Error e Incertidumbre

Un ejemplo sencillo es el valor de una constante:

Supongamos que medimos la resistencia de un material. Los valores medidos nunca serán los mismos, porque las mediciones de resistencia varían. Sabemos que hay un valor aceptado de \(3,4\,\,\mathrm{\Omega}\) y, al medir la resistencia dos veces, obtenemos los resultados \(3,35\,\,\mathrm{\Omega}\) y \(3,41\,\,\mathrm{\Omega}\).

Los errores produjeron los valores de \(3,35\,\,\mathrm{\Omega}\) y \(3,41\,\,\mathrm{\Omega}\), mientras que el rango entre \(3,35\) y \(3,41\) es el rango de incertidumbre.

La aceleración estándar de la gravedad es de \(9,81\,\,\mathrm{m/s^2}\). En el laboratorio, realizando algunos experimentos con un péndulo, obtenemos cuatro valores para \(g\): \(9,76\,\,\mathrm{m/s^2}\), \(9,6\,\,\mathrm{m/s^2}\), \(9,89\,\,\mathrm{m/s^2}\) y \(9,9\,\,\mathrm{m/s^2}\). La variación de los valores es el producto de los errores. El valor medio es de \(9,78\,\,\mathrm{m/s^2}\).

El rango de incertidumbre para las mediciones alcanza desde \(9,6\,\,\mathrm{m/s^2}\), hasta \(9,9\,\,\mathrm{m/s^2}\), mientras que la incertidumbre absoluta es aproximadamente igual a la mitad de nuestro rango, que es igual a la diferencia entre los valores máximos y mínimos dividida por dos.

\[\dfrac{9,9\,\,\mathrm{m/s^2}-9,6\,\,\mathrm{m/s^2}}{2}=0,15\,\,\mathrm{m/s^2}\]

La incertidumbre absoluta se reporta como:

\[\text{Valor medio}\pm\text{Incertidumbre absoluta}\]

En este caso, será:

\[9,78\pm0,15\,\,\mathrm{m/s^2}\].

Digamos que medimos un valor de resistencia de \(4,5\,\,\mathrm{\Omega}\), con una incertidumbre de \(0,1\,\,\mathrm{\Omega}\). El valor reportado con su incertidumbre es \(4,5\pm 0,1\,\,\mathrm{\Omega}\).

Para calibrar una balanza, hay que medir un peso, que se sabe que tiene un valor aproximado. Digamos que se utiliza una masa de un kilogramo, con un posible error de \(1\) gramo.

La tolerancia es el rango de \(1,002\,\,\mathrm{kg}\) a \(0,998\,\,\mathrm{kg}\). La balanza da, sistemáticamente, una medida de \(1,01\,\,\mathrm{kg}\). El peso medido está por encima del valor conocido en \(8\) gramos, y también por encima del rango de tolerancia. La balanza no pasa la prueba de calibración, si se quiere medir pesos con gran precisión.

Has medido el peso de un objeto cuatro veces. Se sabe que el objeto pesa exactamente \(3,0\,\,\mathrm{kg}\), con una precisión inferior a un gramo. Tus cuatro mediciones te dan \(3,001\,\,\mathrm{kg},2,997\,\,\mathrm{kg},3,003\,\,\mathrm{kg}\) y \(3,002\,\,\mathrm{kg}\).

Obtén el error en el valor medio.

En primer lugar, calculamos la media:

\[\dfrac{3,001\,\,\mathrm{kg}+2,997\,\,\mathrm{kg}+3,003\,\,\mathrm{kg}+3,002\,\,\mathrm{kg}}{4}=3,00075\,\,\mathrm{kg}\]

Como las medidas, únicamente, tienen tres cifras significativas después del punto decimal, tomamos el valor como \(3,000\,\,\mathrm{kg}\). Ahora, tenemos que restar la media de cada valor y elevar el resultado al cuadrado:

\[(3,001\,\,\mathrm{kg}-3,000\,\,\mathrm{kg})^2=0,000001\,\,\mathrm{kg}\]

De nuevo, el valor es muy pequeño y solo tomamos tres cifras significativas después del punto decimal, así que consideramos que el primer valor es \(0\). Ahora vamos con las otras diferencias:

\[\begin{align}(3,002\,\,\mathrm{kg}-3,000\,\,\mathrm{kg})^2&=0,000004\,\,\mathrm{kg}\\(2,997\,\,\mathrm{kg}-3,000\,\,\mathrm{kg})^2&=0,000009\,\,\mathrm{kg}\\(3,003\,\,\mathrm{kg}-3,000\,\,\mathrm{kg})^2&=0,000009\,\,\mathrm{kg}\end{align}\]

Todos nuestros resultados son \(0\), ya que solo tomamos tres cifras significativas después del punto decimal. Cuando dividimos esto entre la raíz cuadrada de las muestras, que es \(\sqrt{4}\), obtenemos:

\[\text{Error estándar de la media}=\dfrac{0}{2}=0\]

En este caso, el error estándar de la media (\(\sigma_x\)) es casi nulo.

