Fig. 1 - Las tuberías son un ejemplo real de sistema cerrado que utiliza la conservación de la energía para mover fluidos.
Hoy en día, cualquier sistema que dependa del traslado de fluidos, ya sea agua, gas o aceite, utilizará la mecánica de fluidos y la ley de conservación de la energía. El principio de Bernoulli describe la mecánica de fluidos de los fluidos ideales, por lo que es un buen punto de partida cuando se trata de comprender la complicada naturaleza de los fluidos en movimiento. Como las tuberías de diámetros y elevaciones alternas transportan fluidos de densidades variables, es importante recordar que la energía y la masa totales de este sistema cerrado permanecerán constantes. En este artículo deduciremos la expresión de la conservación de la energía en los fluidos, ¡y comprenderemos mejor la naturaleza de los fluidos en movimiento!
La ley de la conservación de la energía en los fluidos
La ley de conservación de la energía es una de las leyes fundamentales de la física, que explica la naturaleza de la energía.
La leyde la conservación de la energía establece que la energía no puede crearse ni destruirse, sólo convertirse de un tipo de energía en otro.
En otras palabras, la energía total de un sistema aislado permanece constante. El mismo principio se aplica a la mecánica de fluidos. La conservación de la energía en los fluidos ideales se describe mediante el principio de Bernoulli .
El principio de Bernoulli establece que la presión ejercida por un fluido en movimiento es inversamente proporcional a su velocidad en un flujo horizontal.
Bernoulli demostró que la energía mecánica total de un líquido o gas que fluye permanece invariable en cualquier punto a lo largo de unalínea de corriente , suponiendo que el fluido en cuestión es incompresible y tiene viscosidad cero.
Derivación de la conservación de la energía en los fluidos
Derivemos la ecuación de Bernoulli, que no es más que la forma matemática más genérica del principio de Bernoulli. Para ello, imagina un sistema de tuberías con dos áreas de sección transversal diferentes a dos alturas distintas, como se visualiza en la Figura 2 a continuación.
Fig. 2 - Un sistema de tuberías utilizado para deducir la ecuación de conservación de la energía en los fluidos.
El teorema trabajo-energía establece que el trabajo realizado \(W\) es igual a la suma del cambio en la energía cinética \(K\) y el cambio en la energía potencial \(U\). Matemáticamente, puede expresarse como
$$\Delta W = \Delta K + \Delta U,$$
donde el signo del trabajo depende de la dirección de la fuerza respecto al desplazamiento, es decir, es positivo cuando apunta en la misma dirección que el flujo, y negativo cuando se opone a él. A partir del diagrama anterior, podemos deducir los signos respectivos y obtener
$$W_1-W_2 = K_2-K_1+U_2-U_1,$$
que puede reordenarse en
$$W_1 + U_1 + K_1 = W_2 + U_2 + K_2.$$
Las ecuaciones de las energías cinética y potencial son las mismas de siempre:
\begin{align} K&=\frac{1}{2}mv \ U&=mgh\end{align}
donde \(m\) es la masa, \(v\) es la velocidad, \(g\) es la aceleración debida a la gravedad, y \(h\) es la altura (en nuestro caso, la altura está representada por \(y\)). El trabajo realizado en este caso puede representarse como una fuerza \(F\) ejercida sobre una distancia \(x\). Sabemos que
$$ P=\frac{F}{A},$$
por lo que el trabajo puede expresarse como
$$ W = Fx = PAx.$$
Todas estas ecuaciones pueden introducirse en la relación trabajo-energía para cada región respectiva de la tubería:
$$ P_1A_1x_1+mgy_1+\frac{1}{2}mv_1^2=P_2A_2x_2+mgy_2+ \frac{1}{2}mv_2^2.$$
Podemos utilizar
$$ \rho=\frac{m}{V}$$
para reexpresar la masa en términos de densidad \(\rho\) y volumen \(V\). Además, podemos reescribir el producto del área de la sección transversal \(A\) y la distancia \(x\) como volumen, considerando que el volumen de un cilindro es
$$V_\text{cilindro}=\pi r^2 \ell = A_\text{base}\ell.$$
Todo esto conduce a la anulación de los términos de volumen
$$ P_1\bcancel{V}+\rho \bcancel{V} gy_1+\frac{1}{2}\rho \bcancel{V} v_1^2=P_2\bcancel{V}+\rho \bcancel{V} gy_2+\frac{1}{2}\rho \bcancel{V} v_2^2$$
y revela la versión final de la ecuación de Bernoulli:
$$ P_1 + \rho g y_1 + \frac{1}{2} \rho v^2_1 = P_2 + \rho g y_2 + \frac{1}{2} \rho v^2_2.$$
Significado de la conservación de la energía en los fluidos
Ahora que hemos obtenido la ecuación necesaria para explicar la conservación de la energía en los fluidos, podemos explicar el significado real de cada término.
