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Visión general de la ecuación de Bernoulli
Antes de examinar las diversas aplicaciones de la ecuación de Bernoulli, recordemos el principio en el que se basa: el principio de Bernoulli.
El principio de Bernoulli afirma que la presión ejercida por un fluido en movimiento es inversamente proporcional a su velocidad en un flujo horizontal.
Fue demostrado por el matemático suizo Daniel Bernoulli, que le dio nombre. En otras palabras, la energía mecánica total de un líquido o gas que fluye permanece invariable en cualquier punto a lo largo de unalínea de corriente , suponiendo que el fluido en cuestión sea incompresible y tenga viscosidad cero. Esta energía total está formada por la energía de presión estática, la energía potencial gravitatoria debida a la elevación y la energía cinética del fluido en movimiento. Todos los términos energéticos respectivos son fácilmente reconocibles en la ecuación de Bernoulli definida a continuación.
La ecuación de Bernoulli
Podemos utilizar este principio y la ley de conservación de la energía para deducir la ecuación de Bernoulli:
$$ P_1 + \rho g y_1 + \frac{1}{2} \rho v^2_1 = P_2 + \rho g y_2 + \frac{1}{2} \rho v^2_2.$$
Aquí, \(P\) es la presión estática medida en pascales (\( \mathrm{Pa} )), \( \rho\) es la densidad del fluido \(\frac{\mathrm{kg}{\mathrm{m^3})\derecha), \ (g\) es la aceleración debida a la gravedad \(\left(\frac{mathrm{m}}{mathrm{s}^2}right)\), \(y\) es la elevación del fluido medida en metros (\(\mathrm{m})), y \ (v\) es la velocidad del fluido \(\left(\frac{mathrm{m}}\mathrm{s}}right)\). El subíndice indica simplemente los valores respectivos en dos puntos concretos dentro de un sistema cerrado, como se visualiza en la Figura 1 a continuación.
Fig. 1- La ecuación de Bernoulli puede descomponerse en sus componentes para un fluido que circula por una tubería desde el punto \(A\) hasta el punto \(B\).
Laecuación de continuidad
Otra relación importante a tener en cuenta al tratar la ecuación de Bernoulli, y la mecánica de fluidos en general, es laecuación de continuidad , derivada utilizando el principio de conservación de la masa. Matemáticamente, puede expresarse como
$$ A_1v_1=A_2v_2 $$
donde \ (A_1\) y \(A_2\) son las áreas transversales de la tubería en dos puntos distintos, correspondientes a la velocidad \(v\) del fluido en cada punto. En otras palabras,para un fluido incompresible en flujo aerodinámico, la masa del fluido que pasa por las distintas secciones transversales permanece igual. Esta relación se visualiza en la siguiente Figura 2.
Aplicación de la Ecuación de Bernoulli en la Vida Real
La ecuación de Bernoulli tiene numerosas aplicaciones en nuestra vida cotidiana, explicando el movimiento de gases y líquidos en tuberías, instrumentos, equipos médicos y muchos otros. Algunos ejemplos de la vida real son
Natación - Para conseguir la natación más eficaz, se pueden extender los pies, apuntar con los dedos y ajustar el ángulo de las manos. Así se conseguirá la máxima fuerza de sustentación y la mínima fuerza de arrastre.
Efecto Magnus - Una bola giratoria arrastra aire consigo debido a la fricción, de modo que la velocidad del flujo de aire disminuye en un lado de la bola mientras aumenta en el otro.
Alas de avión - La forma de un ala de avión es más curvada en la superficie, por lo que la velocidad del flujo de aire circundante es mayor en la parte superior del ala que en la inferior.
Atomizadores - Dispositivo utilizado para emitir líquidos en una fina pulverización, formado por dos tubos conectados perpendicularmente entre sí. A medida que el aire es empujado a través del tubo horizontal, la velocidad del flujo de aire aumenta por encima del tubo vertical y disminuye la presión del aire.
Medición de la presión sanguínea - Un esfigmomanómetro comprime la arteria, creando una diferencia en las áreas de sección transversal, que puede utilizarse para medir la velocidad del flujo sanguíneo y determinar la presión sanguínea.
