Dilatación del tiempo

Definición de la dilatación del tiempo

La dilatación del tiempo se produce cuando un observador o sistema de referencia se mueve con respecto a otro observador con velocidad constante, lo que hace que el tiempo en su sistema de referencia fluya más lentamente.

Tiempo propio

Fig. 1: Las naves espaciales son ejemplos perfectos de dilatación del tiempo, ya que se sabe que por cada 12 meses terrestres transcurren 0,01 segundos menos en un reloj en la EEI (ISS en inglés).

Fórmula de la dilatación temporal

Vamos a proporcionar un razonamiento sencillo y diagramático de cómo funciona la dilatación del tiempo en relatividad especial. Para ello, consideraremos un sistema de referencia en movimiento con respecto a otro y vcacularemos las trayectorias de la luz en este sistema.

Ejemplo de la dilatación del tiempo

Imagina un pasajero en un tren con un reloj que está cronometrando cuánto tiempo tarda un pulso de luz en viajar al reflejarse entre dos espejos horizontales en el vagón: uno en el suelo del vagón y otro en el techo, encima del primero, a una distancia (\(L\)), tal y como se ilustra en las Fig. 2. Un segundo espectador está observando el tren, mientras viaja por una vía paralela a un andén, como vemos en la Fig. 3.

Fig. 2: Vista desde el tren.

Fig. 3 Vista desde el andén.

Consideramos las trayectorias seguidas por la luz, tal y como las ve cada observador:

• El observador en el interior del tren ve que la luz viaja en línea recta y de vuelta, recorriendo una distancia total de \(2L\).
• El observador del andén ve que la luz recorre una distancia total de \(2s\), ya que el tren se mueve a una velocidad (\(v\)) hacia la derecha respecto al andén.

Partimos de que la luz viaja a una velocidad \(c=3\cdot 10^8\,\mathrm{m/s}\) respecto de cualquier observador (postulado de la teoría de relatividad y confirmado experimentalmente hasta la fecha) y que el tiempo es la distancia dividida por la velocidad. Por tanto:

• El tiempo medido por el observador dentro del tren es: \[\Delta t_0=\dfrac{2L}{c},\]
  • que se corresponde con el tiempo propio, ya que el observador del tren se encuentra en reposo con respecto al sistema que está observando y estudiando.
• El tiempo observado por el observador en el andén será, bajo el mismo razonamiento y según su marco de referencia,

\[\Delta t=\dfrac{2s}{c}.\]

Llamemos \(d\) a la distancia horizontal recorrida por el tren entre los rebotes de la luz, es decir \(vt/2\). Para encontrar la relación entre \(\Delta t_0\) y \(\Delta t\) hay que considerar los triángulos formados por \(L\), \(s\) y \(d\).

Si se aplica el teorema de Pitágoras, \(s\) equivale a:

\[s=\sqrt{L^2+d^2}\]

Hemos visto que \(\Delta t\) es igual a \(2s/c\). Ahora, tan solo tenemos que juntar estas dos últimas ecuaciones para relacionar \(\Delta t\) con \(L\):

\[\Delta t=\dfrac{2s}{c}=\dfrac{2\sqrt{L^2+d^2}}{c},\]

Lo cual nos lleva, al elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación y volviendo a escribir \(d\) en términos de la velocidad y el tiempo transcurrido, a:

\[(\Delta t)^2=\dfrac{4\left( L^2+\dfrac{V^2(\Delta t)^2}{4}\right)}{c^2}=\dfrac{4L^2}{c^2}+\dfrac{v^2}{c^2}\cdot (\Delta t)^2,\]

Donde es fácil detectar que el primer término se corresponde con el cuadrado del intervalo de tiempo transcurrido para el observador en el tren, es decir:

\[(\Delta t)^2=(\Delta t_0)^2+\dfrac{v^2}{c^2}\cdot (\Delta t)^2.\]

Esto ya nos ha dado una relación entre los intervalos de tiempo en los que solo aparecen cantidades constantes medidas desde los sistemas de referencia: la velocidad relativa entre ambos (la del tren) y la velocidad de la luz. Resolviendo para \(\Delta t\):

\[\Delta t=\dfrac{\Delta t_0}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}=\gamma\Delta t_0\],

Donde hemos definido la siguiente cantidad, conocida como factor de Lorentz:

\[\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}\]

El factor que hemos definido en la ecuación anterior da buena cuenta de por qué no medimos efectos relativistas en nuestro día a día y por qué las consecuencias de la relatividad nos parecen contraintuitivas: si la velocidad que consideramos en nuestro experimento es pequeña comparada con la velocidad de la luz, el factor de Lorentz \(\gamma\) es prácticamente 1, pues el cociente de velocidad de sistema de referencia y velocidad de la luz es prácticamente nulo.

Prueba de la dilatación del tiempo

Puede parecer que no es posible ver la dilatación temporal en la vida real, ya que se produce a velocidades relativas; pero, gracias a la tecnología actual, los humanos interactuamos con el espacio más que nunca.

Otro gran ejemplo de dilatación del tiempo es el experimento de Frisch-Smith:

La velocidad media de los muones procedentes del Sol es realmente alta y cercana a la velocidad de la luz.