Definición de la Ley de Ampere
En 1861, André-Marie Ampère propuso una ecuación general que relacionaba el fenómeno de las corrientes eléctricas con los campos magnéticos. La ecuación sólo consideraba las corrientes que se movían en un estado estacionario, incapaz de manejar las corrientes eléctricas que variaban con el tiempo. Cuatro años más tarde, en 1865, James Clerk Maxwell puso sus ojos en generalizar la ecuación de modo que fuera capaz de manejar todos los casos relativos a las corrientes eléctricas. La ecuación resultante, a veces denominada ecuación de Ampere-Maxwell, incluía un término denominado corriente de desplazamiento, que tenía en cuenta las corrientes variables en el tiempo.
La ley se basa en el cálculo, encerrando la corriente eléctrica en un bucle amperiano teórico. Pero, ¿qué es exactamente un bucle amperiano?
Una espira amperiana es una trayectoria cerrada alrededor de un conductor portador de corriente.
Ahora vamos a entender cómo aplicar este concepto teórico en integrales de línea para hallar el campo magnético debido a un hilo conductor de corriente.
Fórmula de la Ley de Ampere
En este apartado, explicaremos la forma original de la ley de Ampere, así como la adición de Maxwell, comprendiendo las motivaciones de ambas versiones.
Ley de Ampere
La ecuación de la ley de Ampere viene dada por
\[ \punto \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} = \mu_0 I_{text{enclosed}} ,\]
donde \(\vec{B}\) es el campo vectorial magnético alrededor de la corriente eléctrica medido en \(\mathrm{\frac{A}{m}\}), \(\mathrm{d} \vec{l}\) es el vector elemento de línea infinitesimal medido en \(\mathrm{m}\}), \es la permeabilidad al vacío dada por un valor de (4 veces 10^{-7} pulg., \mathrm{frac{H}{m}}), y (I_{texto{encerrado}) es la corriente encerrada por la espira amperiana medida en amperios (\mathrm{A}). Deberías estar familiarizado con esto de cursos de cálculo anteriores, pero como recordatorio, \(\oint\) representa la integral de línea unidimensional de bucle cerrado.
Ley de Ampere-Maxwell
Repasemos ahora la corrección que Maxwell aportó a la ley de Ampere. Una de las reglas primarias de la física que deben obedecer todas las ecuaciones es la conservación. En los sistemas en los que intervienen partes móviles, todos los objetos deben obedecer a la conservación de la energía y a la conservación del momento. Del mismo modo, en los sistemas eléctricos y magnéticos, el sistema debe obedecer a la conservación de la carga. Maxwell descubrió que la ley de Ampere por sí sola no obedece a la conservación de la carga, por lo que debe faltar un término en esta ecuación.
La nueva ley modificada por Maxwell es la siguiente
\[ \punto \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} = \mu_0 I_{\text{encerrado}} + \mu_0 \epsilon_0 \frac {\mathrm{d} \πPhi_{texto{E}} {{mathrm{d}} t} ,\]
donde el nuevo término extra incluye la permitividad del vacío \( \epsilon_0\) dada por un valor de \( 8.85 \times 10^{-12} \mathrm{\frac{F}{m}}), \(\Phi_{\text{E}}) es el flujo del campo eléctrico medido en \(\mathrm{V \, m}), y \(t\) es la variable temporal medida en \(\mathrm{s}).
Ley de Biot Savart frente a la ley de Ampere
Otra ecuación que nos permite calcular el campo magnético generado por una corriente eléctrica es la ley de Biot Savart. Nos proporciona una forma de calcular el campo magnético dada una situación más compleja y con menos simetría. La ecuación es la siguiente
\[ \vec{B}(r) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_C \frac{I \, \mathrm{d} \vec{l} \veces \vec{r} | \vec{r} |^3} ,\]
donde nuestra integral contiene ahora el elemento lineal infinitesimal \(\mathrm{d} \vec{l}\) a lo largo de la trayectoria integral \(C\) y \(\vec{r}\) es la distancia vectorial entre el punto del cable y el punto donde se calcula el campo magnético.
Un punto importante a destacar de esta ecuación es el producto cruzado entre \(\mathrm{d} \vec{l}\) y \(\vec{r}\), esto nos indica que la dirección del campo magnético resultante es ortogonal a la del elemento de corriente.
