Constante de tiempo del circuito RC

Cómo hallar la constante de tiempo de un circuito RC

Para hallar la constante de tiempo de un circuito RC concreto, necesitamos hallar la resistencia y la capacitancia totales equivalentes del circuito. Recapitulemos cómo hallarlas.

Para hallar la resistencia total equivalente \(R\) de \(n\) resistencias \(R_1,\dots,R_n\) que están conectadas en serie, sólo tenemos que sumar sus resistencias individuales:

\R=suma_{i=1}^n R_i.\i]

Para hallar la resistencia total equivalente \(R\) de \(n\) resistencias \(R_1,\puntos,R_n\) que están conectadas en paralelo, tomamos la inversa de la suma de las inversas:

\[R=\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{R_i}\right)^{-1}.\]

Para hallar la capacitancia total equivalente \(C\) de \(n\) condensadores \(C_1,\puntos,C_n\) que están conectados en serie, tomamos la inversa de la suma de las inversas:

\[C=\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{C_i}\right)^{-1}.\]

Para hallar la capacitancia total equivalente \(C\) de \(n\) condensadores \(C_1,\puntos,C_n\) que están conectados en paralelo, sólo tenemos que sumar sus capacitancias individuales:

\[C=suma_{i=1}^n C_i.\]

Cuando puedas simplificar los circuitos con estas reglas, sustituyendo múltiples resistencias y condensadores por una sola resistencia y un solo condensador, ¡tendrás la clave para hallar la constante de tiempo! Esto se debe a que, tras la simplificación, tienes los dos valores mágicos para \(R\) y \(C\), la resistencia y la capacitancia totales equivalentes, por lo que sólo tienes que multiplicar estos valores para obtener la constante de tiempo según

\[\tau=RC.\]

Derivación de la constante de tiempo de un circuito RC

Para ver de dónde procede esta constante de tiempo, nos fijamos en el circuito más simple posible que contenga resistencias y condensadores, es decir, un circuito que sólo contenga una resistencia y un condensador (¡así que no hay pila!), como se ve en la figura siguiente.

Fig. 1 - Un circuito simple que sólo contiene un condensador y una resistencia.

Supongamos que empezamos con una tensión distinta de cero \(V_0) sobre el condensador con capacidad \(C\). Esto significa que hay cierta carga \(Q_0\) a cada lado del condensador, y estos dos lados están conectados entre sí por el circuito que contiene la resistencia \(R\). Así, habrá una corriente de un lado al otro del condensador, provocada por la tensión sobre él. Esta corriente cambiará las cargas \(Q\) a ambos lados del condensador, ¡por lo que también cambiará la tensión! Eso significa que queremos observar la tensión \(V\) sobre el condensador y la carga \(Q\) a cada lado del mismo en función del tiempo. La tensión sobre un condensador viene dada por

\[V=frac{Q}{C},\]

por lo que la corriente \(I\) que atraviesa el circuito viene dada por

\[I=\frac{V}{R}=\frac{Q}{RC}.\]

Pero la corriente es el cambio de carga en el tiempo, ¡así que en realidad es igual a la derivada temporal de la carga \(Q\) a cada lado del condensador! Es importante observar que la carga neta a ambos lados del condensador disminuye con la corriente (positiva), por lo que hay un signo menos en nuestra ecuación:

\[\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-I=-\frac{Q}{RC}.\]

Se trata de una ecuación diferencial para \(Q\) en función del tiempo que no tienes por qué saber resolver, así que nos limitamos a enunciar aquí la solución:

\[Q(t)=Q_0\mathrm{e}^{-\tfrac{t}{RC}}.\]

¡Ya está! El factor \(RC\) sólo nos indica la rapidez de este proceso de equilibrado de la carga del condensador. Tras un tiempo de \(t=\tau=RC\), la carga a ambos lados del condensador es

\[Q(\tau)=\frac{1}{\mathrm{e}}Q_0,\]

y a partir de la ecuación, vemos que, en general, después de cada duración de tiempo \(\tau\), la carga disminuye con un factor de \(\mathrm{e}\).

Con esta disminución de la carga, según \(V=tfrac{Q}{C}\), la tensión sobre el condensador también disminuye con un factor \(\mathrm{e}\) cada duración de tiempo \(\tau\). Mientras la resistencia permanece constante, la corriente \(I=tfrac{V}{C}\) también experimenta la misma disminución. Por tanto, ¡las propiedades de todo el circuito (carga a ambos lados del condensador, corriente a través del circuito y tensión sobre el condensador) cambian con un factor de \(\mathrm{e}\) cada tiempo de duración \(\tau\)!

Constante de tiempo de un circuito RC con batería

Fig. 2 - El mismo circuito, pero ahora contiene una pila que suministra una tensión.

Pero, ¿qué ocurre si en el circuito hay una pila, como en la mayoría de los circuitos? Bien, entonces podemos partir de un condensador con carga cero a ambos lados: se trata de un condensador sobre el que no hay tensión. Si lo conectamos a una pila, la tensión transportará cargas al condensador, de modo que con el tiempo se creará una tensión sobre el condensador. Esta tensión \(V\) tendrá el siguiente aspecto a lo largo del tiempo:

\[V(t)=V_0\left(1-\mathrm{e}^{-\tfrac{t}{RC}}\right).\]

Vemos la misma dependencia exponencial en esta fórmula, pero ahora va en sentido contrario: la tensión sobre el condensador crece.

En \(t=0,\mathrm{s}), tenemos \(V(0\,\mathrm{s})=0,\mathrm{V}\) como era de esperar. No hay resistencia de ninguna carga en el condensador, así que al principio, el condensador se comporta como un "cable desnudo" con resistencia cero. Sólo después del inicio, cuando la carga se acumula en el condensador, el circuito se da cuenta de que se trata de un condensador. Cada vez es más difícil añadir carga al condensador a medida que crece la carga sobre él y, por tanto, la fuerza eléctrica contra la corriente.

Al cabo de mucho tiempo (un múltiplo grande de la constante de tiempo \(\tau\)), la exponencial se aproxima a cero, y la tensión sobre el condensador se aproxima a \(V(\infty)=V_0\). La tensión constante sobre el condensador también significa que la carga sobre la placa es constante, por lo que no hay corriente que fluya dentro y fuera del condensador. Esto significa que el condensador se comporta como una resistencia con resistencia infinita.

• Tras encender la batería, el condensador se comporta como un cable desnudo con resistencia cero.
• Después de mucho tiempo, el condensador se comporta como si fuera una resistencia con resistencia infinita.

Constante de tiempo de un circuito RC a partir de un gráfico

Todo esto significa que deberíamos ser capaces de determinar la constante de tiempo de un circuito RC si tenemos una gráfica de la tensión sobre el condensador, la carga a ambos lados del condensador o la corriente total a través del circuito con respecto al tiempo.

Significado de la constante de tiempo en un circuito RC

El hecho de que exista una constante de tiempo característica en un circuito RC es muy útil. Como puedes ver en las fórmulas y los gráficos, básicamente hay un retardo de la tensión en el condensador. Este retardo puede utilizarse para obtener un retardo en la tensión sobre cualquier conexión paralela. De este modo, puedes crear un retardo entre el accionamiento de un interruptor y el encendido de una máquina. Esto es especialmente útil en industrias de alto riesgo, donde los retardos pueden evitar lesiones.