Otra forma de expresar la ecuación de Bernoulli es
$$ P + \rho g y + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{constante}.$$
Aquí podemos identificar claramente los tres componentes que contribuyen a la energía total de un sistema, que permanece invariable a lo largo de la línea de corriente. El primer término es simplemente la presión estática del fluido. El segundo término representa la presión hidrostática ejercida por el fluido debido a la gravedad, y el último término da cuenta de la presión dinámica.
Relación entre la conservación de la masa y la conservación de la energía en los fluidos
Hasta ahora, hemos establecido que la energía de un fluido ideal dentro de un sistema cerrado se conserva. El mismo principio se aplica a la masa del fluido que fluye y puede explicarse utilizando la ley de conservación de la masa.
Laley de conservación de la masa establece que en un sistema cerrado la materia no puede crearse ni destruirse, sólo puede cambiar de forma.
Esta ley puede aplicarse a un sistema de tuberías de diámetros variables, para obtener la ecuación de continuidad. Matemáticamente, puede expresarse como
$$ A_1v_1 = A_2v_2, $$
donde \(A_1\) y \(A_2\) son las áreas transversales de la tubería en dos puntos distintos, correspondientes a la velocidad del fluido en ese punto. En la Figura 3 puedes ver un diagrama que visualiza esta relación.
En otras palabras, significa que para una tubería con dos áreas de sección transversal diferentes, el fluido tendrá mayor velocidad en la sección estrecha, y menor velocidad en la sección más ancha.
Muy a menudo, hay que aplicar ambas leyes de conservación a un sistema para que pueda resolverse. Por ejemplo, si conocemos el área de la sección transversal de una tubería, podemos averiguar la velocidad del fluido, que puede utilizarse para calcular el término de energía cinética en la ecuación de Bernoulli. En el siguiente apartado se resuelve un problema de ejemplo que lo demuestra.
Ejemplos de conservación de la energía en los fluidos
Veamos un problema de ejemplo sobre la conservación de la energía y la masa en los fluidos.
El petróleo crudo se transporta habitualmente a través de tuberías. Así, una tubería curva por la que circula petróleo desde el punto \(1\) hasta el punto \(2\), como se muestra en la Figura 4, tiene unas áreas de sección transversal de \(4,00 veces10^{-2}\},\mathrm{m^2}\}) y \(3,00 veces10^{-3}\},\mathrm{m^2}\}) respectivamente. La diferencia de altura entre los dos puntos es igual a \(3,50\,\mathrm{m}\}). La presión ejercida por el aceite en el punto \(1\) es igual a \(160 \, \mathrm{MPa}\) con una velocidad de \(1,85 \, \frac{\mathrm{m}}{mathrm{s}}).
Fig. 4 - Configuración de la tubería del problema de conservación de la energía.
Calcula la presión del petróleo en el punto \(2\), si la densidad del crudo es \(800 \, \, \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}). ¿Es significativa la diferencia de presión entre los dos puntos en esta situación?
