sin(45^\circ)&= 5,\mathrm{frac{m} {s} \veces el cuadrado de 2 \\ &= 3,54 \frac{m}{s}.end{align}
Ahora estamos en condiciones de sustituir todas las cantidades conocidas:
\y &= -\frac{v_{0y}^2}{2a_y} + y_0,&= \frac(3,54 \frac,\mathrm{frac{m}{s}}derecha)^2}{2\frac(-9,8,\mathrm{frac{m}{s^2}}derecha)} + 1,40 \frac,\mathrm{m},&= 2,04 \frac,\mathrm{m}.end{align}
Así, la bola alcanza una altura máxima de \(2,04 \, \mathrm{m}).
Hemos resuelto el problema anterior con ayuda de la ecuación cinemática independiente del tiempo. Sin embargo, ésta no es la única forma de llegar a la respuesta. ¿Se te ocurre otro método?
Pista: Utiliza \(v_y = v_{0y} + a_yt\) para resolver el tiempo que necesita la bola para alcanzar su altura máxima y luego introduce este resultado en la ecuación cinemática cuadrática.
Ejemplos de movimiento circular: El sistema Tierra-Luna
La figura siguiente es un diagrama de cuerpo libre de un objeto que orbita alrededor de un campo de fuerza central. En el centro del diagrama tenemos la fuente gravitatoria, mientras que a la derecha tenemos el objeto en órbita. Como el Sol mantiene al sistema Tierra-Luna en órbita a su alrededor debido a la gravedad, y la gravedad es una fuerza, éste es un ejemplo de la segunda ley de Newton. El punto amarillo es el Sol, mientras que el punto azul con el punto gris alrededor es el sistema Tierra-Luna.
¿Por qué ignoramos el movimiento de la Luna en este ejemplo? Aunque siente una atracción gravitatoria hacia el Sol, su interacción gravitatoria con la Tierra es mucho más fuerte. De hecho, es incorrecto decir que la Tierra orbita alrededor del Sol. Más bien, es el centro de masa del sistema Tierra-Luna el que orbita alrededor del Sol. Dicho de otro modo, la interacción entre la Tierra y la Luna no contribuye a la aceleración de su centro de masa debido a la fuerza externa ejercida por el Sol.
Según las leyes de Kepler, las órbitas planetarias son, de hecho, elipses, lo que significa que no son perfectamente circulares. Sin embargo, en muchos casos como éste, está bien aproximar el movimiento del sistema Tierra-Luna alrededor del Sol como circular.
Aplicaciones de la Segunda Ley - Puntos clave
- El desplazamiento, la velocidad y la aceleración del centro de masa de un sistema describen su movimiento lineal.
- La aceleración del centro de masa de un sistema siempre será en la misma dirección que la fuerza neta que actúa sobre él.
- La aceleración del centro de masa de un sistema es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él e inversamente proporcional a su masa.
- La aceleración \(\vec{a}\) es igual al índice de cambio de la velocidad con respecto al tiempo.
- La velocidad \(\vec{v}\) es igual a la tasa de variación de la posición con respecto al tiempo.
- Las variables \(\vec{x}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{a}\) se refieren a las cantidades del centro de masas.
- Si los objetos que interactúan forman parte del mismo sistema, no se producirá ningún cambio en la velocidad del centro de masa de dicho sistema.
Referencias
- Fig.1 - Aceleración de una manzana que cae, StudySmarter Originals
- Fig.2 - Diagrama de cuerpo libre de una viga de acero, StudySmarter Originals
- Fig.3 - Una pelota lanzada trazando una parábola, StudySmarter Originals
- Fig.4 - El sistema Tierra-Luna orbitando alrededor del Sol, StudySmarter Originals
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