Medidor Venturi - Instrumento que mide el caudal de un fluido a través de un tubo utilizando la diferencia de presión creada por las diferentes áreas de sección transversal.
Puedes encontrar explicaciones más detalladas de cada uno de estos ejemplos en las secciones posteriores, ¡así como en otros artículos de StudySmarter!
Aplicación y limitaciones de la ecuación de Bernoulli
Antes de profundizar en algunas de las aplicaciones mencionadas anteriormente, debemos reconocer queexisten ciertas limitaciones que hay que tener en cuenta al aplicar la ecuación de Bernoulli a un sistema.
Limitaciones de la ecuación de Bernoulli
Supone una velocidad uniforme. En la vida real, no es así. Consideremos, por ejemplo, un fluido que circula por una tubería. En la región central, el fluido tendrá su velocidad máxima. La velocidad disminuirá a medida que se acerque a las paredes de la tubería.
Supone una viscosidad nula. Si así fuera, el fluido fluiría indefinidamente. En la práctica, sin embargo, el fluido se ve frenado por las interacciones intermoleculares que crean fricción interna.
Supone la conservación completa de la energía. Aunque la suposición en sí misma es correcta, parte de la energía se convierte en calor, por lo que no contribuye a la energía total del sistema formada por las energías de presión, cinética y potencial. Del mismo modo, parte de la energía puede perderse debido a la fuerza cortante (el fluido es empujado en distintas direcciones).
Ignora cualquier contribución potencial de la fuerza centrífuga debida a una trayectoria curva del fluido.
Aplicación de la ecuación de Bernoulli en medicina
La ecuación de Bernoulli puede aplicarse a menudo a la medicina, ya que el transporte de medicamentos líquidos, oxígeno y fluidos corporales es un aspecto crucial cuando se trata a un paciente. Un ejemplo muy claro es el procedimiento de medición de la tensión arterial. Un instrumento médico llamado esfigmomanómetro se infla alrededor de un brazo para detener temporalmente el flujo sanguíneo en una arteria. Cuando se libera lentamente la presión del manguito, la arteria se dilata y la sangre vuelve a entrar en el brazo.
Aquí hay que considerar dos fuentes de energía potencial: la energía almacenada en las paredes arteriales en forma de capacitancia y el corazón que actúa como bomba e impulsa la sangre hacia delante. Ambas se convierten en energía cinética cuando la sangre se mueve, lo que significa que la energía total del sistema permanece invariable, como predice el principio de Bernoulli.
Cuando el manguito comprime o descomprime la arteria, podemos pensar en ella como en una tubería con diámetros variables. La arteria cambia su sección transversal, por lo que la velocidad también cambia. Es una aplicación directa de la ecuación de continuidad.
Aplicación de la ecuación de Bernoulli en el medidor Venturi
Determinar el caudal de un fluido dentro de un sistema requiere una herramienta precisa y eficaz. Un instrumento sencillo y fiable, que se basa directamente en el principio de Bernoulli, es un medidor de venturi.
Un venturímetro es un instrumento utilizado para medir el caudal de un fluido que circula por una tubería.
Consta de tres partes:
Una sección convergente;
Una garganta;
Una sección divergente.
El objetivo es crear una diferencia de presión dentro de la tubería modificando su sección transversal. Entonces se puede utilizar un manómetro para medir la presión del fluido que fluye, y conociendo el diámetro de cada sección, podemos calcular simplemente la presión del fluido en las otras partes de la tubería.
Fig. 3 - El medidor de Venturi puede utilizarse para determinar eficazmente la presión de un fluido en una tubería.
No tiene piezas móviles ni un impacto drástico en el caudal, lo que lo convierte en una solución ideal para medir el caudal de aire en los coches, o de gas natural en las tuberías.
Apliquemos la ecuación de Bernoulli a un problema práctico relacionado con un medidor venturi.
Un contador venturi tiene dos áreas de sección transversal diferentes en los puntos \(1\) y \(2\), \(8,0 \, \mathrm{cm^2}\ ) y \ (4,0 \, \mathrm{cm^2}\) respectivamente.
Fig. 4 - Un ejemplo de problema del medidor venturi.
