Definición del Principio de Arquímedes
Si la historia anterior ocurrió así o no, es algo controvertido. Independientemente de cómo surgió la idea, necesitamos definir con precisión lo que entendemos por principio de Arquímedes antes de profundizar en él.
El principio deArquímedes afirma que la fuerza de flotación ascendente sobre un objeto total o parcialmente sumergido es igual alpeso del fluido que desplaza el objeto.
Discutiremos por qué esto es cierto tanto intuitiva como matemáticamente.
Explicación intuitiva
Si sumergimos un cubo de plástico ingrávido lleno de agua, como el de la izquierda de la imagen siguiente, flotará en equilibrio con el agua circundante porque toda el agua tiene la misma densidad. Las fuerzas que actúan sobre el cubo son la fuerza de gravedad hacia abajo y la fuerza de flotación hacia arriba. Como el cubo no está acelerando, debido a la Segunda Ley de Newton, \(\suma F = ma\), estas fuerzas sumadas son iguales a cero. Esto significa que la fuerza de flotación es igual al peso del agua en el cubo.
¿Y si cambiáramos el cubo por un cubo metálico del mismo tamaño, como el de la imagen superior derecha? El agua que rodea al cubo no sabría que es diferente del cubo lleno de agua, por lo que la fuerza de flotación que actuaría sobre él sería igual al peso del agua que podría contener el cubo. Pero ahora el peso del cubo es mayor, por lo que caería al fondo del vaso. Si recogieras el cubo del fondo, te parecería más ligero de lo que es en realidad, debido a la fuerza de flotación que empuja hacia arriba sobre él.
Explicación matemática
Cuando sumergimos un objeto en un fluido, éste ejerce presión sobre todos los lados del objeto. En la imagen siguiente, sumergimos un cubo en agua.
Simplificamos las fuerzas debidas a la presión del agua en una única fuerza descendente y una única fuerza ascendente. Las presiones horizontales que actúan sobre el cubo son iguales y opuestas, por lo que su suma es igual a cero, y las excluimos de la imagen.
La presión es igual a la fuerza por unidad de superficie, o
$$P=\frac{F}{A}.$$
También sabemos que la presión en un punto de un fluido es igual a la densidad del fluido multiplicada por la aceleración gravitatoria y la altura del fluido sobre el punto:
$$P=\rho_\text{f} gh.$$
Esta es la razón por la que la fuerza que actúa sobre la parte inferior del cubo es mayor que la fuerza sobre la parte superior: porque la presión aumenta a medida que aumenta la profundidad. Combinando estas dos ecuaciones, la ecuación de la fuerza que actúa sobre la parte superior del cubo sería la siguiente
$$F_1=\rho_\text{f} gh_1 A,$$
y la fuerza que actúa sobre la parte inferior del cubo sería
$$F_2=\rho_\text{f} g h_2 A,$$
Para hallar la fuerza de flotación, queremos hallar la diferencia entre la fuerza que actúa sobre la parte superior y la fuerza que actúa sobre la parte inferior:
$$F_2 - F_1 = \rho_\text{f} g (h_2 - h_1)A.$$
Observa que \(h_2-h_1\) es sólo la altura del cubo, y multiplicándola por la cara del cubo, \(A\), obtenemos el volumen del cubo, o mejor dicho, el volumen de agua que el cubo desplazó. Ahora obtenemos la siguiente ecuación para la fuerza de flotación:
$$F_\text{b} = \rho_\text{f} V_\text{f} g$$
La masa es igual a la densidad multiplicada por el volumen,
$$m=\rho V,$$ por lo que podemos sustituir la masa del líquido por la densidad y el volumen del líquido:
$$F_b=m_\text{f} g$$
Como el peso es igual a la masa multiplicada por la gravedad, este resultado significa que la fuerza de flotación es igual al peso del líquido desplazado, tal como dijo Arquímedes.
La presión aumenta a medida que aumenta la profundidad del líquido, pero eso no significa que aumente la fuerza de flotación. La altura del objeto sigue siendo la misma, por lo que la diferencia de presión entre la parte superior y la inferior del objeto permanece constante independientemente de la profundidad a la que se encuentre el objeto en el líquido. La fuerza de flotación sólo depende del peso del líquido desplazado y de la aceleración gravitatoria, no de la profundidad del objeto.
Principio de Arquímedes - Fórmula/Ecuación
Como se acaba de demostrar, el principio de Arquímedes da como resultado la siguiente fórmula para la flotabilidad:
$$F_\text{b}=m_\text{f} g.$$
También puedes utilizar la siguiente ecuación, sustituyendo la masa por la densidad multiplicada por el volumen, como hemos descrito antes:
$$F_b=\rho V g.$$
Ambas ecuaciones significan lo mismo; la que utilices depende de la información de que dispongas. Un punto crucial es que utilices la masa, la densidad o el volumen del fluido, no del objeto.
Esto es lo más importante que hay que recordar sobre la flotabilidad y donde se producen la mayoría de los errores. El volumen del fluido no siempre es el mismo que el volumen del objeto.
El Principio de Arquímedes y la Ley de Flotación
¿Y si nuestro cubo flota? Si sabemos que el objeto está totalmente sumergido, entonces sabemos que el volumen del fluido que desplaza el objeto es el mismo que el volumen del objeto. Pero si flota, esto no es así. Por eso es importante recordar que el volumen que utilizas es el del fluido desplazado por el líquido, no el volumen del objeto.
Cuando un objeto flota en un fluido, las únicas fuerzas que actúan sobre él son la fuerza de flotación y la fuerza gravitatoria. Podemos ver las dos fuerzas que actúan sobre el cubo flotante en la imagen superior. Como un objeto flotante no está acelerando, según la Segunda Ley de Newton, la suma de las dos fuerzas es igual a cero. Esto significa que para los objetos flotantes, la fuerza de flotación (peso del fluido desplazado) es igual a la fuerza gravitatoria (o peso) del objeto. A esto lo denominamosley de flotación .
