Ley de Biot-Savart

Definición de la ley de Biot-Savart

Antes de comprender la ley de Biot-Savart, vamos a explicar brevemente qué entendemos por campo magnético

Hans Christian Oersted descubrió el efecto magnético de un hilo conductor de corriente. El experimento de Oersted confirma la formación de un campo magnético alrededor de un hilo conductor de corriente con la desviación de una aguja magnética colocada cerca del hilo.

La ley de Biot-Savart ayuda a calcular el campo magnético alrededor de este hilo conductor de corriente.

Derivación de la ley de Biot Savart

Consideremos un pequeño elemento de corriente \(\mathrm{AB}\) de un hilo conductor \(\mathrm{XY}\) que transporta corriente \(I\). La longitud de un elemento infinitesimalmente pequeño es \(\mathrm{d}\vec{l}\). Sea \(\vec{r}\) el vector de posición de un punto de observación P desde el elemento actual. Sea \(\theta\) un ángulo entre \(\mathrm{d}\\vec{l}\) y \(\vec{r}\).

Fig. 2 - La figura muestra un pequeño elemento de corriente en un hilo conductor que transporta corriente \(I\) y un punto de observación P para un campo magnético inducido.

La ley de Biot-Savart establece que el campo magnético inducido en el punto P debido a un hilo conductor de corriente es

1. directamente proporcional a la corriente \(I\),

2. directamente proporcional a la longitud de un elemento de corriente \(\mathrm{d}\vec{l}\),

3. directamente proporcional al seno del ángulo entre \(\vec{r}\}) y \(\mathrm{d}\vec{l}\}),

4. inversamente proporcional al cuadrado del vector de posición, es decir, \(r^2\).

La forma matemática de la ley de Biot-Savart es

\[\mathrm{d}\vec{B}\propto\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\sin{\left(\theta\right)}}{r^2}\]

o

\[\mathrm{d}B=K\frac{I\mathrm{d}l\sin{\left(\theta\right)}}{r^2}\]

Donde \(K\) es una proporcionalidad cuyo valor depende del medio entre el punto P y el elemento actual \(\mathrm{d}\vec{l}\). Se define como \[K=\frac{\mu_0}{4\pi},\]

donde \(\mu_0=4\pieces10^{-7}\,\mathrm{T\,A^{-1}\,m^{-1}}) es la permeabilidad magnética del espacio libre/vacío.

Fórmula de la ley de Biot-Savart

Veamos cómo la Ley de Biot-Savart puede darnos una fórmula para el campo magnético total alrededor de un hilo conductor de corriente.

Principio de superposición

La ley de Biot-Savart sigue el principio de superposición. Según esta ley, el campo magnético neto en el punto debido a varios elementos de corriente es la suma algebraica de un campo magnético debido a cada elemento de corriente.

Let \(\mathrm{d}\vec{B_1},\mathrm{d}\vec{B_2},\mathrm{d}\vec{B_3},...\) y así sucesivamente, son el campo magnético en el punto P debido a los elementos de corriente \(I\mathrm{d}\vec{l_1},I\mathrm{d}\vec{l_2},I\mathrm{d}\vec{l_3},...\) y así sucesivamente. Entonces el campo magnético neto en el punto P es

\[\mathrm{d}\vec{B}=\mathrm{d}\vec{B_1}+\mathrm{d}\vec{B_2}+\mathrm{d}\vec{B_3}+...\]

Esta ecuación muestra el principio de superposición/suma de vectores.

Al considerar el campo magnético sobre una longitud de cable, como hacemos en la ley de Biot-Savart, dividimos el cable en elementos de longitud infinitesimal \(\mathrm{d}\vec{l}\). Cada una de estas longitudes infinitesimales añade una contribución al campo magnético de:[\mathrm{d}\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\sin{\left(\theta\right)}}{r^2}].

Para hallar el campo magnético global de un alambre utilizamos el principio de superposición, integrando sobre la longitud del alambre:

\[\vec{B}(\vec{r})=\int\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\sin{\left(\theta\right)}}{r^2}\]

Dirección del campo magnético

En la ley de Biot-Savart, el campo magnético debido a un conductor portador de corriente viene dado por

\[\mathrm{d}\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\times\vec{r}}{r^3}\]

Esta ecuación muestra que la dirección de un campo magnético se encuentra a lo largo de la dirección de un producto cruzado \(I\mathrm{d}\vec{l}\times\vec{r}\). Para hallar la dirección de este producto cruzado, podemos utilizar la regla de la mano derecha.