Responde:
En primer lugar, debemos calcular la velocidad del aceite en el punto \(2\). Eso puede hacerse reordenando la ecuación de continuidad
$$ v_2= \frac{A_1v_1}{A_2} $$
e introduciendo nuestros valores
\v_2& = \frac{(4,00veces10^-2},\mathrm{m^2})(1,85 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}})}{(3,00veces10^-3} \mathrm{m^2})}{(3,00veces10^-2},\mathrm{m^2}) \\ v_2& = 24,7 \frac {\mathrm{m}}{\mathrm{s}. \fin{align}
Ahora, podemos utilizar la ecuación de Bernoulli para hallar la presión en el punto \(2\):
$$ P_1 + \rho g y_1 + \frac{1}{2} \rho v^2_1 = P_2 + \rho g y_2 + \frac{1}{2} \rho v^2_2.$$
La ecuación puede reordenarse para hallar \ (P_2\). Antes de introducir todos nuestros valores en unidades del SI, debemos decidir la línea de referencia para la elevación. En este caso, tiene sentido hacerlo en \(y_1\), ya que eso nos permitirá deshacernos del término \(\rho g y_1\) de la siguiente manera :
\empezar P_2&= P_1 + \bcancel{\rho g y_1} + \frac{1}{2} \rho v^2_1-\rho g y_2 - \frac{1}{2} \rho v^2_2 \ P_2&= (1,60 veces 10^8 \, \mathrm{Pa})+\frac{1}{2}left(800 \, \, \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}left( 1.85, \frac {mathrm{kg}} {mathrm{s}}derecha )^2\ derecha)\qquad- \left(800 \, \frac {mathrm{kg}} {mathrm{s}} veces9.8, \frac{mathrm{m}}{mathrm{s^2} {veces 3,50, \mathrm{m} {derecha)-\frac{1}{2}left(800 \, \frac{mathrm{kg}{mathrm{m^3} {left( 24.7\, \frac{mathrm{m}}{mathrm{s}}derecha )^2\derecha) \ P_2&= 159\ 729\ 893 \, \mathrm{Pa} \\P_2&= 1,60 veces 10^8, Pa. \fin{align}
Basándonos en este resultado, podemos concluir que, a pesar de los distintos diámetros y la diferencia de altura, la presión en ambas secciones de la tubería es casi constante.
Conservación de la energía en los fluidos - Puntos clave
- La ley de la conservación de la energía establece que la energía no puede crearse ni destruirse, sólo convertirse de un tipo de energía en otro.
- El principio de Bernoulli establece que la presión ejercida por un fluido en movimiento es inversamente proporcional a su velocidad en un flujo horizontal.
- La energía mecánica total de un fluido en movimiento no cambia en ningún punto a lo largo de unalínea de corriente , suponiendo que el fluido en cuestión sea incompresible y tenga viscosidad cero .
- La expresión matemática de la conservación de la energía en los fluidos es \(P_1 + \rho g y_1 + \frac{1}{2} \rho v^2_1 = P_2 + \rho g y_2 + \frac{1}{2} \rho v^2_2\).
- La ley de conservación de la masa establece que en un sistema cerrado la materia no puede crearse ni destruirse, sólo puede cambiar de forma.
- Matemáticamente, la ley de conservación de la masa se representa mediante la ecuación de continuidad \(A_1v_1 = A_2v_2 \).
Referencias
- Fig. 1 - Tuberías (https://unsplash.com/photos/4CNNH2KEjhc) de Sigmund (https://unsplash.com/@sigmund) en Unsplash tiene licencia de Dominio Público.
- Fig. 2 - Conservación de la energía en fluidos en una tubería, StudySmarter Originals.
- Fig. 3 - La ecuación de continuidad aplicada a un sistema de tuberías, StudySmarter Originals.
- Fig. 4 - Ejemplo de conservación de la energía en fluidos en una tubería, StudySmarter Originals.
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