Ley de la Fuerza de Lorentz

Definición de la Ley de la Fuerza de Lorentz

La fuerza de Lorentz puede definirse como sigue.

En particular, la fuerza de Lorentz considera la acción de los campos eléctrico y magnético sobre las partículas cargadas.

Ecuación de la ley de la fuerza de Lorentz

La fuerza de Lorentz adopta la ecuación matemática

\[ \vec{F} = q\vec{E} + (q \vec{v} \veces \vec{B} ),\}].

donde \(\vec{F}\) es el vector fuerza ejercido sobre las partículas cargadas medido en newtons \(\mathrm{N}\), \(q\) es la carga de las partículas medida en culombios \(\mathrm{C}\), \es el vector de velocidad de la partícula cargada, medido en Ω(Ωmathrm{frac{m}{s}), es el vector del campo magnético, medido en teslas (Ωmathrm{T}), y es el vector del campo eléctrico, medido en Ω(Ωmathrm{E}).

Podemos ver que esta ecuación está formada por dos componentes; el primer término del lado derecho es la fuerza eléctrica, mientras que el segundo término es la fuerza magnética.

Para hallar la magnitud de la fuerza de Lorentz, tomamos la magnitud de las cantidades vectoriales que aparecen en la ecuación anterior. Para el término de la fuerza eléctrica, esto es relativamente sencillo, ya que sólo necesitamos tomar la magnitud del campo eléctrico \(||vec{E}||) multiplicada por la magnitud de la carga \(q\).

En cambio, la magnitud del producto cruzado es un poco más complicada. Recuerda que al tomar la magnitud de un producto cruzado, debemos multiplicar las magnitudes de los dos vectores por el seno del ángulo entre los vectores. Esto garantiza que estamos tomando las componentes perpendiculares de ambos vectores. Se llega a la ecuación

|vec{a} |veces \vec{b}| = |vec{a}||vec{b}| |sin(\theta),|].

donde \(||vec{a}||) y \(||vec{b}||) son las magnitudes de los vectores \(\\vec{a}\) y \(\vec{b}\) respectivamente, y \(\theta\) es el ángulo entre los dos vectores.

Ahora podemos aplicar esto a nuestra ecuación de la fuerza de Lorentz para hallar que la magnitud de la fuerza de Lorentz viene dada por

\[ ||vec{F}| = q ||vec{E}|+ q|||vec{v}||||vec{B}||sin(\eta),\}]

donde \(\theta\) es el ángulo entre el campo magnético y la velocidad de la partícula cargada, medido en radianes \(\mathrm{rad}\). Como \(q\) es una cantidad escalar, no tenemos que hacerle nada.

Derivación de la Ley de Fuerzas de Lorentz

Una derivación que puede hacerse a partir de la definición de la fuerza de Lorentz, es la velocidad de una partícula cargada cuando se mueve en un campo magnético. Si suponemos que no hay campo eléctrico presente, sino sólo un campo magnético, podemos ver a partir del producto cruzado que la fuerza de Lorentz resultante sobre la partícula cargada es siempre perpendicular a la dirección de movimiento de la partícula. La consecuencia de esto es que la trayectoria de la partícula cargada alcanza una curvatura. ¿Con qué fuerza nos hemos encontrado antes que también actúa en dirección perpendicular al movimiento del objeto?

Sí, se trata de la fuerza centrípeta. Una partícula cargada que se desplace en un campo magnético experimentará un movimiento circular. Recordemos que nuestra ecuación para la fuerza centrípeta es

\F_{{mathrm{cent}} = \frac{mv^2}{r},\}

donde \(F_{mathrm{cent}} es la fuerza centrípeta medida en newtons \(\mathrm{N}}), \(m\) es la masa del objeto medida en \(\mathrm{kg}}, \(v\) es la velocidad del objeto medida en \(\mathrm{\frac{m}{s}}), y \(r\) es el radio de rotación medido en \(\mathrm{m}\}).

Ahora que sabemos que la partícula cargada está en movimiento de rotación, podemos igualar la magnitud de la fuerza de Lorentz y la fuerza centrípeta para hallar la magnitud de la velocidad resultante debida a la interacción de la partícula cargada con el campo magnético. Igualando y reordenando encontramos

\[ \begin{align} Bqv_sin(\theta) &= \frac{mv^2}{r} \frac{Bqr \bcancel{v} \sin(\theta)}{m} & = v^{\bcancel{2}} \\v &= \frac{Bqr\sin(\theta)}{m}. \fin{align}\]

Cuando resolvamos problemas en los que intervenga cualquiera de estas cantidades, podemos reordenar esta ecuación para aislar la cantidad cuya solución nos interesa. Cuál sea esa cantidad, variará de un problema a otro.

Fig. 2 - Un electrón que se desplaza en un campo magnético experimentará una fuerza de Lorentz que provoca un movimiento circular.

Aplicaciones de la ley de Lorentz

Durante los experimentos de física en la escuela, a menudo nos encontramos con un aparato llamado tubo de rayos catódicos o cañón de electrones. Estos aparatos nos permiten ver la trayectoria de un haz de electrones que se desvía debido a la aplicación de un campo eléctrico externo. Un filamento metálico se calienta por un extremo, de modo que los electrones del metal adquieren suficiente energía cinética para liberarse. Como los electrones tienen carga negativa, son atraídos por el ánodo de carga positiva situado en el otro extremo del tubo de vacío. Además, la cámara de vacío por la que pasan los electrones está revestida de un material fluorescente, de modo que cuando los electrones chocan con las paredes, aparecen como una luz que puede ser vista por el ojo humano. Por último, la curvatura del haz de electrones se debe a la interacción de la fuerza de Lorentz entre los electrones cargados y el campo eléctrico circundante.

Fig. 3 - Un cañón de electrones en el que la luz verde representa la trayectoria de los electrones.

Ejemplo de la ley de la fuerza de Lorentz

Por último, consideremos un ejemplo en el que utilizamos la ecuación de la fuerza de Lorentz.