En el caso de la figura 2, según la regla de la mano derecha, la curvatura de los dedos se produce en el sentido de las agujas del reloj en el plano que contiene \(\mathrm{d}\vec{l}\) y \(\vec{r}\). Entonces la dirección de \(\mathrm{d}\vec{B}\) es perpendicular al plano y se dirige hacia dentro.

En caso de que \(\theta=0^\circ\)

La dirección del elemento de corriente \(\izquierda(I\mathrm{d}\vec{l}\derecha)\) es a lo largo de la dirección del vector de posición \(\vec{r}\), entonces

\[\begin{align*} xml-ph-0000@deepl.internal \mathrm{d}\vec{B}&=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\sin{\left(0^\circ\right)}}{r^2}\\ xml-ph-0001@deepl.internal \mathrm{d}\vec{B}&=0 xml-ph-0002@deepl.internal \end{align*}\]

Esto da el valor mínimo de un campo magnético.

En caso de que \(\theta=90^\\circ\)

la dirección del elemento de corriente \(\izquierda(I\mathrm{d}\vec{l}\derecha)\) es perpendicular al vector de posición de dirección \(\izquierda(\vec{r}\derecha)\), entonces

\[\begin{align*} xml-ph-0000@deepl.internal \mathrm{d}\vec{B}&=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\sin{\left(90^\circ\right)}}{r^2}\\ xml-ph-0001@deepl.internal \mathrm{d}\vec{B}&=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}}{r^2} xml-ph-0000@deepl.internal \end{align*}\]

Esto da el valor máximo de un campo magnético.

Ley de Biot-Savart y ley de Coulomb

Según la ley de Biot-Savart, el campo magnético alrededor de un elemento portador de corriente \(\left(I\mathrm{d}\vec{l}\right)\) a una distancia de \(r\) es

\[\mathrm{d}\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}}{r^2}\]

o

\[\mathrm{d}\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\times\vec{r}}{r^3}\]

Según la ley de Coulomb, el campo eléctrico alrededor de una carga eléctrica \(q\) a una distancia de \(r\) es

\[E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\]

o

\[\vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^3}\vec{r}\]

Algunas de las principales similitudes entre la ley de Biot-Savart y la ley de Coulomb son,

1. En ambas leyes, los campos son inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia desde la fuente (que genera el campo) hasta el punto de prueba (donde se mide el campo).

2. Ambas leyes obedecen al principio de superposición.

3. En la ley de Biot-Savart, el campo magnético varía directamente con su fuente, que es el elemento de corriente \(\izquierda(Idl\derecha)\), y en la ley de Coulomb, el campo eléctrico varía directamente con su fuente, que es la carga eléctrica \(\izquierda(q\derecha)\).

Algunas de las principales diferencias entre la ley de Biot-Savart y la ley de Coulomb son,

Aplicaciones de la ley de Biot-Savart

Hay varias aplicaciones de la ley de Biot-Savart, pero la más importante es que ayuda a calcular el magnetismo debido a un elemento de corriente, independientemente de su configuración. En otras palabras, la ley de Biot-Savart es independiente de la configuración del hilo conductor de la corriente. En este artículo, calcularemos el campo magnético inducido debido a un hilo recto portador de corriente y a una corriente portadora en forma de bobina circular utilizando la ley de Biot-Savart.

Para un hilo recto conductor de corriente

Imagina un hilo recto conductor de corriente XY en un plano que transporta corriente \(I\). Sea P un punto perpendicular al hilo en un plano a una distancia de \(r\) del hilo y \(I\mathrm{d}\vec{l}\) un pequeño elemento de corriente.

Sea \(\vec{r}'\) el vector de posición del punto P desde el elemento de corriente.

Fig. 4 - La figura muestra un cable recto que transporta corriente y un punto de observación P a una distancia de \(r\) del cable.

En el diagrama, podemos ver que \(\theta\) es un ángulo entre el vector de posición \(\vec{r}'\) y un elemento de corriente \(I\mathrm{d}\vec{l}\) y \(\phi\) es un ángulo entre el vector de posición \(\vec{r}'\) y \(\vec{r}\).