El nivel del agua en los tubos situados sobre estos puntos tiene una diferencia de altura de \(30 \ , \mathrm{cm}\), como se visualiza en la figura 4. Calcula la velocidad en los puntos \(1\).
Contesta:
Partiendo de la ecuación de Bernoulli, podemos deducir una expresión para la velocidad. Aquí, los puntos \( 1\) y \(2\) están a la misma elevación, lo que significa \(y_1=y_2=0\), por lo que podemos deshacernos del término de energía potencial:
$$ P_1 + \bcancel{\rho g y_1} + \frac{1}{2}\rho v^2_1 = P_2 + \bcancel{\rho g y_2} + \frac{1}{2} \rho v^2_2.$$
Ahora podemos reordenar la expresión para tener todos los términos iguales en los mismos lados
$$ P_1-P_2=\frac{1}{2} \rho v^2_2 - \frac{1}{2}\rho v^2_1$$
que puede simplificarse en
$$ \Delta P = \frac{1}{2} \rho \left ( v^2_2 - v^2_1 \right ). $$
Ahora podemos utilizar la ecuación de continuidad
$$ A_1v_1=A_2v_2 $$
para obtener una expresión de la velocidad en el punto \(2\):
$$ v_2=\frac{A_1 \, v_1}{A_2}.$$
Esto puede introducirse en la ecuación de diferencia de presión de la siguiente manera
\Inicio \Delta P & = \frac{1}{2} \rho \left ( \left ( \frac{A_1 \, v_1}{A_2}\right )^2 - v^2_1 \right ) \\ delta P & = \frac{1}{2} \rho \left ( \frac{A_1^2 \, v_1^2}{A_2^2} - v^2_1\right ) \ \Delta P & = \frac{1}{2} \rho v_1^2\left ( \frac{A_1^2}{A_2^2}-1\right ).\end{align}
El término de diferencia de presión puede expresarse mediante la expresión de la presión ejercida por los fluidos:
$$ \Delta P = \rho g h $$
donde la diferencia de altura entre los dos niveles de agua en los tubos (\(h_1\) y \(h_2\)) se proporciona en el problema. Ahora podemos igualar estos dos términos \(\Delta P\) y reordenarlos para obtener el término de velocidad:
\begin{align} \g h & = \frac{1}{2} \2gh&= v_1^2\left ( \frac{A_1^2}{A_2^2}-1\right ) \sqrt{v_1^2}&=\sqrt{frac{2gh}{left ( \frac{A_1^2}{A_2^2}-1\right ) }} \\ v_1&=qsqrt{frac{2gh}{izquierda ( \frac{A_1^2}{A_2^2}-1\derecha ) }}.\final{align}
Introduzcamos nuestros valores para hallar la velocidad en el punto \(1\):
\v_1&=cuadrado{frac{2gh} {izquierda ( \frac{A_1^2}{A_2^2}-1\derecha ) }}. \\ v_1&=cuadrado = = izquierda (9,8, = derecha) (0,30, = izquierda) (izquierda) (= izquierda) (8,0, 4,0, derecha) (2-1) }} \\ v_1&=1,4 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}.\final{align}
Aplicación de la ecuación de Bernoulli a la ingeniería civil
La ingeniería civil se ocupa de la construcción y el mantenimiento de las infraestructuras que nos rodean. A menudo implica la aplicación del principio y la ecuación de Bernoulli. Un ejemplo muy claro es el ala de un avión.
La forma del ala de un avión se construye teniendo en cuenta el principio de Bernoulli. Como la superficie del ala es más curva, la velocidad del flujo de aire circundante es mayor en la parte superior del ala que en la inferior. A medida que el avión se desplaza, el contraflujo de aire por debajo del ala crea una presión dinámica más importante que por encima de ella. Al alcanzar cierta velocidad, la fuerza de sustentación se vuelve más significativa que la fuerza de gravedad y el avión despega del suelo. En cambio, para que el avión vuelva a aterrizar en el suelo, es necesario reducir la velocidad.
¡Veamos un problema de ejemplo en el que interviene esta fuerza de sustentación!
