Definición de la Primera Ley de Kirchhoff
En 1845, un estudiante de física prusiano, Gustav Kirchhoff, investigó el comportamiento de las corrientes y las diferencias de potencial en circuitos que contenían múltiples bucles y nodos o uniones. Aplicando la Ley de Ohm a estos circuitos, consiguió generalizar los resultados en dos leyes sencillas que son, a día de hoy, increíblemente útiles en el campo de la ingeniería eléctrica. Su principal utilidad consiste en reducir diagramas de circuitos increíblemente complejos a conjuntos de expresiones algebraicas sencillas.
Fig. 1 - Gustav Kirchoff (1824-1887) fue un físico prusiano que realizó importantes contribuciones a la comprensión de los circuitos eléctricos, entre las que destacan sus dos leyes.
La primera de estas leyes, conocida como Regla de unión de Kirchhoff, se refiere a la corriente que fluye dentro y fuera de la unión de un circuito y será el tema central de este artículo. Recuerda que la corriente dentro de un cable es simplemente la velocidad a la que fluye la carga a través de ese cable. Es habitual que los circuitos incluyan uniones, como se muestra en la figura 2, en las que la corriente de un hilo se divide en dos o más hilos. La regla de las uniones de Kirchhoff garantiza que la corriente que entra en una unión sea siempre la misma que la que sale de ella.
La Regla de la Unión deKirchhoff establece que la suma de las corrientes que se encuentran en una unión de un circuito debe ser siempre cero.
Fig. 2 - Ejemplo de una unión en un circuito. La regla de la unión de Kirchoff establece que \(i_2+i_3=i_1+i_4\).
Ecuación que describe la regla de unión de Kirchhoff
Si un conjunto de corrientes \(I_1,I_2,\dots,I_k\) se encuentran en una unión, la Regla de la Unión de Kirchhoff puede expresarse algebraicamente asignando un signo \(\pm\) a cada corriente, según entren o salgan de la unión. Por convención, las corrientes que entran en una unión reciben un signo \(+\), y las que salen, un signo \(-\). La regla de la unión de Kirchhoff puede expresarse como la ecuación
\[\sum_{k,\text{entering}} I_k-\sum_{l,\text{leaving}}I_l=0\,\mathrm{A}.\]
Por ejemplo, en la figura 2, \(i_2\) y \(i_3\) entran en la unión y \(i_1\) y \(i_4) salen de la unión, por lo que
\[\begin{align}&i_2+i_3-i_1-i_4=0,\mathrm{A},\\iff &i_2+i_3=i_1+i_4,\end{align}\}]
demostrando que la suma de las corrientes que entran en la unión debe ser igual a la suma de las corrientes que salen de la unión. A la inversa, si no se conoce la dirección de una corriente, puede determinarse mediante la regla de Kirchhoff de la unión, suponiendo que entra o sale de la unión y hallando su signo. Si su valor es negativo, la suposición era errónea.
Como ejemplo sencillo, considera las corrientes en un circuito en serie como se muestra en la figura 3. Debemos tener en cuenta cómo definimos el signo de la corriente en cada unión, ya que la misma corriente puede tener un signo diferente según la unión que consideremos. Si la corriente fluye en el sentido de las agujas del reloj desde el terminal positivo al negativo, entonces podemos asignar un signo positivo a las corrientes que entran en la unión y signos negativos a las que salen de la unión. En la figura 3, podemos decir que cada esquina es una unión, por lo que cada "unión" sólo tiene una corriente que entra y otra que sale, así que la regla de las uniones de Kirchhoff nos dice que debe cumplirse lo siguiente\[\begin{align} &I_1-I_2=0,\Nmathrm{A},\N &I_2-I_3=0,\Nmathrm{A},\N &I_3-I_4=0,\Nmathrm{A},\N&I_4-I_1=0,\Nmathrm{A},\N\Nimplica &I_1=I_2=I_3=I_4.\end{align}\]
En otras palabras, la corriente en un circuito en serie es la misma en todos los puntos del circuito.
Fig. 3 - La regla de la Unión de Kirchoff exige que la corriente en un circuito en serie sea igual en todas partes, es decir, \(I_1=I_2=I_3=I_4\) en el circuito anterior.
Ejemplos de la regla de la unión de Kirchhoff
Veamos algunas formas de utilizar la regla de la Unión de Kirchhoff para analizar diagramas de circuitos y calcular las corrientes que faltan.
Fig. 4 - La Regla de la Unión de Kirchhoff nos permite resolver circuitos como el anterior sin conocer la tensión de la pila.