Según la ley de Biot-Savart, el campo magnético \(\mathrm{d}B\) en un punto P debido al elemento de corriente \(I\mathrm{d}\vec{l}\) es[\mathrm{d}\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\veces{vec{r}'}{r'^3}\].

or xml-ph-0000@deepl.internal \[\mathrm{d}\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\sin{\theta}}{r'^2}\tag{1}\]

De un triángulo rectángulo CPO,

\[\begin{align*}\theta+\phi+90^{\circ} &=180^\circ\\\\theta &=90^{\circ}-\phi\end{align*}]

Sustituyendo este valor de \(\theta\) en la ecuación (1), \[\begin{align*}\mathrm{d}\vec{B} &=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\sin{90^{\circ}-\phi}}{r'^2}\\ xml-ph-0000@deepl.internal \mathrm{d}\vec{B} &=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\cos{\phi}}{r'^2}\tag{2} xml-ph-0001@deepl.internal \end{align*}\]

También en el triángulo CPO \[\begin{align*}\cos{\phi}&=\frac{r}{r'}\r'&=\frac{r}{\cos{\phi}}tag{3}\end{align*}]

Y \[\begin{align*}\tan{\phi}&=\frac{l}{r}\l&=r\tan{\phi}\tag{4}\end{align*}]

Diferenciando la ecuación (4) \[\mathrm{d}l=r\sec^2{\phi}d\phi\tag{5}]

utilizando las ecuaciones (3) y (5), la ecuación (2) se convierte en\[\begin{align*}\mathrm{d}B &= \frac{\mu_0} {4\pi} {frac{Ir\sec^2{\phi} {cos{\phi}} {frac{r^2} {cos^2{\phi}} {mathrm{d} {phi}\mathrm{d}B &= \frac{{mu_0}{4\pi}{frac{Ir}{cos{\phi}{mathrm{d}{phi} {\cos^2{\phi}}{frac{cos^2{\phi}{r^2}{phi}\mathrm{d}B &= \frac{{mu_0}{4\pi}{frac{I}{r}{cos{\phi}{mathrm{d}{phi}{tag{6}\end{align*}].

Integrando la ecuación (6) con el límite \(-\phi_1\) y \(+\phi_2\), el campo magnético en el punto P debido a una recta entera es

\[\begin{align*} xml-ph-0000@deepl.internal \int_{-\phi_1}^{\phi_2} \B &= \frac {\mu_0} {4\pi} {\frac {I} {r} \int_{-\phi_1}^{\phi_2} \cos{\left(\phi\right)} \mathrm{d}\phi\\ xml-ph-0000@deepl.internal B&=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I}{r}\left[\sin{\phi}\right]_{-\phi_1}^{\phi_2}\\ xml-ph-0001@deepl.internal B&=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I}{r}\left(\sin{\left(\phi_2\right)}-\sin{\left(-\phi_1\right)}\right)\\ xml-ph-0000@deepl.internal B&= 4 frac {\mu_0} {\frac {I} {\r} izquierda(\sin{izquierda(\phi_2derecha)}+sin{izquierda(\phi_1derecha)}derecha) end{align*}]Esta ecuación da el campo magnético en el punto P debido a un conductor recto finito XY que transporta corriente.

Supongamos que el conductor XY tiene una longitud infinita. En este caso \(\phi_1=\phi_2=90^\circ\), el campo magnético en el punto P será

\[\begin{align*} xml-ph-0000@deepl.internal B&=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I}{r}\left(\sin{\left(90^\circ\right)}+\sin{\left(90^\circ\right)}\right)\\ xml-ph-0001@deepl.internal B&=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I}{r}2\\ xml-ph-0000@deepl.internal B&=\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I}{r} xml-ph-0001@deepl.internal \end{align*}\]

La dirección de este campo magnético es perpendicular al plano que contiene el hilo y un punto de observación.

Bobina circular portadora de corriente

Supongamos que se coloca una bobina circular de radio \(r\) perpendicular al plano del papel. Sea \(I\) la corriente que circula por la bobina. Supongamos que en el papel hay un punto de observación P a una distancia de \(x\) del centro de la bobina (digamos O).

Fig. 5 - La figura muestra el campo magnético en el punto P debido a una bobina circular portadora de corriente.

En el diagrama podemos ver que la corriente en el hilo es perpendicular al vector de posición \(\vec{MP}\). Por tanto, el ángulo entre \(I\mathrm{d}\vec{l}\) y \(\vec{MP}\) es \(90^\circ\).

Utilizando la ley de Biot-Savart, el campo magnético en el punto P debido a un pequeño elemento de corriente en el punto M del diagrama es

\[\begin{align*} xml-ph-0000@deepl.internal \mathrm{d}\vec{B}&=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\sin{\left(90^\circ\right)}}{\left(\sqrt{r^2+x^2}\right)^2}\\ xml-ph-0001@deepl.internal \mathrm{d}\vec{B}&=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}}{\left(r^2+x^2\right)}\tag{7} xml-ph-0000@deepl.internal \end{align*}\]

Utilizando la regla de la mano derecha, la dirección de este campo magnético es perpendicular al plano que contiene el elemento de corriente \(I\mathrm{d}\vec{l}\) en M y un vector de posición \(\vec{MP}\).

