Circuito RC

Definición de circuitos RC

En primer lugar, vamos a definir un circuito RC y cómo funciona. Si nos fijamos en la siguiente figura, tenemos un circuito sencillo que conecta un condensador cargado con capacidad \(C\), a una resistencia con resistencia \(R\).

Fig. 2 - Configuración de un circuito RC.

Cuando un condensador cargado se conecta a la resistencia, descarga su energía eléctrica almacenada a través de la corriente eléctrica del circuito. Sin embargo, el valor de la corriente viene determinado por la resistencia de la resistencia; añadir más resistencias en serie y en paralelo alterará la corriente y la tensión resultantes en el circuito. Con el paso del tiempo, la energía eléctrica almacenada en el condensador se agotará, dando como resultado una corriente cero. Entre las aplicaciones de los circuitos RC de resistencias múltiples se incluyen los filtros de paso bajo, que se tratarán en secciones posteriores de este artículo.

Ecuaciones de los circuitos RC

Ahora que entendemos la configuración de un circuito RC, veamos cómo podemos describir matemáticamente lo que ocurre. En primer lugar, pensemos en la corriente que fluye a través de ambos componentes. Según la ley de Kirchoff, la corriente que circula por el condensador debe ser igual y opuesta a la que circula por la resistencia. Podemos escribirlo como

\[ I_{\text{C}} + I_{\text{R}} = 0 ,\}]

donde \(I_{\text{C}} es la corriente que atraviesa el condensador y \(I_{\text{R}}) es la corriente que atraviesa la resistencia, ambas medidas en amperios \(\mathrm{A}}. Ahora podemos sustituir nuestras ecuaciones que relacionan la corriente con la tensión a través del componente, que para un condensador es

\I_{\text{C}} = C \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t} ,\]].

donde \(C\) es la capacidad medida en faradios \(\mathrm{F}\), \(V\) es la tensión medida en voltios \(\mathrm{V}\), y \(t\) es el tiempo medido en segundos \(\mathrm{s}\). Para una resistencia, viene dada por la ley de Ohm

\[ I_{\text{R}} = \frac{V}{R} ,\]

donde \(R\) es la resistencia medida en ohmios \(\Omega\).

Ahora podemos sustituir estas expresiones en nuestra ecuación de la ley de la corriente para obtener

\π[ C \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t} + \frac{V}{R} = 0,\}]

que es una ecuación diferencial de primer orden.

Resolviendo esto obtendremos la expresión de la tensión en el circuito con respecto al tiempo. En primer lugar, reordenamos ligeramente la ecuación como

\frac[ \frac{mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = - \frac{1}{CR} V ,\ \]

donde hemos separado las diferenciales de las constantes y variables a ambos lados. Puedes resolver esta ecuación diferencial con cualquier método con el que te sientas cómodo. En este artículo, utilizaremos el método de separación de variables, lo que da como resultado

\[ \begin{align} \int^{V}_{V_0} \frac{1}{V'} \V V' &= \int^{t}_0 - \frac{1}{CR} \mathrm{d} t \ln(V) - \ln(V_0) &= \frac{-t}{CR} \ln(\frac{V}{V_0}) &= \frac{-t}{CR} \frac{V}{V_0} &= e^{\frac{-t}{CR} \\ V(t) &= V_0 e^{\frac{-t}{CR} . \end{align} \]

El resultado es la ecuación de la tensión en un circuito RC.

Constante de tiempo en un circuito RC

Una característica importante de un circuito RC es su constante de tiempo.

