Fig. 1 - El pelo se pega a un globo debido a la carga eléctrica entre ambos.
Si observas atentamente, te darás cuenta de que los pelos intentan alcanzar el globo aunque no lo estén tocando. Esto se debe a que el efecto de atracción causado por el globo cargado se extiende por el espacio, creando un campo eléctrico. Encontrar una expresión matemática para describir dicho campo eléctrico puede ser todo un reto. Sin embargo, la clave está en aprender a describir el campo eléctrico de múltiples cargas. Si sabemos describir el campo eléctrico a partir de unas pocas cargas puntuales, podemos aumentar el número de cargas e incluso pasar a cargas distribuidas en un objeto (¡como en el caso del globo cargado!) ¡Veamos cómo funciona!
Propiedades del campo eléctrico de cargas puntuales múltiples
Una carga puntual es una cantidad de carga eléctrica que existe en un único punto. Las cargas puntuales pueden ser positivas o negativas, y las cargas con el mismo signo se repelen, mientras que las cargas con signos opuestos se atraen. Resulta útil utilizar cargas puntuales para modelizar objetos que son muy pequeños en comparación con las distancias implicadas en un problema concreto, o modelizar un objeto grande utilizando un gran número de cargas puntuales.
Una carga puntual es una cantidad de carga eléctrica concentrada en un único punto.
El campo eléctrico es una cantidad vectorial que utilizamos para describir el efecto de una carga eléctrica o de un sistema de cargas eléctricas. Lo hacemos especificando la fuerza que el sistema de cargas ejercería sobre una carga de prueba en cada posición. Debido a su naturaleza vectorial, un campo eléctrico tiene magnitud y dirección. La magnitud del campo eléctrico de una carga puntual es proporcional a la cantidad de carga eléctrica e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a ella. Para una carga positiva, las líneas del campo eléctrico apuntan en dirección opuesta a la carga, mientras que para las cargas negativas apuntan hacia ella, como se muestra en la imagen siguiente.
Un campo eléctrico es una cantidad vectorial que representa la fuerza que sentiría una carga de prueba (positiva) en cualquier posición relativa a la fuente.
En general, podemos esbozar directamente el campo eléctrico de una sola carga puntual o de un par de ellas. Sin embargo, cuando tenemos varias cargas puntuales cercanas entre sí, el campo eléctrico resulta difícil de visualizar debido a las contribuciones de cada carga. Para hallar el campo eléctrico resultante en un lugar determinado, debemos hallar la suma vectorial de los campos eléctricos de cada carga puntual. Esto significa que las líneas de campo eléctrico nunca se cruzan, sino que cada punto tiene un vector que representa el campo eléctrico neto en ese punto. La imagen siguiente muestra un ejemplo del campo eléctrico de cuatro cargas puntuales.
Observa que las líneas de campo eléctrico siempre apuntan hacia las cargas negativas y se alejan de las positivas. Cerca de las cargas, las líneas de campo eléctrico están más juntas. A medida que aumenta la distancia a las cargas, también lo hace la separación entre las líneas de campo. La separación entre las líneas de campo representa la magnitud del campo eléctrico. Por tanto, la magnitud del campo eléctrico es mayor en los lugares donde las líneas de campo están muy juntas, cerca de las cargas, como se muestra en la imagen siguiente.
Fórmula del campo eléctrico neto
Como ya se ha dicho, el campo eléctrico neto de varias cargas en un lugar determinado se obtiene sumando vectorialmente los campos eléctricos de las cargas. Para una sola carga puntual, la magnitud del campo eléctrico viene dada por:
\[|\vec{E}|=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{|q|}{r^2},\]
donde \(q\) es la carga en culombios, \(\mathrm{C},\) \(r\) es la distancia del punto de carga al punto de interés en metros, \(\mathrm{m},\) \(\epsilon_0\) es la permitividad del espacio libre que tiene un valor de \(8.854\times10^{-12}\mathrm{\frac{C^2}{N\,m^2},\) y \(\vec{E}\) es el campo eléctrico, que tiene unidades de newtons por culombio, \(\mathrm{\frac{N}{C}.\)
Considera tres cargas cuyos campos eléctricos tienen magnitudes de \(||vec{E}_1|,\) \(||vec{E}_2|,\) y \(||vec{E}_3|\) en un punto dado. El campo eléctrico neto se halla tomando la suma vectorial de cada campo eléctrico:
\[\vec{E}_\mathrm{net}=\vec{E}_1+\vec{E}_2+\vec{E}_3.\]
Si consideramos un campo eléctrico bidimensional, el vector campo eléctrico de cada carga está formado por un componente \ (x) y un componente \ (y). La magnitud del campo eléctrico neto en cualquier punto se obtiene sustituyendo estas componentes en la relación pitagórica:
\[|\vec{E}_\mathrm{net}|=\sqrt{(E_{x_1}+E_{x_2}+E_{x_3})^2+(E_{y_1}+E_{y_2}+E_{y_3})^2}.\]
En esta ecuación, \(E_{x_1}\), \(E_{y_1}\), etc., representan el campo eléctrico de cada carga en las direcciones \(x\) y \(y\) en el punto de interés.
