Fig. 1 - El sistema eléctrico detrás de un semáforo se mantiene mediante un circuito RC.
Una función especialmente importante de estos circuitos es el mantenimiento y temporización de los semáforos. Estos dispositivos, que indican a los conductores cuándo es seguro que continúen, son vitales para la seguridad vial en todo el mundo. Variando el número de resistencias y la carga del condensador en los circuitos RC, los ingenieros pueden utilizarlos para cambiar el tiempo asignado a una luz roja o a una luz verde. Para saber más sobre los circuitos RC y su funcionamiento, ¡sigue leyendo!
Definición de circuitos RC
En primer lugar, vamos a definir un circuito RC y cómo funciona. Si nos fijamos en la siguiente figura, tenemos un circuito sencillo que conecta un condensador cargado con capacidad \(C\), a una resistencia con resistencia \(R\).
Fig. 2 - Configuración de un circuito RC.
Cuando un condensador cargado se conecta a la resistencia, descarga su energía eléctrica almacenada a través de la corriente eléctrica del circuito. Sin embargo, el valor de la corriente viene determinado por la resistencia de la resistencia; añadir más resistencias en serie y en paralelo alterará la corriente y la tensión resultantes en el circuito. Con el paso del tiempo, la energía eléctrica almacenada en el condensador se agotará, dando como resultado una corriente cero. Entre las aplicaciones de los circuitos RC de resistencias múltiples se incluyen los filtros de paso bajo, que se tratarán en secciones posteriores de este artículo.
Ecuaciones de los circuitos RC
Ahora que entendemos la configuración de un circuito RC, veamos cómo podemos describir matemáticamente lo que ocurre. En primer lugar, pensemos en la corriente que fluye a través de ambos componentes. Según la ley de Kirchoff, la corriente que circula por el condensador debe ser igual y opuesta a la que circula por la resistencia. Podemos escribirlo como
\[ I_{\text{C}} + I_{\text{R}} = 0 ,\}]
donde \(I_{\text{C}} es la corriente que atraviesa el condensador y \(I_{\text{R}}) es la corriente que atraviesa la resistencia, ambas medidas en amperios \(\mathrm{A}}. Ahora podemos sustituir nuestras ecuaciones que relacionan la corriente con la tensión a través del componente, que para un condensador es
\I_{\text{C}} = C \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t} ,\]].
donde \(C\) es la capacidad medida en faradios \(\mathrm{F}\), \(V\) es la tensión medida en voltios \(\mathrm{V}\), y \(t\) es el tiempo medido en segundos \(\mathrm{s}\). Para una resistencia, viene dada por la ley de Ohm
\[ I_{\text{R}} = \frac{V}{R} ,\]
donde \(R\) es la resistencia medida en ohmios \(\Omega\).
Ahora podemos sustituir estas expresiones en nuestra ecuación de la ley de la corriente para obtener
\π[ C \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t} + \frac{V}{R} = 0,\}]
que es una ecuación diferencial de primer orden.
Resolviendo esto obtendremos la expresión de la tensión en el circuito con respecto al tiempo. En primer lugar, reordenamos ligeramente la ecuación como
\frac[ \frac{mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = - \frac{1}{CR} V ,\ \]
donde hemos separado las diferenciales de las constantes y variables a ambos lados. Puedes resolver esta ecuación diferencial con cualquier método con el que te sientas cómodo. En este artículo, utilizaremos el método de separación de variables, lo que da como resultado
\[ \begin{align} \int^{V}_{V_0} \frac{1}{V'} \V V' &= \int^{t}_0 - \frac{1}{CR} \mathrm{d} t \ln(V) - \ln(V_0) &= \frac{-t}{CR} \ln(\frac{V}{V_0}) &= \frac{-t}{CR} \frac{V}{V_0} &= e^{\frac{-t}{CR} \\ V(t) &= V_0 e^{\frac{-t}{CR} . \end{align} \]
El resultado es la ecuación de la tensión en un circuito RC.
Constante de tiempo en un circuito RC
Una característica importante de un circuito RC es su constante de tiempo.
La constante de tiempo de un circuito RC es el tiempo que tarda el condensador en aumentar o disminuir su tensión hasta una fracción de \(\frac{1}{e}{aprox0,632\}) (donde \(e\) es el famoso número de Euler) de su valor inicial o final, dependiendo de si el sistema se está cargando o descargando.