Ejemplos del Principio de Arquímedes
A continuación te ofrecemos algunos ejemplos para demostrar los principios expuestos anteriormente.
Observemos nuestro cubo sumergido desde arriba. Se hunde hasta el fondo del agua. Si cada lado mide \(0,25,\mathrm{m}), pesa \(16,\mathrm{kg}), y la densidad del agua es \(1000,\mathrm{kg/m^3}), ¿cuál es la fuerza de flotación que actúa sobre el cubo?
Utilizando la segunda ecuación de la fuerza de flotación, podemos introducir la densidad del agua, el volumen de agua desplazado por el cubo (que en este caso es el mismo que el volumen del cubo, ya que sabemos que está totalmente sumergido) y la aceleración gravitatoria:
\F_\text{b} &= \rho V g&= (1000,\mathrm{kg/m^3})(0,25,\mathrm})^3(9,81,\mathrm{m/s^2})&= 153,\mathrm{N}\end{align}
Podemos comparar este número con la fuerza gravitatoria, o peso, del cubo para asegurarnos de que está totalmente sumergido:\begin{align}F_g &= (16\mathrm{kg})(9,81\mathrm{m/s^2}) \&= 157\mathrm{N}\end{align}
Como la fuerza gravitatoria es mayor que la fuerza de flotación, el cubo está totalmente sumergido, lo que sugiere que hemos utilizado el volumen correcto.
A continuación, consideremos un cubo flotante.
Digamos que nuestro mismo cubo del ejemplo anterior pesa \(13\,\mathrm{kg}\) en lugar de \(16\,\mathrm{kg}\). Esto hace que el cubo flote, pero no sabemos qué parte sobresale del agua. ¿Qué porcentaje del cubo está por debajo del agua?
Podemos escribir la ecuación de la fuerza de flotación que utilizamos antes, pero esta vez no podemos utilizar el mismo volumen del cubo, ya que no sabemos a qué profundidad está sumergido. Dividiremos el volumen en el área del fondo del cubo, \(A\), que conocemos, multiplicada por nuestra altura desconocida, \(h\):
$$F_\text{b} = \rho (Ah) g$$
También podemos establecer la fuerza de flotación igual al peso del objeto (la masa del objeto, \(m_\mathrm{o}\), multiplicada por la aceleración gravitatoria):
$$F_\text{b} = m_\mathrm{o} g.$$
Sustituiremos la segunda ecuación por la primera, para poder resolver nuestra altura desconocida:
\m_\mathrm{o}g &= \rho (Ah) gh &= \frac{m_\mathrm{o}}{\rho A} \h &= \frac{13,\mathrm{kg}}(1000,\mathrm{kg/m^3})(0,25,\mathrm{m})^2}\end{align}
Ahora tenemos la altura del cubo sumergido:
$$h=0.208\,\mathrm{m}$$
Para saber qué parte del cubo está sumergida, podemos crear una relación entre el volumen bajo el agua y el volumen total. Utilizaremos un subíndice \(\mathrm{w}) para la variable en el agua, y utilizaremos un subíndice \(\mathrm{t}) para las variables totales del cubo:
$$\frac{V_\mathrm{w}}{V_\mathrm{t}}=\frac{Ah_\mathrm{w}}{Ah_\mathrm{t}}$$
Las áreas se anulan, ya que son iguales, así que podemos introducir los valores de las alturas:
\\frac{V_\mathrm{w}}{V_\mathrm{t}} &= \frac{0,208,\mathrm{m}}{0,25,\mathrm{m}} =0,83.\end{align}
El cubo está sumergido en el agua en un 83%.
Aplicaciones del principio de Arquímedes
El principio de Arquímedes es importante en muchos diseños de ingeniería. Algunas aplicaciones del principio de Arquímedes son las siguientes.
- Comprender el principio de Arquímedes permite a los ingenieros diseñar barcos que flotan aunque estén hechos de materiales pesados.
- Los hidrómetros utilizan el principio de Arquímedes para determinar la densidad de los fluidos.
- Los submarinos utilizan el principio de Arquímedes para controlar cómo se elevan y se sumergen en el agua.
- El principio de Arquímedes permite a los ingenieros diseñar chalecos salvavidas capaces de mantener a flote un cuerpo humano.
Conclusión sobre el Principio de Arquímedes
El principio de Arquímedes es una herramienta intuitiva y útil a la hora de abordar problemas de física relacionados con la flotabilidad. Además, nos permite hallar el volumen que, de otro modo, sería muy difícil de analizar. Conociendo el volumen y la masa, podemos obtener la densidad de los objetos y analizar también sus propiedades materiales.
Principio de Arquímedes - Puntos clave
- El principio de Arquímedes establece que la fuerza de flotación ascendente sobre un objeto es igual al peso del fluido que el objeto desplaza (\(F_\text{b} = m_\text{f} g\)).
- Al hallar la fuerza de flotación, utiliza siempre la masa, o densidad y volumen, del fluido, en lugar de la del objeto.
- Cuando un objeto flota en un fluido sin otras fuerzas externas, la fuerza de flotación es igual al peso del objeto.
- El principio de Arquímedes es relevante para muchos diseños de ingeniería relacionados con la densidad y la flotación.
Referencias
- Fig. 1 - Cubos sumergidos, StudySmarter Originals.
- Fig. 2 - Presión alrededor de un cubo sumergido, StudySmarter Originals.
- Fig. 3 - Cubo flotante, StudySmarter Originals.
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