Un avión pequeño típico tiene una masa de \(6,00 veces10^3 \, \mathrm{kg}) y sus alas tienen un área de \(100\, \mathrm{m^2}). Si la velocidad en la superficie superior del ala es \( 50,0 \ , \frac{mathrm{m}}{mathrm{s}} ), y en la superficie inferior es \ ( 40,0 \, \frac{mathrm{m}}{mathrm{s}}), ¿cuál es la fuerza de sustentación que actúa sobre el ala? Utiliza \(1,29 \, \frac{mathrm{kg}{\mathrm{m}^3}) para la densidad del aire.
Respuesta:
Podemos seguir la misma lógica para la ecuación de la diferencia de presión, tal y como se ha completado anteriormente, en el ejemplo del medidor venturi para deducir una expresión para la fuerza.
No hay elevación, por lo que los términos de energía potencial se anulan
$$ P_1 + \bcancel{\rho g y_1} + \frac{1}{2}\rho v^2_1 = P_2 + \bcancel{\rho g y_2} + \frac{1}{2} \rho v^2_2.$$
dejándonos la siguiente expresión tras las simplificaciones:
$$ P_1-P_2 = \frac{1}{2} \rho \left ( v^2_2 - v^2_1 \right ). $$
Sabemos que
$$P=\frac{F}{A}$$
así que podemos multiplicar ambos lados por \(A\) para obtener
$$ (P_1-P_2)A = \frac{1}{2} \rho A \left ( v^2_2 - v^2_1 \right ). $$
La fuerza de sustentación es
$$ F_L=\Delta F = F_1 - F_2,$$
por tanto, podemos utilizar el hecho de que
$$\Delta F=\Delta PA= (P_1-P_2)A$$
para sustituir el lado izquierdo por \(F_\mathrm{L}\)
$$ F_\mathrm{L} =\frac{1}{2} \rho A \left ( v^2_2 - v^2_1 \right ).$$
Ahora podemos introducir los valores dados para calcular la fuerza de sustentación que actúa sobre el plano:
\Inicio F_\mathrm{L} &=\frac{1}{2}left(1,29 \frac{\mathrm{kg}} {\mathrm{m}^3} \right ) (100\,\mathrm{m^2}) \left( \left(50.0, \frac{mathrm{m}}{mathrm{s}}derecha )^2 - \left(40.0, \frac{mathrm{m}}{mathrm{s}}derecha)^2derecha ) \\ F_mathrm{L} &=5,81 veces 10^4 \, \mathrm{N}.\end{align}
Aplicación de la ecuación de Bernoulli - Puntos clave
- El principio de Bernoulli afirma que la presión ejercida por un fluido en movimiento es inversamente proporcional a su velocidad en un flujo horizontal.
- La ecuación de Bernoulli puede expresarse matemáticamente como \(P_1 + \rho g y_1 + \frac{1}{2} \rho v^2_1 = P_2 + \rho g y_2 + \frac{1}{2} \rho v^2_2\).
- La ecuación de continuidad puede escribirse como \(A_1v_1=A_2v_2\).
- Algunas de las limitaciones de la ecuación de Bernoulli incluyen suponer velocidad uniforme, viscosidad nula y conservación completa de la energía, así como ignorar cualquier contribución potencial de la fuerza centrífuga.
- Algunas aplicaciones de la ecuación de Bernoulli en la vida real son el efecto Magnus, las alas de los aviones y los atomizadores.
- La ecuación de Bernoulli puede aplicarse a menudo a la medicina, por ejemplo al medir la tensión arterial de un paciente.
- Un venturímetro es un instrumento utilizado para medir el caudal de un fluido que circula por una tubería.
- La ecuación de Bernoulli puede utilizarse para determinar la fuerza de sustentación de un avión.
Referencias
- Fig. 1 - La ecuación de Bernoulli aplicada a un sistema de tuberías, StudySmarter Originals.
- Fig. 2 - La ecuación de continuidad aplicada a un sistema de tuberías, StudySmarter Originals.
- Fig. 3 - Medidores de Venturi (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Venturi_meter,_Alden_Research_Laboratory_-_HAER_077091pu.jpg#/media/File:Venturi_meter,_Alden_Research_Laboratory_-_HAER_077091pu.jpg) de Jet Lowe con licencia de Dominio Público.
- Fig. 4 - Problema de ejemplo del medidor de Venturi, StudySmarter Originals.
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