Resolviendo este campo magnético a lo largo de los ejes X e Y, como se muestra en la figura, obtenemos \(\mathrm{d}B\cos{left(\phi\right)}\) a lo largo del eje Y y \(\mathrm{d}B\sin{left(\phi\right)}\) a lo largo del eje X.

Del mismo modo, debido a un elemento de corriente en N, la componente de un campo magnético es \(-\mathrm{d}B\cos{{left(\phi\right)}\} a lo largo del eje Y y \(\mathrm{d}B\sin{left(\phi\right)}\} a lo largo del eje X.

Por tanto, el campo magnético neto a lo largo del eje Y es

\[\mathrm{d}B_{\mathrm{y}}=\mathrm{d}B\cos{\left(\phi\right)}-\mathrm{d}B\cos{\left(\phi\right)}=0\]

Y el campo magnético a lo largo del eje X es

\[\mathrm{d}B_{\mathrm{x}}=\mathrm{d}B\sin{\left(\phi\right)}+\mathrm{d}B\sin{\left(\phi\right)}=2\mathrm{d}B\sin{\left(\phi\right)}\]

Así pues, el campo magnético neto en el punto P debido al elemento de corriente en M y su alterno en la bobina (es decir, en N) es

\[\begin{align*} xml-ph-0000@deepl.internal \mathrm{d}B_{\mathrm{net}}&=\mathrm{d}B_{\mathrm{y}}+\mathrm{d}B_{\mathrm{x}}\\ xml-ph-0001@deepl.internal \mathrm{d}B_{\mathrm{net}}&=0+2\mathrm{d}B\sin{\left(\phi\right)}\\ xml-ph-0000@deepl.internal \mathrm{d}B_{\mathrm{net}}&=2\mathrm{d}B\sin{\left(\phi\right)}\tag{8} xml-ph-0001@deepl.internal \end{align*}\]

Utilizando la ecuación (7), la ecuación (8) se convierte en

\[\mathrm{d}B_{\mathrm{net}}=2\times \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\sin{\left(\phi\right)}}{\left(r^2+x^2\right)}\]

A partir del triángulo MPO, \(\sin{izquierda(\fi\derecha)}=\frac{r}{cuadrado{r^2+x^2}}), por tanto, \(\mathrm{d}B_{mathrm{net}}) se convierte en

\[\mathrm{d}B_{\mathrm{net}}=2\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Ir\mathrm{d}\vec{l}}{\left(r^2+x^2\right)^{3/2}}\]

Para la mitad de la bobina portadora de corriente y su parte alternativa (otra mitad de la bobina), el campo magnético neto en el punto P es

\[\begin{align*} xml-ph-0000@deepl.internal \int \mathrm{d}B_{\mathrm{net}}&=2\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Ir}{\left(r^2+x^2\right)^{3/2}}\int \mathrm{d}\vec{l}\\ xml-ph-0001@deepl.internal B_{\mathrm{net}}&=2\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Ir}{\left(r^2+x^2\right)^{3/2}}\pi r\\ xml-ph-0000@deepl.internal B_{\mathrm{net}}&=\frac{\mu_0}{2}\frac{Ir^2}{\left(r^2+x^2\right)^{3/2}} xml-ph-0001@deepl.internal \end{align*}\]

Si el punto P está en el centro de una bobina, es decir, \(x=0\), el campo magnético neto en el punto P debido a una bobina circular portadora de corriente es

\[\begin{align*} xml-ph-0000@deepl.internal B_{\mathrm{net}}&=\frac{\mu_0}{2}\frac{Ir^2}{\left(r^2+0\right)^{3/2}}\\ xml-ph-0001@deepl.internal B_{\mathrm{net}}&=\frac{\mu_0}{2}\frac{Ir^2}{r^3}\\ xml-ph-0000@deepl.internal B_{\mathrm{net}}&=\frac{\mu_0}{2}\frac{I}{r} xml-ph-0001@deepl.internal \end{align*}\]

Para \(n\) número de vueltas de la bobina

\[B_{\mathrm{net}}=\frac{\mu_0}{2}\frac{nI}{r}\]

Esta ecuación muestra el campo magnético en el centro de la bobina portadora de corriente con \(n\) número de espiras, que se calcula mediante la ley de Biot-Savart.En conclusión, la ley de Biot-Savart ayuda a calcular el campo magnético debido a un conductor portador de corriente, independientemente de su configuración.