Otra forma de verlo es el tiempo que tarda el valor inicial del sistema en alcanzar \(\frac{V_0}{e}\). Así, podemos utilizar nuestra ecuación derivada para la tensión y sustituir esa expresión para determinar nuestra constante de tiempo para un circuito RC. Ésta viene dada por

\[ \begin{align} \frac{V_0}{e} &= V_0 e^{\frac{-\tau}{CR}} \frac{bcancel{V_0}{e} &= \bcancel{V_0} e^{frac{-\tau}{CR} \\ e^{-1} &= e^{\frac{-\tau}{CR} \ -1 &= \frac{-\tau}{CR} \tau &= CR , \end{align} \]

donde hemos denotado la constante de tiempo como \(\tau\) medida en unidades de segundos \(\mathrm{s}\). Como resultado, podemos ver que la constante de tiempo característica de un circuito depende de la resistencia total y de la capacidad total del circuito.

Descarga de un circuito RC

Un circuito RC puede tener dos orientaciones: carga y descarga.

Por otro lado, también tenemos un condensador en descarga.

Ya hemos visto cómo obtener la tensión dentro de un circuito RC de descarga, por lo que podemos representarlo gráficamente en la figura siguiente.

Fig. 3 - La tensión a través del condensador en un circuito RC de descarga.

Así podemos ver el decaimiento exponencial de la cantidad de tensión presente en el circuito. Al cabo de un tiempo, cuando el condensador se quede sin energía eléctrica, la tensión del circuito alcanzará un estado estacionario y se aproximará a cero.

Por otra parte, un circuito RC de carga seguirá un patrón inverso, dando como resultado el gráfico siguiente.

Fig. 4 - La tensión a través del condensador de un circuito RC de carga.

Aquí podemos ver que un circuito RC de carga obedece a un patrón inverso, aumentando su tensión exponencialmente con el tiempo y estabilizándose después de un cierto periodo. La tensión máxima alcanzada por el condensador viene determinada por la resistencia y la capacidad totales del circuito. Este gráfico puede representarse matemáticamente como

\[ V(t) = V_0 \left( 1 - e^{\frac{-t}{CR}} \right) .\]

Frecuencia de corte de un circuito RC

Una aplicación de los circuitos RC es un filtro de paso bajo .

Para entender bien cómo funciona un filtro de paso bajo, debemos comprender la impedancia y en qué se parece a la resistencia.

En efecto, esto suena parecido a la definición de resistencia, y la impedancia tiene incluso las mismas unidades que la resistencia, el ohmio \(\Omega\). La impedancia es una noción más generalizada de la resistencia, mientras que la resistencia se define específicamente como \(R = \frac{V}{I}\).

Fig. 5 - Configuración de un filtro paso bajo mediante un circuito RC.

En la figura anterior, tenemos el esquema de un filtro paso bajo que utiliza un circuito RC. La \(V_{text{in}} representa la señal de entrada en el circuito. A continuación, pasa a través de la resistencia y luego a un condensador y una carga que se colocan en paralelo entre sí. En este caso, la carga representa la señal de salida \(V_{text{out}}).

Si tuviéramos una señal de entrada con una frecuencia alta, habría una impedancia mayor en la resistencia que en el condensador, lo que daría lugar a una diferencia de potencial mayor en la resistencia que en el condensador. Como el condensador está en paralelo con la carga, también se produce una diferencia de potencial baja a través de la carga, lo que reduce la cantidad de señal de salida del circuito.

Por otro lado, si nuestra señal estuviera formada por frecuencias más bajas, habría una impedancia mayor a través del condensador que de la resistencia. Por tanto, tendríamos una mayor diferencia de potencial entre el condensador y la carga, lo que daría lugar a una mayor señal de salida.

También podemos definir matemáticamente la frecuencia de corte como

\[ f_{\text{C}} = \frac{1}{2\pi RC} ,\]

donde \(f_{\text{C}}) es la frecuencia de corte medida en hercios \(\mathrm{Hz}\), \(R\) es la resistencia de la resistencia medida en ohmios \(\mega), y \(C\) es la capacitancia del condensador medida en faradios \(\mathrm{F}\).

Ejemplos de circuitos RC

Por último, veamos una pregunta de ejemplo sobre un circuito RC.