Definición de ecuación en física
Existe una definición de ecuación (en física o no), pero es muy técnica y nada esclarecedora. Lo que podemos decir de las ecuaciones en física es lo que hacen. Las ecuaciones en física describen relaciones entre magnitudes físicas. Una ecuación siempre contiene un signo "igual", \(=\).
Hay una ecuación en física que describe la relación entre tu velocidad, la duración de tu desplazamiento y la distancia que recorres. Cuanto mayor sea tu velocidad, más distancia recorrerás en el mismo tiempo. La ecuación dirá \(\text{distancia recorrida}={text{velocidad} por \text{duración del viaje}). Vemos que una duplicación del tiempo de viaje significa una duplicación de la distancia recorrida si la velocidad sigue siendo la misma, y que una duplicación de la velocidad significa una duplicación de la distancia recorrida si el tiempo de viaje sigue siendo el mismo.
La ecuación física que hemos introducido antes parece un poco confusa: hay tantas letras que las relaciones (los signos de multiplicación e igualdad) pasan a un segundo plano. Sin embargo, las relaciones son muy importantes en física. Por eso la gente asigna símbolos a las cantidades. Es importante explicar a otras personas lo que significan tus símbolos, y es conveniente utilizar los símbolos estándar para las cosas que tienen símbolos estándar.
Para que la ecuación parezca más clara, podemos dar nombres a las cantidades implicadas en el problema. Digamos que la distancia recorrida es \(d\) (por distancia), nuestra velocidad es \(v\) (por velocidad), y la duración de nuestro viaje es \(t\) (por tiempo). La ecuación es ahora \(d=vt\).
Hemos omitido la cruz de multiplicación porque está claro queyson dos cosas distintas. No poner nada entre dos cantidades significa que las multiplicamos. Esta ecuación parece mucho más clara, y no es difícil recordar al instante que \(d\) significa distancia, por ejemplo. Esto es bueno, ¡acabamos de escribir una ecuación de física!
Fig. 1: Una ecuación que siempre es cierta (también llamada tautología).
Tipos de ecuaciones físicas
Puede que tengas la impresión de que hay muchos tipos distintos de ecuaciones físicas porque todas parecen muy diferentes. Aunque es cierto que hay muchas áreas de la física que tienen todas sus propias ecuaciones, todas las ecuaciones de la física tienen el mismo propósito, a saber, describir una relación entre cantidades. Sin embargo, podemos hacer una distinción entre las ecuaciones basándonos en cómo se presentan las cantidades en la ecuación, como muestran los siguientes ejemplos.
- Una ecuación lineal sólo contiene cantidades a su primera potencia, por ejemplo, la ecuación de la distancia, \(d=vt\).
- Una ecuación cuadrática también contiene cantidades elevadas al cuadrado, por ejemplo, la ecuación de la energía cinética, \(E=mv^2/2\\).
También tenemos ecuaciones diferenciales (que contienen derivadas de cantidades), ecuaciones tensoriales (que contienen cantidades con múltiples entradas, igual que los vectores), y muchas más formas en que las cantidades pueden aparecer en las ecuaciones.
Ejemplos de ecuaciones físicas
Fig. 2: Ecuaciones de Einstein sobre la gravedad.
La relación entre cuánta fuerza \(F\) ejerces sobre un objeto, la masa \(m\) del objeto, y lo rápido que se acelerará el objeto (descrito por la aceleración \(a\)) como resultado de la Fuerza que ejerces viene dada por la ecuación
\[F=ma\]
Ésta es la segunda ley de Newton. Por ejemplo, vemos que necesitamos ejercer una Fuerza mayor para que se produzca una aceleración mayor, o para mover un objeto con una masa mayor con la misma aceleración.