Considera el esquema del circuito anterior, en el que queremos encontrar las corrientes de rama que faltan \(I_1,I_2,I_3\). Cada rama contiene una resistencia de diferente resistencia. Inmediatamente, la regla de la Unión de Kirchhoff nos dice que \(I_1=5\,\mathrm{A}\), ya que la corriente que entra en la pila debe ser la misma que la corriente que sale de la pila (podemos elegir la pila como unión y verlo directamente). A continuación, tenemos que hallar las corrientes \(I_2\) y \(I_3\). Observando la unión derecha y suponiendo que ambas corrientes \(I_2\) y \(I_3\) van de derecha a izquierda, la regla de la unión establece que \[\begin{align}I_1-I_2-I_3&=0,\mathrm{A},\\implica I_2+I_3&=5,\mathrm{A}.\end{align}].
Podemos utilizar \ (V=IR\), observando que el potencial en los circuitos en paralelo es el mismo en todas las ramas, para hallar la proporción de corriente que fluye en cada rama. Como la corriente es inversamente proporcional a la resistencia, por la resistencia \(2\,\mathrm{\mega}\) circulará el doble de corriente que por la resistencia \(4\,\mathrm{\mega}\). Por tanto, \(I_3=2I_2\) y así \[\begin{align}3I_2&=5\,\mathrm{A},\\\implica que I_2&=\frac{5}{3},\mathrm{A},\\\\implica que I_3&=\frac{10}{3},\mathrm{A}.\end{align}].
Como obtenemos valores positivos para las corrientes desconocidas, sabemos que nuestra suposición sobre su dirección era correcta, por lo que concluimos que las corrientes van efectivamente de derecha a izquierda.
Fig. 5 - La regla de la Unión de Kirchoff es especialmente útil con circuitos más complejos, en los que resulta más difícil utilizar \(V=IR\).
Aunque utilizar \(V=IR\) para encontrar las cantidades que faltan suele ser el método más sencillo para resolver circuitos, si un circuito es especialmente complejo, como el de la figura 5, la Regla de la Unión de Kirchhoff es el método más eficaz. Vamos a aplicarla para hallar las corrientes que faltan \(I_1,I_2,I_3\).En primer lugar, podemos aplicar la Regla de la Unión para hallar \(I_1\). Como \(I_1\) sale de una unión en la que entra una corriente \(3,\mathrm{A}) y \(6,\mathrm{A}), sabemos que \[\begin{align}&-I_1+3\,\mathrm{A}+6\,\mathrm{A}=0\,\mathrm{A},\\ xml-ph-0000@deepl.internal \implies &I_1=9\,\mathrm{A}.\fin].
Como era de esperar, el valor positivo que obtenemos para \(I_1\) nos indica que nuestra suposición era correcta, de modo que la corriente \(I_1\) debe fluir fuera de la unión, de derecha a izquierda.
En la siguiente unión, aplicando el signo correcto para la dirección de la corriente, como se indica en el diagrama del circuito, encontramos\[\begin{align}I_1-I_2-2,\mathrm{A}&=0,\mathrm{A},\\implica que I_2=I_1-2,\mathrm{A}&=7,\mathrm{A}.\end{align}].
De nuevo, como era de esperar, el valor positivo confirma que \(I_2\) fluye fuera de la unión, hacia abajo.
Hay dos uniones que podemos elegir para hallar \(I_3), elijamos la unión inferior. Puede parecer que no sabemos cuál es la tercera corriente en esta unión, junto con \(I_2\) y \(I_3\). Sin embargo, observa que no hay más uniones entre ésta y la corriente \(3\,\mathrm{A}\) procedente de la pila inferior, por lo que ésta es la tercera corriente implicada. Aplicando la regla de las uniones suponiendo que \(I_3\) es de izquierda a derecha (como se indica en la imagen), se obtiene\[\begin{align}I_2+I_3-3,\mathrm{A}&=0,\mathrm{A},\\ implica I_3=3,\mathrm{A}-7,\mathrm{A}&=-4,\mathrm{A}.\fin].
Espera, ¡tenemos un valor negativo! Eso significa que nuestra suposición sobre la dirección de \(I_3\) era errónea. Concluimos que \(I_3=4,\mathrm{A}) pero su dirección es en realidad de derecha a izquierda. ¡La imagen es incorrecta!
Ésta es una de las propiedades más útiles de las Leyes de Kirchhoff: pueden corregir cualquier suposición inicial incorrecta sobre la dirección de una corriente.