La ley de Biot Savart nos ofrece más flexibilidad a la hora de calcular el campo magnético debido a un hilo conductor de corriente. Cuando utilizamos la ley de Ampere, estamos limitados a situaciones en las que podemos aprovechar la simetría del campo magnético, por ejemplo, hilos conductores de corriente rectos, solenoides o placas conductoras. En teoría, la ley de Biot Savart podría aplicarse a una corriente de cualquier forma, siempre que la integral sea resoluble.
Ejemplos de la ley de Ampere
Veamos ahora algunas cuestiones a las que podemos aplicar la ley de Ampere.
En la figura siguiente tenemos tres corrientes encerradas por una espira circular amperiana de radio \(r = 1,5 \, \mathrm{cm}\).
Fig. 1 - Tres hilos que transportan corrientes eléctricas encerrados por una espira amperiana.
Las corrientes encerradas por la espira vienen dadas por los valores de \( I_1 = 1,2 \, \mathrm{mA}\), \(I_2 = 7,5 \, \mathrm{mA}\), y \(-5,0 \, \mathrm{mA}\). Utilizando estos valores y la ley de Ampere, podemos calcular el campo magnético debido a todos los hilos conductores de corriente combinados. En primer lugar, debemos hallar la corriente neta encerrada por la espira, que viene dada por
\[\begin{align} I_{{texto{net}} &= I_1 + I_2 + I_3 I_{{texto{net}} &= 1,2 veces 10^{-3}}. \mathrm{A} + 7,5 veces 10^3 \mathrm{A} + (- 5,0 veces 10^3}, \mathrm{A} ) \ I_{\text{net}} &= 3,7 veces 10^3}, \mathrm{A} \. \fin \]
Ahora podemos utilizar esto para resolver nuestra integral de la siguiente manera
\punto \punto \vec{B} \cdot \mathrm{d} \y= \mu_0 I_{texto}{encerrado} \ punto \vec{B} \Punto \Vecl &= Mu_0 veces 3,7 veces 10^{-3} \. \fin \]
Podríamos realizar la integración para resolver \(\vec{B}), sin embargo, como nuestro bucle amperiano es un círculo, podemos escribir que la integral de línea de un círculo es igual a \(2\pi r\), donde \(r\) es el radio del círculo. Así, podemos resolver \(B\) como
\[ \begin{align} B \times 2 \pi r &= \mu_0 \times 3,7 \times 10^{-3} \mathrm{A} \\ B &= \frac{ 4\pi \times 10^{-7} \χ, χmathrm{\frac{H}{m} \Veces 3,7 Veces 10^3 \A. 2 veces 1,5 veces 10^{-2}, \mathrm{m}. } \\ B &= 4,9 veces 10^{-8} \T, fin. \]
donde hemos utilizado el hecho de que \( 1 \, \mathrm{T} = 1 \, \mathrm{\frac{kg}{s^2 \}, A} \) y \(1 \, \mathrm{H} = 1 \, \mathrm{\frac{kg \, m^2}{s^2 \}, A^2} \).
También podemos considerar un segundo ejemplo en el que hallamos el campo magnético en el interior de un hilo conductor de corriente.
Ahora podemos utilizar la ley de Ampere para calcular el campo magnético dentro de un alambre largo conductor de corriente. En la figura siguiente tenemos un hilo recto, tridimensional y conductor de corriente.
En cada punto a lo largo del hilo, tenemos una densidad de corriente \(J\), la cantidad de corriente por unidad de superficie en la sección transversal a lo largo del hilo. Si la corriente que recorre todo el cable es \(I\), podemos definir la densidad de corriente como
\[ J = \frac{I}{\pi R^2} ,\\]
donde \(J\) es la densidad de corriente medida en unidades de \(\mathrm{\frac{A}{m^2}}), \(I\) es la corriente medida en \(\mathrm{A}}), y \(R\) es el radio del cable medido en \(\mathrm{A}}). Ahora intentemos aplicar la ley de Ampere dibujando la espira amperiana de modo que tenga un radio \(r\), mayor que el radio del alambre \(R\).
