Campo Eléctrico de Cargas Puntuales Múltiples

Propiedades del campo eléctrico de cargas puntuales múltiples

Una carga puntual es una cantidad de carga eléctrica que existe en un único punto. Las cargas puntuales pueden ser positivas o negativas, y las cargas con el mismo signo se repelen, mientras que las cargas con signos opuestos se atraen. Resulta útil utilizar cargas puntuales para modelizar objetos que son muy pequeños en comparación con las distancias implicadas en un problema concreto, o modelizar un objeto grande utilizando un gran número de cargas puntuales.

El campo eléctrico es una cantidad vectorial que utilizamos para describir el efecto de una carga eléctrica o de un sistema de cargas eléctricas. Lo hacemos especificando la fuerza que el sistema de cargas ejercería sobre una carga de prueba en cada posición. Debido a su naturaleza vectorial, un campo eléctrico tiene magnitud y dirección. La magnitud del campo eléctrico de una carga puntual es proporcional a la cantidad de carga eléctrica e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a ella. Para una carga positiva, las líneas del campo eléctrico apuntan en dirección opuesta a la carga, mientras que para las cargas negativas apuntan hacia ella, como se muestra en la imagen siguiente.

En general, podemos esbozar directamente el campo eléctrico de una sola carga puntual o de un par de ellas. Sin embargo, cuando tenemos varias cargas puntuales cercanas entre sí, el campo eléctrico resulta difícil de visualizar debido a las contribuciones de cada carga. Para hallar el campo eléctrico resultante en un lugar determinado, debemos hallar la suma vectorial de los campos eléctricos de cada carga puntual. Esto significa que las líneas de campo eléctrico nunca se cruzan, sino que cada punto tiene un vector que representa el campo eléctrico neto en ese punto. La imagen siguiente muestra un ejemplo del campo eléctrico de cuatro cargas puntuales.

Observa que las líneas de campo eléctrico siempre apuntan hacia las cargas negativas y se alejan de las positivas. Cerca de las cargas, las líneas de campo eléctrico están más juntas. A medida que aumenta la distancia a las cargas, también lo hace la separación entre las líneas de campo. La separación entre las líneas de campo representa la magnitud del campo eléctrico. Por tanto, la magnitud del campo eléctrico es mayor en los lugares donde las líneas de campo están muy juntas, cerca de las cargas, como se muestra en la imagen siguiente.

Fórmula del campo eléctrico neto

Como ya se ha dicho, el campo eléctrico neto de varias cargas en un lugar determinado se obtiene sumando vectorialmente los campos eléctricos de las cargas. Para una sola carga puntual, la magnitud del campo eléctrico viene dada por:

\[|\vec{E}|=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{|q|}{r^2},\]

donde \(q\) es la carga en culombios, \(\mathrm{C},\) \(r\) es la distancia del punto de carga al punto de interés en metros, \(\mathrm{m},\) \(\epsilon_0\) es la permitividad del espacio libre que tiene un valor de \(8.854\times10^{-12}\mathrm{\frac{C^2}{N\,m^2},\) y \(\vec{E}\) es el campo eléctrico, que tiene unidades de newtons por culombio, \(\mathrm{\frac{N}{C}.\)

Considera tres cargas cuyos campos eléctricos tienen magnitudes de \(||vec{E}_1|,\) \(||vec{E}_2|,\) y \(||vec{E}_3|\) en un punto dado. El campo eléctrico neto se halla tomando la suma vectorial de cada campo eléctrico:

\[\vec{E}_\mathrm{net}=\vec{E}_1+\vec{E}_2+\vec{E}_3.\]

Si consideramos un campo eléctrico bidimensional, el vector campo eléctrico de cada carga está formado por un componente \ (x) y un componente \ (y). La magnitud del campo eléctrico neto en cualquier punto se obtiene sustituyendo estas componentes en la relación pitagórica:

\[|\vec{E}_\mathrm{net}|=\sqrt{(E_{x_1}+E_{x_2}+E_{x_3})^2+(E_{y_1}+E_{y_2}+E_{y_3})^2}.\]

En esta ecuación, \(E_{x_1}\), \(E_{y_1}\), etc., representan el campo eléctrico de cada carga en las direcciones \(x\) y \(y\) en el punto de interés.