La relación entre la energía cinética \(E\) de un objeto, su masa \(m\), y su velocidad \(v\) viene dada por la ecuación
\[E=\dfrac{1}{2}mv^2.\]
Esto nos dice que una duplicación de la masa de un objeto dará lugar a una duplicación de su energía cinética, pero una duplicación de su velocidad dará lugar a una cuadruplicación de su energía cinética. Para verlo, supongamos que la velocidad final \(v_e\) es el doble de la velocidad inicial \(v_i\), por lo que \(v_e=2v_i\). La energía final dividida por la energía inicial es entonces
\[\dfrac{E_e}{E_i}=\dfrac{\frac{1}{2}mv_e^2}{\frac{1}{2}mv_i^2}=\bigg( \dfrac{v_e}{v_i}\bigg)^2=2^2=4.\]
Vemos que, efectivamente, la energía se cuadruplica si la velocidad se duplica. Ésta es la causa principal de por qué un coche acelera más despacio a altas velocidades que a bajas velocidades: ¡necesita añadir más energía para ganar la misma cantidad de velocidad debido al cuadrado de la ecuación anterior!
Hemos visto una buena cantidad de ecuaciones de física, pero ahora es el momento de trabajar con ellas y resolverlas.
Resolver ecuaciones en física
Fig. 3: Edward Witten escribiendo ecuaciones sobre la teoría de cuerdas en una pizarra.
Resolver ecuaciones en física es muy parecido a resolver ecuaciones en matemáticas, excepto por dos diferencias importantes.
- En física, siempre hay un contexto, por lo que una ecuación física se deriva de una pequeña historia. Tenemos que desempaquetar la historia y convertirla en una ecuación resoluble.
- Tenemos que tener cuidado con las unidades. En general, incluimos unidades en todos los cálculos.
Veamos cómo funciona esto con un problema de ejemplo.
P: Juan siempre camina a una velocidad de \(3\,\mathrm{mi/h})( millas por hora). El domingo pasado, caminó por la ciudad, y acabó recorriendo un total de \(9 \,\mathrm{mi}). ¿Cuánto tiempo tardó?
R: El primer paso es convertir esta historia en una ecuación resoluble. Empezamos asignando nombres a las cantidades que necesitamos. Llamamos a la velocidad de marcha de Juan \(v\), a la distancia recorrida \(d\), y al tiempo que tardó \(t\). El hecho de que fuera domingo y de que caminara por la ciudad no tiene importancia para la pregunta. Por la historia, sabemos que \(v=3\,\,\mathrm{mi/h}\), y que \(d=9\,\,\mathrm{mi}\). Ahora tenemos que encontrar una ecuación que relacione \(t\) con \(v\) y \(d\). Por suerte, sabemos que \(d=vt\). Al igual que con las ecuaciones matemáticas, aislamos \(t\) dividiendo ambos lados por \(v\) y nos queda la ecuación \(t=d/v\). Conocemos \(d\) y \(v\), por lo que se trata de una ecuación resoluble, ¡así que el paso 1 está hecho! Vamos a resolverla teniendo cuidado con las unidades. Rellenamos
\[t=\dfrac{9\,\,\mathrm{mi}}{3\,\,\mathrm{mi/h}}=\dfrac{9}{3}\dfrac{\mathrm{mi}}{\frac{\mathrm{mi}}{\mathrm{h}}}=3\,\,\mathrm{h}.\]
Ahora asegurémonos de responder completamente a la pregunta. Juan tardó 3 horas (en recorrer la ciudad el domingo pasado).
En el ejemplo anterior, no tuvimos ningún problema con las unidades porque la información que nos dieron estaba en unidades que "van bien juntas". Si no es así, tendremos que utilizar nuestros conocimientos sobre conversiones de unidades, como se muestra en el ejemplo siguiente.
P: Ana quiere empujar un coche del que podemos suponer que no tiene rozamiento y que no está en ninguna pendiente. Empuja con una fuerza de \(500\,\mathrm{N}), la masa del coche es \(4000\,\mathrm{lbs}), y la masa de Anna es \(170\,\mathrm{lbs}). ¿Cuál es la aceleración del coche?
R: Llamamos a la fuerza ejercida \(F=500\,\mathrm{N}\), a la masa del coche \(m=4000\,\,\mathrm{lbs}\), a la aceleración del coche \(a\), y a la masa de Anna \(m_A=170\,\,\mathrm{lbs}\). Sabemos que \(F=ma\), así que aislamos la aceleración y obtenemos la ecuación \(a=F/m\). Conocemos \(F\) y \(m\), así que el paso 1 está hecho.