Supongamos que sabemos que una pelota se mueve a una velocidad de \(1,4\,\,\mathrm{m/s}\). Medimos la velocidad, calculando el tiempo que tarda la pelota en desplazarse de un punto a otro con un cronómetro, lo que nos da un resultado de \(1,42\,\,\mathrm{m/s}\).

Entonces, el error absoluto de su medición será \(1,42\) menos \(1,4\).

\[\text{Error absoluto}=|1,42\,\,\mathrm{m/s}-1,4\,\,\mathrm{m/s}|=0,02\,\,\mathrm{m/s}\]

Como en el ejemplo de antes, imagina que utilizas un cronómetro para medir una pelota que se mueve con una velocidad de \(1,4\,\,\mathrm{m/s}\). Ahora, calculas el tiempo que tarda la pelota en recorrer una determinada distancia y divides la longitud por el tiempo, obteniendo un valor de \(1,42\,\,\mathrm{m/s}\).

\[\begin{align}\text{Error relativo}&=\dfrac{|1,4\,\,\mathrm{m/s}-1,42\,\,\mathrm{m/s}|}{1,4\,\,\mathrm{m/s}}=0,014 \\ \text{Error absoluto}=0,02\,\,\mathrm{m/s} \end{align}\]

Como puedes ver, el error relativo es menor que el absoluto, porque la diferencia es pequeña, comparada con la velocidad; en este caso, es dos órdenes de magnitud más pequeña.

Otro ejemplo más cualitativo de la diferencia de escala es un error en una imagen de satélite. Si el error de la imagen tiene un valor de \(10\) metros, este error es grande, a escala humana. Sin embargo, si la imagen mide \(10\) kilómetros de alto por \(10\) kilómetros de ancho, un error de 10 metros es pequeño.

Realizamos cuatro mediciones de la velocidad de una pelota que se mueve \(10\) metros y cuya velocidad va disminuyendo a medida que avanza. Marcamos divisiones de 1 metro y, para medir el tiempo que tarda la pelota en moverse entre ellas, utilizamos un cronómetro.

Sabes que la reacción al cronómetro de una persona es de unos \(0,2\,\,\mathrm{m/s}\). Midiendo el tiempo con el cronómetro y dividiendo por la distancia, obtenemos valores iguales a \(1,4\,\,\mathrm{m/s},1,22\,\,\mathrm{m/s}, 1,15\,\,\mathrm{m/s}\) y \(1,01\,\,\mathrm{m/s}\).

Como la reacción al cronómetro no es inmediata, esto produce una incertidumbre de \(0,2\,\,\mathrm{m/s}\). Esto significa que los resultados son \(1,4 \pm 0,2\,\,\mathrm{m/s}\), \(1,22 \pm 0,2\,\,\mathrm{m/s}\), \(1,15 \pm 0,2\,\,\mathrm{m/s}\) y \(1,01 \pm 0,2\,\,\mathrm{m/s}\).

Si graficamos estos datos, obtendremos la siguiente figura:

Fig. 2: El gráfico muestra una representación aproximada. Los puntos representan los valores reales de \(1,4\,\,\mathrm{m/s}\), \(1,22\,\,\mathrm{m/s}\), \(1,15\,\,\mathrm{m/s}\) y \(1,01\,\,\mathrm{m/s}\). Las barras representan la incertidumbre de \(\pm0,2\,\,\mathrm{m/s}\).