Regla de unión de Kirchhoff: Conservación de la corriente
La Regla de la Unión de Kirchhoff es simplemente una afirmación sobre la conservación de la corriente dentro de un circuito. La conservación de la corriente es en sí misma una consecuencia de la ley fundamental de conservación de la carga. Como ley fundamental de conservación, ningún sistema puede violar nunca la conservación de la carga.
La ley de la conservación de lacorriente establece que, a una tensión y resistencia fijas, la corriente no puede crearse ni destruirse dentro del circuito.
La ley de la conservación de la carga eléctrica establece que la carga eléctrica total de un sistema aislado, es decir, la suma de todas las cargas negativas y positivas de un sistema, debe permanecer siempre constante. Por ejemplo, la carga total del universo ha permanecido constante desde el Big Bang.
Para ilustrar la relación entre la conservación de la carga y la regla de la unión de Kirchhoff, imaginemos un escenario en el que la regla de la unión no se cumple.
Consideremos tres corrientes \ (I_1,I_2,I_3) que se encuentran en una unión, donde \ (I_1,I_2) entra en la unión y \ (I_3) sale de ella. Digamos que
\[I_1+I_2-I_3=x\,\mathrm{A},\text{ donde } x\neq 0\,\mathrm{A}.\}
Por la definición de corriente, esto significa que cada segundo, \(x\,\mathrm{C}\) de carga se destruye espontáneamente en la unión. Evidentemente, esto viola la ley fundamental de conservación de la carga, por lo que la regla de la unión de Kirchhoff debe cumplirse siempre.
Primera y Segunda Ley de Kirchhoff
La Segunda Ley de Kirchhoff, conocida como Regla de la Espira de Kirchhoff, se refiere a la suma de las diferencias de potencial alrededor de una espira en un circuito cerrado. Cuando se utiliza junto con la Regla de la Unión de Kirchhoff, se convierte en una potente herramienta para analizar circuitos complejos y hallar cantidades desconocidas, como diferencias de potencial, resistencias y corrientes.
La Regla de los Bucles de Kirchhoff establece que la suma de las diferencias de potencial alrededor de cualquier bucle de un circuito debe ser cero:\[\sum_kV_k=0\,\mathrm{V}.\]
La regla del bucle de Kirchhoff puede considerarse una consecuencia de la conservación de la energía. Como la mayoría de los circuitos paralelos contienen varias espiras, existe la libertad de elegir la espira más sencilla para aplicar la regla de las espiras de Kirchhoff, lo que a menudo simplifica drásticamente los problemas. Para aplicar la regla del bucle, consideramos las pilas como fuentes de diferencia de potencial positiva, mientras que los componentes, como las resistencias, son fuentes de diferencia de potencial negativa. Veamos un problema de ejemplo en el que podemos aplicar ambas reglas para encontrar las cantidades que faltan.
Fig. 6 - Para resolver el circuito anterior es necesario aplicar las dos leyes de Kirchoff.
En este ejemplo, vamos a ver un circuito algo complejo, que contiene resistencias y un condensador en paralelo. Aquí, el condensador está en estado estacionario, lo que significa que no circula corriente por él. Sin embargo, hay una acumulación de carga \(Q\) en el condensador dada por \[Q=CV,\]
donde \(C=5 veces10^9},\mathrm{F}) es la capacitancia y \(V\) es la tensión, que aún desconocemos.
Podemos aplicar las dos Leyes de Kirchhoff para hallar las diferencias de potencial y las corrientes que faltan en el circuito anterior, lo que también nos permite hallar la carga del condensador.
En primer lugar, la regla de la Unión de Kirchhoff nos dice que las corrientes \(I_1\) y \(I_2\) que entran y la corriente \(I_3) que sale de la unión de la derecha deben satisfacer\[\begin{align}I_1+I_2-I_3&=0\,\mathrm{A},\\implica I_1+I_2&=I_3.\end{align}\]
La unión izquierda es simplemente el mismo caso, con los signos de las corrientes invertidos, lo que conduce a una ecuación equivalente.
