Trabajo angular
El trabajo angular es el equivalente al trabajo lineal en movimiento angular. En el movimiento lineal, actúa una fuerza sobre un objeto y se realiza trabajo sobre él. Del mismo modo, en el movimiento angular, hay que realizar trabajo para hacer girar un objeto alrededor de un eje. La fuerza angular se conoce como par y consiste en cualquier fuerza que haga girar un objeto alrededor de algún eje. El trabajo es el resultado de un par que actúa sobre un ángulo.
Derivación de la fórmula para el trabajo angular
Para el movimiento lineal, el trabajo realizado es igual al producto de la fuerza que actúa sobre un cuerpo y el desplazamiento lineal. Para el movimiento angular, convertimos el desplazamiento lineal en desplazamiento angular, utilizando la relación longitud de arco y radio. Por tanto, el trabajo angular realizado es igual a la fuerza "F" multiplicada por el desplazamiento angular "\(\theta\cdot r\)", con \(\theta\cdot [0,2\pi]\) como se muestra a continuación: \(W_lineal = Fx; cuadrado x = \theta punto r)
\(W_{ang} = F(\theta \cdot r)\)
Sin embargo, para el movimiento circular, también se sabe que el par "T" es igual a la fuerza que actúa sobre el cuerpo multiplicada por su radio "F-r". Sustituyendo la relación del par por el trabajo angular derivado, llegamos a la conclusión de que las ecuaciones del trabajo angular y del trabajo lineal tienen la misma forma. Además, el par es el recíproco de la fuerza en el trabajo lineal, y el desplazamiento angular es el recíproco del desplazamiento lineal.
El trabajo angular, al igual que el lineal, se expresa en la unidad de julios.
\(T = F \cdot r\)
\(W_{ang} [J] = T \cdot \Delta \theta\)
Trabajo angular y potencia: dirección del par
La dirección del par se puede averiguar utilizando la regla de la mano derecha, en la que apuntamos con los dedos hacia la dirección de rotación. Luego extendemos el pulgar hacia arriba. Al apuntar con los dedos en el sentido de giro, el pulgar señala una dirección perpendicular al sentido de giro. La dirección de la torsión se encuentra por la dirección del pulgar (ver figura 1).
En rotación vertical, se aplica lo siguiente:
- Si el sentido de giro es el de las agujas del reloj, el par es hacia abajo.
- Si el sentido de giro es contrario a las agujas del reloj, el par es hacia arriba.
Para la rotación no vertical, la dirección del par se puede encontrar utilizando la regla de la mano derecha. Ésta establece que cuatro dedos siguen el sentido de giro mientras el pulgar está extendido. La dirección del pulgar indica que el sentido de la torsión es hacia arriba o hacia abajo. En la figura 2 se muestra un ejemplo.
Trabajo angular y potencia: Teorema trabajo-energía
El teorema trabajo-energía establece que el trabajo total realizado por fuerzas externas sobre un cuerpo es igual al cambio de energía cinética.
Sin embargo, el cambio de energía cinética debe incluir también la energía cinética traslacional "TKe" y la energía cinética rotacional "RKe". En la fórmula siguiente, W es el trabajo y ΔKe es el cambio de energía cinética.
\(W = \Delta Ke = TKe - RKe\)
donde \(RKe = \frac{1}{2} \cdot I \cdot \omega^2 [J]\)
Potencia angular
La potencia se define como la velocidad a la que se transfiere la energía.
La potencia lineal es el trabajo realizado en el tiempo. Utilizando las relaciones anteriores, sabemos que el trabajo realizado para un movimiento lineal es igual al producto de la fuerza y su desplazamiento lineal. El desplazamiento en el tiempo es igual a la velocidad.
Derivación de la fórmula para la potencia angular
Para el movimiento angular, hemos demostrado antes que el par es el recíproco de la fuerza en el movimiento lineal, mientras que la velocidad angular es el recíproco de la velocidad lineal.
Sustituyendo la velocidad angular en la ecuación, obtenemos una ecuación en términos de par en la que el par, medido en Newtons por metro, es igual al momento de inercia multiplicado por la aceleración angular.
\[P[W] = \frac{w}{t}\]
A continuación, modificamos la ecuación anterior para el trabajo, que es igual al producto de la fuerza y el desplazamiento lineal. Sustituimos la fuerza por el par en el tiempo, ya que por definición, el par es igual al producto de la fuerza y el radio, como se ve a continuación.
\[W = F \cdot x \space T = F \cdot r \space F = \frac{T}{r} W_{ang} = \Big( \frac{T}{r} \Big) \cdot x\]
Aquí, x es el desplazamiento lineal, que es igual a la velocidad lineal multiplicada por el tiempo. Como se trata de una rotación angular, la velocidad lineal v debe sustituirse por su equivalente angular, que se utiliza a continuación, donde ω es la velocidad angular.
\[V = r \cdot \omega \cdot t\]
Esto se sustituirá en el término de desplazamiento lineal, lo que nos da la expresión siguiente.
\[W_{ang} = \Big( \frac{T}{r} \Big) \cdot x \qquad W_{ang} = \Big( \frac{T}{r} \Big) \cdot r \cdot \omega \cdot t\]
Ahora podemos sustituir esta ecuación de trabajo derivada para la rotación angular en la ecuación de potencia.
\[P[W] = \frac{W_{ang}}{t} = \frac{\frac{T}{r} \cdot r \cdot \omega \cdot t}{t} = T \cdot \omega\\]
En este punto, el término del radio y el tiempo se anulan, por lo que nos queda una expresión más sencilla en la que la potencia es el producto del par T, y la velocidad angular ω se mide en rad/s2.
Se aplica un par de 300 k Nm sobre una turbina, que gira a 15 rad/s. Determina la potencia necesaria para que la turbina siga girando.
Solución:
\(P = T \cdot \omega = 300.000 [k Nm] \cdot 15 [rad/s] = 4.500 MW\)
Una rueda giratoria con un radio de 0,5 m y una masa de 3 kg es arrastrada por una cuerda con una fuerza de 10 N durante una distancia de 0,8 m. Determina el trabajo realizado.
Solución:
Empezamos utilizando la ecuación del par, ya que el par es necesario para determinar el trabajo realizado.
\(W_{ang}[J] = T \cdot \Delta \theta T = F \cdot r = 10 N \cdot 0,5 m = 5 Nm\)
A continuación, utilizamos la relación entre desplazamiento y radio para determinar el desplazamiento angular en radianes, necesario en la ecuación de trabajo. La ecuación se reordena para que θ sea el sujeto antes de sustituir los valores obtenidos en la ecuación de trabajo inicial.
\(x = \theta r \quad \theta = \frac{x}{r} = \frac{0,8}{0,5} = 1,6 rad \qquad W = T \space \theta = 5 Nm \cdot 1,6 = 8 J\)
Trabajo angular y potencia - Puntos clave
El trabajo angular es el trabajo realizado por un par que actúa sobre un cuerpo multiplicado por el desplazamiento angular.
La potencia angular es la tasa de cambio de la transferencia de energía en el movimiento angular.
La dinámica rotacional obedece las mismas reglas que la dinámica lineal, ya que las fórmulas lineales tienen la misma forma que las rotacionales.
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