Para calcular la propagación de la incertidumbre, necesitamos calcular la fuerza como \(F=m\cdot g\). Si calculamos la fuerza sin la incertidumbre, obtenemos el valor esperado:

\[F=2\,\,\mathrm{g}\cdot 9,81\,\,\mathrm{m/s^2}=19,62\,\,\mathrm{N}\]

Ahora, calculamos el valor con las incertidumbres. En este caso, ambas incertidumbres tienen los mismos límites superior e inferior: \(\pm1\,\,\mathrm{g}\) y \(\pm0,1\,\,\mathrm{m/s^2}\).

\[F_{incertidumbres}=(2+1)\,\,\mathrm{g}\cdot(9,81+0,1)\,\,\mathrm{m/s^2}=19,8299\,\,\mathrm{N}\]

Podemos redondear este número con dos dígitos significativos como \(19,83\) Newtons. Ahora, restamos ambos resultados:

\[\text{Incertidumbre}=|F-F_{incertidumbres}|=0,21\]

El resultado se expresa como \(\text{Valor esperado}\pm\text{Valor de la incertidumbre}\).

\[F=19,62\pm0,21\,\,\mathrm{N}\]

Digamos que estamos sumando dos piezas de metal con longitudes de \(1,3\,\,\mathrm{m}\) y \(1,2\,\,\mathrm{m}\). Las incertidumbres son \(\pm0,05\,\,\mathrm{m}\) y \(\pm0,01\,\,\mathrm{m}\). El valor total, después de sumarlas, es de \(1,5\,\,\mathrm{m}\), con una incertidumbre de \(\pm (0,05\,\,\mathrm{m} + 0,01\,\,\mathrm{m}) = \pm 0,06\,\,\mathrm{m}\).

Digamos que estamos calculando el área de un círculo, sabiendo que el área es igual a \(A =2\pi r\). Calculamos el radio como \(r = 1 \pm 0,1\,\,\mathrm{m}\). La incertidumbre es \(2\pi\cdot\pm0,1\,\,\mathrm{m}\); lo que nos da un valor de incertidumbre de \(\pm0,6283\,\,\mathrm{m}\).

Si tenemos una longitud de \(1,2\,\,\mathrm{m}\), con una incertidumbre de \(\pm0,03\,\,\mathrm{m}\), y la dividimos por 5, la incertidumbre es \(\pm0,03/5= \pm0,006\,\,\mathrm{m}\).

Al medir el valor de la constante de la gravedad en la Tierra, nuestro valor es \(9,81\,\,\mathrm{m/s^2}\), y tenemos una incertidumbre de \(\pm0,10003\,\,\mathrm{m/s^2}\). El valor después del punto decimal varía nuestra medición en \(0,1\,\,\mathrm{m/s^2}\); sin embargo, el último valor de \(0,0003\) tiene una magnitud tan pequeña que su efecto sería apenas perceptible.

Por tanto, podemos redondear, eliminando todo lo que hay después de \(0,1\).

Por ejemplo: \(3,16\) y \(3,15\) se convierten en \(3,2\), mientras que \(3,14\) se convierte en \(3,1\).

Supongamos que te dan un gráfico con números que únicamente tienen dos decimales. Generalmente, se espera que incluyas dos decimales en tus respuestas.

Digamos que tenemos dos valores: \((9,3\pm0,4)\) y \((10,2\pm0,14)\). Si sumamos ambos valores, también tenemos que sumar sus incertidumbres.

La suma de ambos valores nos da la incertidumbre total, como \(|0,4|+|0,14|\) o \(\pm0,54\). Si redondeamos \(0,54\) al número entero más cercano, obtenemos \(0,5\), ya que \(0,54\) está más cerca de \(0,5\) que de \(0,6\).

Por tanto, el resultado de sumar ambos números y sus incertidumbres y redondear los resultados es \(19,5\pm0,5\,\,\mathrm{m}\).

Supongamos que te dan dos valores para multiplicar, y ambos tienen incertidumbres. Las cantidades son \(A = 3,4 \pm 0,01\) y \(B = 5,6 \pm 0,1\). La pregunta te pide que calcules el error propagado hasta un decimal.

Solución:

Primero, calculas el porcentaje de error de ambas:

\[\begin{align}E_{B\%}=\dfrac{|5,6-5,7|}{5,6}\cdot 100=1,78\%\\E_{A\%}=\dfrac{|3,4-3,41|}{3,4}\cdot 100=0,29\% \end{align} \]

El error total es \(0,29\%+ 1,78\%= 2,07\%\).

Se te ha pedido que te aproximes únicamente hasta un decimal. El resultado puede variar en función de si se toma solamente el primer decimal o si se redondea este número:

\[\text{Error redondeado}=2,1\%\]

\[\text{Error aproximado}=2,0\%\]