Otra forma de verlo es el tiempo que tarda el valor inicial del sistema en alcanzar \(\frac{V_0}{e}\). Así, podemos utilizar nuestra ecuación derivada para la tensión y sustituir esa expresión para determinar nuestra constante de tiempo para un circuito RC. Ésta viene dada por
\[ \begin{align} \frac{V_0}{e} &= V_0 e^{\frac{-\tau}{CR}} \frac{bcancel{V_0}{e} &= \bcancel{V_0} e^{frac{-\tau}{CR} \\ e^{-1} &= e^{\frac{-\tau}{CR} \ -1 &= \frac{-\tau}{CR} \tau &= CR , \end{align} \]
donde hemos denotado la constante de tiempo como \(\tau\) medida en unidades de segundos \(\mathrm{s}\). Como resultado, podemos ver que la constante de tiempo característica de un circuito depende de la resistencia total y de la capacidad total del circuito.
Descarga de un circuito RC
Un circuito RC puede tener dos orientaciones: carga y descarga.
Un circuito RC de carga es cuando el condensador y la resistencia están conectados a una fuente de alimentación, lo que permite que se acumulen cargas opuestas en las placas del condensador.
Por otro lado, también tenemos un condensador en descarga.
Un circuito RC de descarga es un condensador cargado conectado a una resistencia, con la energía eléctrica del condensador fluyendo por el circuito en forma de corriente.
Ya hemos visto cómo obtener la tensión dentro de un circuito RC de descarga, por lo que podemos representarlo gráficamente en la figura siguiente.
Fig. 3 - La tensión a través del condensador en un circuito RC de descarga.
Así podemos ver el decaimiento exponencial de la cantidad de tensión presente en el circuito. Al cabo de un tiempo, cuando el condensador se quede sin energía eléctrica, la tensión del circuito alcanzará un estado estacionario y se aproximará a cero.
Un estado estacionario se define como un estado en el que un sistema, por término medio, no tiene fluctuaciones significativas.
Por otra parte, un circuito RC de carga seguirá un patrón inverso, dando como resultado el gráfico siguiente.
Fig. 4 - La tensión a través del condensador de un circuito RC de carga.
Aquí podemos ver que un circuito RC de carga obedece a un patrón inverso, aumentando su tensión exponencialmente con el tiempo y estabilizándose después de un cierto periodo. La tensión máxima alcanzada por el condensador viene determinada por la resistencia y la capacidad totales del circuito. Este gráfico puede representarse matemáticamente como
\[ V(t) = V_0 \left( 1 - e^{\frac{-t}{CR}} \right) .\]
Frecuencia de corte de un circuito RC
Una aplicación de los circuitos RC es un filtro de paso bajo .
Un filtro de paso bajo es un circuito que deja pasar las frecuencias más bajas de una señal mientras filtra y elimina las frecuencias más altas de la señal.
Para entender bien cómo funciona un filtro de paso bajo, debemos comprender la impedancia y en qué se parece a la resistencia.
La impedancia de un componente eléctrico mide cuánto se opone el componente a una corriente alterna.
En efecto, esto suena parecido a la definición de resistencia, y la impedancia tiene incluso las mismas unidades que la resistencia, el ohmio \(\Omega\). La impedancia es una noción más generalizada de la resistencia, mientras que la resistencia se define específicamente como \(R = \frac{V}{I}\).
Fig. 5 - Configuración de un filtro paso bajo mediante un circuito RC.
En la figura anterior, tenemos el esquema de un filtro paso bajo que utiliza un circuito RC. La \(V_{text{in}} representa la señal de entrada en el circuito. A continuación, pasa a través de la resistencia y luego a un condensador y una carga que se colocan en paralelo entre sí. En este caso, la carga representa la señal de salida \(V_{text{out}}).
Si tuviéramos una señal de entrada con una frecuencia alta, habría una impedancia mayor en la resistencia que en el condensador, lo que daría lugar a una diferencia de potencial mayor en la resistencia que en el condensador. Como el condensador está en paralelo con la carga, también se produce una diferencia de potencial baja a través de la carga, lo que reduce la cantidad de señal de salida del circuito.
Por otro lado, si nuestra señal estuviera formada por frecuencias más bajas, habría una impedancia mayor a través del condensador que de la resistencia. Por tanto, tendríamos una mayor diferencia de potencial entre el condensador y la carga, lo que daría lugar a una mayor señal de salida.
La frecuencia de corte es el punto en el que una señal con frecuencias inferiores a este valor se elimina de la señal de salida.
También podemos definir matemáticamente la frecuencia de corte como
\[ f_{\text{C}} = \frac{1}{2\pi RC} ,\]
donde \(f_{\text{C}}) es la frecuencia de corte medida en hercios \(\mathrm{Hz}\), \(R\) es la resistencia de la resistencia medida en ohmios \(\mega), y \(C\) es la capacitancia del condensador medida en faradios \(\mathrm{F}\).
Ejemplos de circuitos RC
Por último, veamos una pregunta de ejemplo sobre un circuito RC.