Podemos generalizar esto para un número \(n\) de cargas puntuales y reescribir estas ecuaciones como

\[\begin{align*}\vec{E}_\mathrm{net}&=\vec{E}_1+\vec{E}_2+...+\vec{E}_n\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=\sum_{i=1}^n\vec{E}_i.\end{align*}\]

\[\begin{align*}|\vec{E}_\mathrm{net}|&=\sqrt{(E_{x_1}+E_{x_2}+...+E_{x_n})^2+(E_{y_1}+E_{y_2}+...+E_{y_n})^2}\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=\sqrt{\left(\sum_{i=1}^nE_{x_i}\right)^2+\left(\sum_{i=1}^nE_{y_i}\right)^2}.\end{align*}\]

Campo eléctrico de dos cargas puntuales opuestas

Un ejemplo único de suma vectorial de campos eléctricos es el de dos cargas puntuales opuestas. Si dos cargas son iguales en magnitud con carga opuesta, crean un dipolo eléctrico. El campo eléctrico de un dipolo eléctrico se denomina campo dipolar. Las líneas de campo apuntan desde la carga positiva hacia la carga negativa, como se muestra a continuación.

Si dos cargas opuestas tienen magnitudes diferentes, el campo eléctrico resultante será distinto del de un dipolo eléctrico. Las líneas de campo eléctrico envuelven más estrechamente a la carga más débil, como se muestra en la siguiente imagen. Podemos ver claramente que las líneas de campo están más juntas entre las dos cargas, lo que indica que la intensidad de campo es mayor allí.

Energía potencial eléctrica de múltiples cargas puntuales

Cuando una carga se desplaza a través de un campo eléctrico, la fuerza eléctrica realiza trabajo sobre la carga sólo si el desplazamiento de la carga se produce en la misma dirección que el campo eléctrico. Esto significa que el trabajo realizado por la fuerza eléctrica sobre la carga es independiente de la trayectoria, del mismo modo que el trabajo realizado por la gravedad sobre un objeto que cae es independiente de la trayectoria. Puesto que el trabajo realizado es independiente de la trayectoria, decimos que la fuerza eléctrica es una fuerza conservativa que proporciona energía potencial eléctrica al sistema a medida que realiza trabajo sobre una carga.

La energía potencial eléctrica de una carga, \(q_0,\) que está a una distancia, \(r,\) de otra carga, \(q,\) viene dada por:

\[U=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{qq_0}{r}.\]

Si la carga \(q_0\) se mueve de una posición, \(r_a,\) a una nueva posición, \(r_b,\) el trabajo realizado sería equivalente al cambio de energía potencial:

\[\begin{align*}W&=\Delta U\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{qq_0}{r_b}-\frac{qq_0}{r_a}\right)\\[8pt] xml-ph-0001@deepl.internal &=\frac{qq_0}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{r_b}-\frac{1}{r_a}\right).\fin{align*}]

La energía potencial eléctrica de la carga en presencia de varias cargas puntuales se calcula simplemente sumando las energías potenciales de cada carga:

\[\begin{align*}U&=\frac{q_0}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{q_1}{r_1}+\frac{q_2}{r_2}+...+\frac{q_n}{r_n}\right)\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=\frac{q_0}{4\pi\epsilon_0}\sum_{i=1}^n\frac{q_i}{r_i}.\end{align*}\]

Ejemplos del campo eléctrico de varias cargas puntuales

Hagamos un par de ejemplos más para practicar la obtención del campo eléctrico de múltiples cargas.