Para hallar la corriente encerrada por esta espira, multiplicamos la densidad de corriente \(J\) por el área de la espira, lo que da como resultado
\[\begin{align} I_{{texto{cerrado}} &= J \pi r^2 I_{{texto{cerrado}} &= I \frac{\bcancel{\pi} r^2 }{\bcancel{\pi} R^2}. \\ I_{texto{cerrado} &= I \frac{r^2}{R^2} . \fin{align} \]
Sustituyendo esto en la ley de Ampere, encontramos que
\[\iniciar{alinear} \punto \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} &= \mu_0 I_{texto{encerrado}} \\ B 2 \pi r &= \mu_0 I \frac{r^2}{R^2} \ B &= \mu_0 \frac{Ir}{ 2 \pi R^2 } . \fin{align} \]
Así pues, ésta es nuestra expresión para el campo magnético dentro de un hilo conductor de corriente.
Aplicación de la Ley de Ampere
Hasta ahora en el artículo, sólo hemos tratado las aplicaciones de la ley de Ampere en cables rectos conductores de corriente, pero la ley de Ampere también puede aplicarse en otras formas conductoras de corriente, como un solenoide. En discusiones anteriores sobre electromagnetismo, ya nos hemos encontrado con la ecuación para el campo magnético dentro de un solenoide como
\[ B = \mu_0 \frac{N I}{L} ,\]
donde \(N\) es el número de espiras de la bobina del solenoide, \(L\) es la longitud de la bobina medida en \(\mathrm{m}\), y todos los demás símbolos son los mismos que en las ecuaciones anteriores. Para deducir esta ecuación utilizando la ley de Ampere, consideremos una espira amperiana cuadrada que contiene un lado de la bobina del solenoide.
Para resolver el campo magnético dentro del solenoide, necesitamos calcular la integral de línea. Tomando como referencia la figura, podemos descomponer la integral de línea en cuatro componentes que representan los cuatro bordes de la espira rectangular. El resultado es
\[ \oint \vec{B} \cdot \mathrm{d} = \int_A^B \vec{B} \punto mat. \vec_l + \int_B^C \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} + \int_C^D \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} + \int_D^A \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} ,\]
donde \(A, B, C\) y \(D\) representan las aristas etiquetadas del bucle rectangular. Ahora podemos simplificar y anular algunos componentes analizando el producto punto. Considerando primero la integral entre las aristas \(B\) a \(C\) y \(D\) a \(A\), podemos ver que el campo magnético es perpendicular a la espira, haciendo que el producto punto sea cero. Por otra parte, la integral entre el punto \(C\) y \(D\) también es cero, debido a que el campo magnético justo fuera del solenoide es nulo.
Esto nos deja con la integral final entre el punto \(A\) hasta \(B\); suponiendo que la sección de la curva es de longitud \(L\), podemos simplificarla a
\[ punto \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} = BL .\]
Por último, para combinar este resultado con la ley de Ampere, aún tenemos que calcular la cantidad de corriente contenida por la espira. La corriente contenida por \(N\) vueltas del solenoide viene dada por
\[ I_{texto{encerrado}} = NI,\}]
donde \(I\) es la corriente en la bobina y \(N\) es el número de espiras encerradas por la espira amperiana.
De este modo, podemos introducir todos estos resultados en la ley de Ampere para hallar que
\[ \begin{align} \punto \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} &= \mu_0 I_{texto{encerrado}} \\ BL &= \mu_0 NI B &= \frac{\mu_0 NI}{L} . \fin \]
Ley de Ampere - Puntos clave
- Una espira amperiana es una trayectoria cerrada alrededor de un conductor que transporta corriente.
- La ley original de Ampere viene dada por \( \oint \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}} \).
- Más tarde, Maxwell adaptó la ley de Ampere para tener en cuenta las corrientes variables en el tiempo, lo que dio como resultado \dot \mathrm{d} = \mu_0 I_{texto}{encerrado} + \mu_0 \epsilon_0 \frac {\mathrm{d} \πPhi_{texto{E}} {\mathrm{d} t} \).
- La ley de Biot-Savart es una ley similar, pero es más complicada de calcular. Viene dada por ( \vec{B}(r) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_C \frac{I \, \mathrm{d} \vec{l} \veces \vec{r} | \vec{r} |^3} \).
Referencias
- Fig. 1 - Corrientes encerradas, StudySmarter Originals.
- Fig. 2 - Corriente en el cable, StudySmarter Originals.
- Fig. 3 - Lazo amperiano para solenoide, StudySmarter Originals.
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