Podemos generalizar esto para un número \(n\) de cargas puntuales y reescribir estas ecuaciones como
\[\begin{align*}\vec{E}_\mathrm{net}&=\vec{E}_1+\vec{E}_2+...+\vec{E}_n\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=\sum_{i=1}^n\vec{E}_i.\end{align*}\]
\[\begin{align*}|\vec{E}_\mathrm{net}|&=\sqrt{(E_{x_1}+E_{x_2}+...+E_{x_n})^2+(E_{y_1}+E_{y_2}+...+E_{y_n})^2}\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=\sqrt{\left(\sum_{i=1}^nE_{x_i}\right)^2+\left(\sum_{i=1}^nE_{y_i}\right)^2}.\end{align*}\]
Campo eléctrico de dos cargas puntuales opuestas
Un ejemplo único de suma vectorial de campos eléctricos es el de dos cargas puntuales opuestas. Si dos cargas son iguales en magnitud con carga opuesta, crean un dipolo eléctrico. El campo eléctrico de un dipolo eléctrico se denomina campo dipolar. Las líneas de campo apuntan desde la carga positiva hacia la carga negativa, como se muestra a continuación.
Un dipolo eléctrico es un par de cargas iguales pero opuestas.
El campo eléctrico de un dipolo eléctrico se conoce como campo eléctrico dipolar.
¿Cuál sería la magnitud del campo eléctrico en el centro del dipolo? Tu pensamiento inicial puede ser que el campo eléctrico de las cargas positiva y negativa se anulan, haciendo que la magnitud del campo eléctrico sea cero en este lugar. Sin embargo, debemos considerar la dirección del campo eléctrico de cada carga. Los campos eléctricos de las cargas positiva y negativa apuntan ambos hacia la carga negativa, por lo que la magnitud del campo eléctrico es el doble de la magnitud de una sola de las cargas en este lugar. El artículo "Monopolos y dipolos" contiene un ejemplo que halla una expresión para el campo eléctrico en el centro de un dipolo.
Si dos cargas opuestas tienen magnitudes diferentes, el campo eléctrico resultante será distinto del de un dipolo eléctrico. Las líneas de campo eléctrico envuelven más estrechamente a la carga más débil, como se muestra en la siguiente imagen. Podemos ver claramente que las líneas de campo están más juntas entre las dos cargas, lo que indica que la intensidad de campo es mayor allí.
Una carga \(4,0,\mathrm{nC}) está separada una distancia de \(6,0,\mathrm{cm}) de una carga \(-3,0,\mathrm{nC}). ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico directamente entre las cargas (a \(3,0,\mathrm{cm}) de distancia de cada una)?