Considera un circuito RC formado por una resistencia con resistencia \(R = 4,5 \, \Omega) y un condensador de capacidad \(C = 7,2 \, \mathrm{\mu F}\). La tensión inicial en el circuito es \(V_0 = 5,0 \, \mathrm{V}\).
- ¿Cuál es la tensión en el tiempo \(t = 1,4 veces 10^{-6}\, \mathrm{s}\)?
- ¿Cuál es la constante de tiempo de este circuito RC?
- ¿Cuál sería la frecuencia de corte si este circuito RC se utilizara como filtro paso bajo?
1. Para hallar la tensión en un momento determinado, podemos utilizar nuestra ecuación derivada de la ecuación diferencial de primer orden. Sustituyendo nuestros valores obtenemos
\V(t) &= V(t). V(t) &= V_0 e^{frac{-t}{CR} \\ V(t = 1,4 \times 10^{-6}}, \mathrm{s} ) &= 5,0 \, \mathrm{V} \e^- \frac{1,4 \times 10^{-6}\, \mathrm{s}} {7,2 \times 10^{-6}} \F. \4,5 veces, Omega.} \\ V(t = 1,4 veces 10^{-6} μmathrm{s} ) &= 4,8 μmathrm{V}. \end{align} .\]
2. Para hallar nuestra constante de tiempo, podemos utilizar nuestra expresión derivada para la constante de tiempo como
\[ \begin{align} \tau &= CR \tau &= 7,2 \tas 10^{-6}}. \mathrm{F} \por 4,5 veces, Omega por 3,2 veces 10^5}. \. \fin \]
3. Por último, utilizando nuestra expresión definida en la sección anterior, podemos hallar la frecuencia de corte como
\[ \begin{align} f_{\text{C}} &= \frac{1}{2\pi RC} \\ f_{\text{C} &= \frac{1}{2 \pi \times 4,5 \, \Omega \times 7,2 \times 10^{-6} \μmathrm{F} } \\ f_{\text{C}} &= 4900 \, \mathrm{Hz} . \fin \]
Circuito RC - Puntos clave
- Un circuito RC está formado por una resistencia conectada a un condensador.
- La tensión de un circuito RC puede deducirse de una ecuación diferencial de primer orden, y viene dada por \(V(t) = V_0 e^{frac{-t}{CR}}).
- Un circuito RC puede estar en estado de carga cuando está conectado a una fuente de alimentación, lo que permite que el condensador acumule energía eléctrica.
- Cuando se desconecta de la fuente de alimentación, el circuito RC se encuentra en estado de descarga, ya que la energía eléctrica almacenada en el condensador se descarga en forma de corriente.
- El circuito RC alcanza finalmente un estado estacionario y tiene una constante de tiempo.
- Un circuito RC puede actuar como un filtro de paso bajo, filtrando las frecuencias más altas de las señales.
Referencias
- Fig. 1 - Semáforo, Wikimedia Commons (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Traffic_Light,_Vienna.jpg) Licencia CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/)
- Fig. 2 - Circuito RC, StudySmarter Originals.
- Fig. 3 - Gráfico de tensión de descarga, StudySmarter Originals.
- Fig. 4 - Gráfico de tensión de carga, StudySmarter Originals.
- Fig. 5 - Filtro de paso bajo, StudySmarter Originals.
Aprende con 13 tarjetas de Circuito RC en la aplicación StudySmarter gratis
Tenemos 14,000 tarjetas de estudio sobre paisajes dinámicos.
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
Preguntas frecuentes sobre Circuito RC
Pon a prueba tus conocimientos con tarjetas de opción múltiple
TU PUNTUACIÓN
Tu puntuación
¡Únete a la aplicación StudySmarter y aprende de manera eficiente con millones de tarjetas y mucho más!
Aprende con 13 tarjetas de Circuito RC en la aplicación StudySmarter gratis
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
Acerca de StudySmarter
StudySmarter es una compañía de tecnología educativa reconocida a nivel mundial, que ofrece una plataforma de aprendizaje integral diseñada para estudiantes de todas las edades y niveles educativos. Nuestra plataforma proporciona apoyo en el aprendizaje para una amplia gama de asignaturas, incluidas las STEM, Ciencias Sociales e Idiomas, y también ayuda a los estudiantes a dominar con éxito diversos exámenes y pruebas en todo el mundo, como GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur y más. Ofrecemos una extensa biblioteca de materiales de aprendizaje, incluidas tarjetas didácticas interactivas, soluciones completas de libros de texto y explicaciones detalladas. La tecnología avanzada y las herramientas que proporcionamos ayudan a los estudiantes a crear sus propios materiales de aprendizaje. El contenido de StudySmarter no solo es verificado por expertos, sino que también se actualiza regularmente para garantizar su precisión y relevancia.
Aprende más