Resolvámoslo rellenando los datos (¡incluidas las unidades!):
\[\begin{aligned}a=&\dfrac{500\,\,\mathrm{N}}{4000\,\,\mathrm{lbs}}=\dfrac{500}{4000}\dfrac{\frac{\mathrm{kg\cdot m}}{\mathrm{s^2}}}{\mathrm{lbs}} =& 0,125\N,\Ndot =& 2,20\N,\Ndot =&0,276\,\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\end{aligned}.\]
Vemos que necesitábamos la conversión entre \(\mathrm{kg}) y \(\mathrm{lbs}), es decir, que \(1,\(\mathrm{kg}=2,20,\(\mathrm{lbs}), para responder a la pregunta. La respuesta es que la aceleración del coche es \(0,276,\mathrm{m/s^2}\).
Esperemos que estos ejemplos hayan dejado claro cómo el lenguaje de las ecuaciones matemáticas es útil en el mundo real (físico).
Resumen: paso a paso
- Mientras lees la pregunta, pon nombre a las cantidades mencionadas y escribe sus valores (con unidades).
- Determina qué cantidad necesitas conocer para responder a la pregunta, y escribe la ecuación física que relaciona esa cantidad con las cantidades que has escrito.
- Resuelve la ecuación (teniendo cuidado con las unidades) y responde a la pregunta con una frase completa y con las unidades correctas.
Ecuaciones del movimiento en física
Fig. 4: Ecuación de Schrödinger que describe la mecánica cuántica.
A fin de cuentas, lo único que pretende la física es predecir el movimiento de los objetos. Por tanto, podríamos argumentar que todas las ecuaciones de la física son, de algún modo, ecuaciones de movimiento. Sin embargo, algunas ecuaciones sólo describen el movimiento de los objetos y no las causas del movimiento. Veamos estas ecuaciones.
Primero veremos la ecuación que rige el movimiento con velocidad constante. Para un punto de partida \(x_0\), una velocidad \(v\), y una duración del recorrido \(t\), la posición \(x\) de un objeto viene dada por
\[x=x_0+vt.\]
Por lo dicho anteriormente, sabemos que la distancia recorrida es \(d=vt\), por lo que es lógico: la ubicación de un objeto es su ubicación inicial más la distancia que ha recorrido.
Un objeto también puede acelerar. Para una aceleración constante \(a\), una velocidad inicial \(v_0\), un punto de partida \(x_0\), y una duración del recorrido \(t\), la ubicación\(x\) de un objeto viene dada por
\[x=x_0+v_0t + \dfrac{1}{2}at^2.\]
Ya intuimos por qué está ahí \(x_0\), pero examinemos el resto. La velocidad ganada tras un tiempo \(t\) es \(at\), por lo que tras un tiempo \(t\), la velocidad de nuestro objeto es \(v_0+at\). Esto significa que la velocidad media de nuestro objeto es la media de \(v_0) y \(v_0+at\), que es \(v_0+at/2\). La distancia recorrida es entonces
\[d=\bigg(v_0+\dfrac{at}{2}\bigg)t=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2,\]
¡y llegamos a la ecuación anterior! Observa que para una aceleración nula, llegamos de nuevo a la ecuación para una velocidad constante, que es lo que esperamos encontrar.
Ecuaciones en Física - Puntos clave
- Una ecuación en Física describe una relación entre Cantidades Físicas.
- Una ecuación siempre contiene un signo "igual", \(=\).
- Asignamos símbolos a las cantidades para que las ecuaciones sean legibles.
- Resolver ecuaciones en física es en gran medida lo mismo que resolver ecuaciones en matemáticas, con 2 diferencias:
- A menudo, tenemos que plantear nosotros mismos las ecuaciones a partir de una historia. Mientras leemos la historia, damos nombres a las cantidades relevantes y enumeramos sus valores.
- Siempre incluimos unidades en nuestros cálculos. Cuando resolvemos la ecuación, damos la respuesta en las unidades correctas.
- La ecuación del movimiento para objetos que tienen velocidad constante es \(x=x_0+vt\).
- La ecuación del movimiento para objetos que tienen una aceleración constante es \(x=x_0+v_0t+\dfrac{1}{2}at^2\).
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