Empezaremos por hallar el campo eléctrico de cada carga en ese punto. Como el campo eléctrico apunta en dirección horizontal en este punto, sólo necesitaremos la componente \(x\) en nuestro cálculo. Como ya hemos dicho, el campo eléctrico de ambas cargas apunta hacia la carga negativa, así que resolveremos la magnitud del campo eléctrico de cada carga. La magnitud del campo eléctrico de la carga positiva viene dada por:
\[\begin{align*}|\vec{E}_1|&=E_{x_1}\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{|q|}{x_1^2}\\[8pt] xml-ph-0001@deepl.internal &=\frac{1}{4\pi(8.854\times10^{-12}\mathrm{\frac{C^2}{N\,m^2}})}\frac{4.0\,\mathrm{nC}}{(3.0\,\mathrm{cm})^2}\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=\frac{1}{4\pi(8.854\times10^{-12}\mathrm{\frac{C^2}{N\,m^2}})}\frac{4.0\times10^{-9}\,\mathrm{C}}{(3.0\times10^{-2}\,\mathrm{m})^2}\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=4.0\times10^4\,\mathrm{\frac{N}{C}}.\end{align*}\]
Así pues, la magnitud del campo eléctrico de la carga positiva es (= 4,0 veces 10^4, en la dirección positiva (x). Del mismo modo, la magnitud del campo eléctrico de la carga negativa viene dada por:
\[\begin{align*}|\vec{E}_2|&=E_{x_2}\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{|q|}{x_2^2}\\[8pt] xml-ph-0001@deepl.internal &=\frac{1}{4\pi(8.854\times10^{-12}\mathrm{\frac{C^2}{N\,m^2}})}\frac{3.0\,\mathrm{nC}}{(3.0\,\mathrm{cm})^2}\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=\frac{1}{4\pi(8.854\times10^{-12}\mathrm{\frac{C^2}{N\,m^2}})}\frac{3.0\times10^{-9}\,\mathrm{C}}{(3.0\times10^{-2}\,\mathrm{m})^2}\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=3.0\times10^4\,\mathrm{\frac{N}{C}}.\end{align*}\]
Así pues, la magnitud del campo eléctrico de la carga negativa es (= 3,0 veces 10^4, en la dirección positiva (x). Como los componentes del campo eléctrico sólo tienen la dirección \(x)-, hallamos la magnitud del campo eléctrico neto tomando la suma de las magnitudes:
\[\begin{align*}|\vec{E}_{\mathrm{net}}|&=|\vec{E}_1|+|\vec{E}_2|\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=4.0\times10^4\,\mathrm{\frac{N}{C}}+3.0\times10^4\,\mathrm{\frac{N}{C}}\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=7.0\times10^4\,\mathrm{\frac{N}{C}}.\end{align*}\]
Energía potencial eléctrica de múltiples cargas puntuales
Cuando una carga se desplaza a través de un campo eléctrico, la fuerza eléctrica realiza trabajo sobre la carga sólo si el desplazamiento de la carga se produce en la misma dirección que el campo eléctrico. Esto significa que el trabajo realizado por la fuerza eléctrica sobre la carga es independiente de la trayectoria, del mismo modo que el trabajo realizado por la gravedad sobre un objeto que cae es independiente de la trayectoria. Puesto que el trabajo realizado es independiente de la trayectoria, decimos que la fuerza eléctrica es una fuerza conservativa que proporciona energía potencial eléctrica al sistema a medida que realiza trabajo sobre una carga.
La energía potencial eléctrica de una carga, \(q_0,\) que está a una distancia, \(r,\) de otra carga, \(q,\) viene dada por:
\[U=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{qq_0}{r}.\]
Si la carga \(q_0\) se mueve de una posición, \(r_a,\) a una nueva posición, \(r_b,\) el trabajo realizado sería equivalente al cambio de energía potencial:
\[\begin{align*}W&=\Delta U\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{qq_0}{r_b}-\frac{qq_0}{r_a}\right)\\[8pt] xml-ph-0001@deepl.internal &=\frac{qq_0}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{r_b}-\frac{1}{r_a}\right).\fin{align*}]
La energía potencial eléctrica de la carga en presencia de varias cargas puntuales se calcula simplemente sumando las energías potenciales de cada carga:
\[\begin{align*}U&=\frac{q_0}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{q_1}{r_1}+\frac{q_2}{r_2}+...+\frac{q_n}{r_n}\right)\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=\frac{q_0}{4\pi\epsilon_0}\sum_{i=1}^n\frac{q_i}{r_i}.\end{align*}\]
Normalmente es más fácil trabajar con la energía potencial eléctrica que con los campos eléctricos, porque la energía potencial eléctrica es un escalar en lugar de una cantidad vectorial.
Ejemplos del campo eléctrico de varias cargas puntuales
Hagamos un par de ejemplos más para practicar la obtención del campo eléctrico de múltiples cargas.
Dos cargas iguales y positivas de carga \(q\) están separadas por una distancia, \(d.\) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico directamente entre ellas?
Puesto que tienen la misma carga, la magnitud de ambas cargas es igual:
\[|\vec{E}_1|=|\vec{E}_2|\]
Las cargas positivas se repelen, por lo que sus campos eléctricos apuntan en direcciones opuestas. Por tanto, \(\vec{E}_1=-\vec{E}_2.\) El campo eléctrico neto es entonces:
\[\begin{align*}\vec{E}_\mathrm{net}&=\vec{E}_1+\vec{E}_2\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=-\vec{E}_2+\vec{E}_2\\[8pt] xml-ph-0001@deepl.internal &=0.\end{align*}\]
Por tanto, la magnitud del campo eléctrico directamente entre dos cargas iguales y positivas es cero.