La regla de las espiras de Kirchhoff nos da dos condiciones más, a partir de las cuales podemos resolver todas las incógnitas. Podemos elegir varias espiras diferentes, pero la opción más sencilla es dividir el circuito en dos espiras principales, superior e inferior, ambas puenteando el condensador. Sabemos que la suma de las diferencias de potencial alrededor de cada bucle debe ser cero, lo que da las siguientes ecuaciones.\[\begin{align}5\,\mathrm{V}-V_1-V_2&=0,\mathrm{V},\3\,\mathrm{V}-V_2-V_3&=0,\mathrm{V}.\end{align}\]
Podemos expresar las diferencias de potencial desconocidas en términos de las corrientes y resistencias de las resistencias utilizando \(V=IR\\), que, cuando se combina con las ecuaciones de la Regla de la Unión de Kirchhoff, forma un conjunto de ecuaciones simultáneas resolubles.
\[\begin{align} xml-ph-0000@deepl.internal &I_1+I_2=I_3\tag{1},\\ xml-ph-0001@deepl.internal &5\,\mathrm{V}-(3\,\mathrm{\Omega})I_1-(1\,\mathrm{\Omega})I_3=0\,\mathrm{V}\tag{2},\\ xml-ph-0002@deepl.internal &3\,\mathrm{V}-(1\,\mathrm{\Omega})I_3-(4\,\mathrm{\Omega})I_2=0\,\mathrm{V}\tag{3}.\fin].
Si dividimos las dos últimas ecuaciones por la unidad \(\Omega), obtenemos tres ecuaciones de corriente:
\[\begin{align}&I_1+I_2=I_3\tag{1},\\&5\,\mathrm{A}-3I_1-I_3=0\,\mathrm{A}\tag{2},\\&3\,\mathrm{A}-I_3-4I_2=0\,\mathrm{A}\tag{3}.\end{align}\]
Sustituyendo \(I_3), como se indica en la primera ecuación, en las otras dos ecuaciones, se obtiene\[\begin{align}&5,\mathrm{A}-4I_1-I_2=0,\mathrm{A}tag{4},\&3,\mathrm{A}-I_1-5I_2=0,\mathrm{A}tag{5}.\fin].
Podemos aislar \(I_2) combinando \((4)\) y \((5)\) de la siguiente manera\[\begin{align}(4)-4\times (5)&implica -7,\mathrm{A}+19I_2=0,\mathrm{A},\&implica I_2=0.4.\end{align}\]Sustituyendo esto en \((4)\) se obtiene\[\begin{align}I_1=1,2.\end{align}\]
Juntando todo en la ecuación \((1)\) se obtiene que las tres corrientes son\[I_1=1,2,\mathrm{A},\, I_2=0,4,\mathrm{A},\, I_3=1,5,\mathrm{A}.\]
Utilizando \(V=IR\), hallamos que los tres voltajes son\[V_1=3,5,\mathrm{V},\,V_2=1,5,\mathrm{V},\,V_3=1,5,\mathrm{V}.\].
Por último, queremos hallar la carga del condensador. Para ello, necesitamos hallar la diferencia de potencial a través del condensador. Una vez más, podemos utilizar la regla del bucle de Kirchhoff. Considera la espira más pequeña del circuito, que contiene la resistencia y el condensador. Aquí sólo hay dos diferencias de potencial, la que se produce a través del condensador \(V_C\) y \(V_2\). La regla del bucle de Kirchhoff nos dice que deben sumar cero, por lo que \[V_C=V_2=1,5\,\mathrm{V}.\]
Si multiplicamos la tensión por la capacidad, obtenemos la carga acumulada en el condensador:\[Q=1,5,\mathrm{V}\cdot 5 veces10^{-9},\mathrm{F}=7,6,\mathrm{nC}.\]
Regla de las uniones de Kirchhoff: puntos clave
- Una unión en un circuito es un punto en el que una corriente se divide en varias ramas.
- La Regla de la Unión de Kirchhoff establece que la suma de las corrientes en una unión debe ser siempre cero.
- Por convención, las corrientes que entran en una unión tienen un signo \(+\), mientras que las corrientes que salen de una unión tienen un signo \(-\).
- La Regla de la Unión no es más que una consecuencia de la conservación de la corriente, que a su vez es una consecuencia de la conservación de la carga.
- La Regla de las espiras de Kirchhoff establece que la suma de las diferencias de potencial alrededor de cualquier espira de un circuito debe ser siempre cero. Puede utilizarse junto con la Regla de la Unión para resolver circuitos complejos.
Referencias
- Fig. 1 - Gustav Robert Kirchoff (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gustav_Robert_Kirchhoff.jpg) de Smithsonian Libraries es de dominio público.
- Fig. 2 - Leyes de circuitos de KCL-Kirchhoff (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KCL_-_Kirchhoff%27s_circuit_laws.svg) por Pflodo está bajo licencia CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en)
- Fig. 3 - Circuito en serie, StudySmarter Originals.
- Fig. 4 - Circuito paralelo, StudySmarter Originals.
- Fig. 5 - Circuito complejo, StudySmarter Originals.
- Fig. 6 - Circuito de condensadores, StudySmarter Originals.
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