Contracción de la longitud

Sabemos que la velocidad de la nave espacial es la misma para todos los observadores. Si calculamos la velocidad \(v\) respecto al observador terrestre A, obtenemos:

\[v=\dfrac{L_0}{\Delta t}\]

• Aquí, \(L_0\) es la longitud propia observada por el observador terrestre A, mientras que \(\Delta t\) es el tiempo relativo al observador terrestre A.

La velocidad relativa al observador en movimiento B es:

\[v=\dfrac{L}{\Delta t_0}\]

• Aquí, \(\Delta t_0\)es el tiempo propio observado por el observador móvil B, mientras que \(L\) es la distancia observada por el observador móvil B.

Las dos velocidades son iguales:

\[\dfrac{L_0}{\Delta t}=\dfrac{L}{\Delta t_0}\]

Sabemos por la dilatación del tiempo que \(\Delta t = \gamma \Delta t_0\). Introduciendo esto en la ecuación anterior, obtenemos:

\[\begin{aligned}\dfrac{L_0}{\gamma \Delta t_0}&=\dfrac{L}{\Delta t_0}\\ \cancel{\Delta t_0} \dfrac{L_0}{\gamma \cancel{\Delta t_0}}&=L\end{aligned}\]

\[\rightarrow \, L=\dfrac{L_0}{\gamma}\]

También sabemos que el factor de Lorentz se calcula como:

\[\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\]

Insertando \(\gamma\), obtenemos la ecuación de la contracción de la longitud, como se muestra a continuación:

\[L=L_0\cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\]

Coge un palo de \(10 \,\, \mathrm{cm}\). Su longitud dejará de parecer de \(10 \,\, \mathrm{cm}\) si pasa a una velocidad cercana a la de la luz.

La longitud del palo en reposo se denomina longitud propia. Cuando el palo se mueve a una velocidad cercana a la de la luz, la longitud medida será siempre menor que la longitud propia. Cuando la velocidad del bastón es igual a la de la luz, el bastón no debería tener (en teoría) ninguna longitud.

Imaginemos que un observador se desplaza desde el planeta azul hasta el rojo, y viaja a la velocidad de \(v=0,85c \, \, \mathrm{m/s}\). La distancia entre los dos planetas es de \(4000\) años-luz, medida por un observador terrestre. ¿Cuál es la distancia relativa al observador de la nave espacial, en kilómetros medidos?

Si \(4000\) años-luz es la distancia medida por el observador terrestre, esta es la longitud propia \(L_0\).

Como dijimos, la relación entre la longitud propia \(L_0\) y la longitud observada por el observador en movimiento es:

\[L=\dfrac{L_0}{\gamma}\]

Por tanto, primero tenemos que calcular el factor de Lorentz \(\gamma\):

\[\begin{align} \gamma&=\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\&=\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{(0,85c)^2\,\mathrm{m/s}}{c^2\,\mathrm{m/s}}}} \\ &=1,9 \end{align}\]

las variables conocidas \(L_0\) y \(v\) nos da:

\[L=\dfrac{4000\,\,\text{años-luz}}{1,9}=2105,26 \, \, \text{años-luz}\]

1 año-luz es igual a \(9,46 \cdot 10^{12}\) kilómetros.

\[L=2105,26\cdot (9,46\cdot 10^{12}\,\, \mathrm{km})=1,99 \cdot 10^{16}\,\, \mathrm{km}\]