Tres cargas puntuales están colocadas como muestra la imagen siguiente. Dos cargas positivas están en el eje \(x\) separadas por una distancia, \(2d,\) y una carga negativa está en el eje \(y\) a una distancia \(d\) por encima del eje \(x\). La magnitud de cada carga es \(q\). Dibuja un vector que represente la magnitud y dirección del campo eléctrico en el origen, y escribe su magnitud.
Fig. 7 - Dos cargas puntuales positivas en el eje \(x\)- y una carga negativa en el eje \(y\)-.
En primer lugar, vamos a dibujar vectores para representar el campo eléctrico de cada carga. Todos los vectores tendrán la misma magnitud. Llamaremos a los campos eléctricos de las cargas positivas de la izquierda y la derecha, \(\vec{E}_1\) y \(\vec{E}_2,\) respectivamente. Se muestran en azul en la imagen inferior. El campo eléctrico de la carga negativa de la parte superior es \(\vec{E}_3,\), que se muestra en verde.
Fig. 8 - Componentes del campo eléctrico de dos cargas puntuales positivas y una carga puntual negativa. Todas las flechas tienen la misma longitud, ya que cada vector tiene la misma magnitud.
Cuando sumamos estos vectores, \(\vec{E}_1\) y \(\vec{E}_2\) se anulan entre sí, de modo que no hay componente horizontal en el campo eléctrico neto. Esto significa que \(\vec{E}_3\) es la única componente que contribuye al campo eléctrico neto en el origen. El vector del campo eléctrico neto, \(\vec{E},\) se representa en rosa en la siguiente imagen.
Fig. 9 - Vector campo eléctrico neto en el origen a partir de tres cargas puntuales.
La magnitud de \(\vec{E}\) es entonces igual a la magnitud de \(\vec{E}_3.\) Así, sustituyendo \(d\) por la distancia, podemos escribir:
\[\begin{align*}|\vec{E}|&=|\vec{E}_3|\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{|q|}{r^2}\\[8pt] xml-ph-0001@deepl.internal &=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{d^2}.\end{align*}\]
Campo eléctrico de cargas múltiples - Puntos clave
- Una carga puntual es una cantidad de carga eléctrica concentrada en un único punto.
- Un campo eléctrico es una cantidad vectorial que representa la fuerza que sentiría una carga de prueba (positiva) en cualquier posición relativa a la fuente.
- Para una carga puntual única, la magnitud del campo eléctrico viene dada por:
\[|\vec{E}|=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{|q|}{r^2}.\]
- Para hallar el campo eléctrico de varias cargas en un lugar determinado, tomamos la suma vectorial de los campos eléctricos de cada carga puntual que forma nuestro sistema: \(\vec{E}_\mathrm{net}=\sum_{i=1}^n\vec{E}_i .\)
- Las líneas de campo eléctrico nunca se cruzan, y la separación entre ellas representa la magnitud del campo. Las líneas muy juntas representan un campo fuerte, mientras que las líneas muy separadas representan un campo débil.
- Las líneas de campo eléctrico siempre apuntan hacia las cargas negativas y se alejan de las positivas.
- Dos cargas puntuales iguales pero opuestas crean un campo eléctrico dipolar.
- Una carga en presencia de una o más cargas tiene energía potencial eléctrica.
Referencias
- Fig. 1 - El pelo se pega al globo (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Attractive-electric-force-between-hair-and-balloon.jpg) por Mike Run (https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=User:MikeRun&action=edit&redlink=1) publicado por CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.en).
- Fig. 2 - Campo eléctrico de cargas positivas y negativas, StudySmarter Originals.
- Fig. 3 - Campo eléctrico de cuatro cargas, StudySmarter Originals.
- Fig. 4 - Intensidad del campo eléctrico, StudySmarter Originals.
- Fig. 5 - Campo eléctrico de un dipolo eléctrico, StudySmarter Originals.
- Fig. 6 - Campo eléctrico de dos cargas desiguales y opuestas, StudySmarter Originals.
- Fig. 7 - Tres cargas puntuales en un sistema de coordenadas, StudySmarter Originals.
- Fig. 8 - Componentes del campo eléctrico de tres cargas puntuales, StudySmarter Originals.
- Fig. 9 - Campo eléctrico neto de tres cargas puntuales, StudySmarter Originals.
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