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Fuerza sobre una partícula cargada en un campo uniforme
Para comprender el movimiento de una partícula cargada en un campo uniforme, primero tenemos que ver cómo puede surgir un campo uniforme y la geometría de las líneas de campo. Como hemos visto, un campo uniforme es aquel en el que la intensidad de campo \(|E|\) no varía de un lugar a otro. Esto significa que las líneas de campo de un campo uniforme deben ser todas paralelas y estar igualmente espaciadas, como se ve en la figura siguiente.
Fig. 1 - Las líneas de campo de un campo eléctrico uniforme son paralelas y están espaciadas uniformemente.
Un ejemplo común de este tipo de campo es el que se produce entre dos placas paralelas con carga opuesta. Para ver cómo dos placas paralelas pueden producir un campo eléctrico uniforme, considera las placas formadas por una fila de cargas puntuales. El campo eléctrico alrededor de una carga puntual \(q\) viene dado por la fórmula
\[|E|=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{|q|}{r^2}\]
\(\epsilon_0) es una constante física conocida como la permitividad del espacio libre, tiene un valor de \(\epsilon_0=8,85 veces10^{-12},\mathrm{F}/\mathrm{m})
Esto significa que las líneas de campo eléctrico alrededor de una carga puntual apuntan radialmente hacia dentro o hacia fuera, según la carga de la partícula. El campo eléctrico global de un conjunto de cargas puntuales se obtiene sumando todas estas líneas de campo radiales. En el caso de una fila de cargas puntuales dentro de una placa, todas las componentes del campo que apuntan paralelas a la placa se anulan dejando un campo que apunta perpendicular a la superficie de la placa. Esto da lugar a las líneas de campo paralelas uniformemente espaciadas entre las dos placas. La intensidad de un campo eléctrico uniforme entre dos placas con una carga uniforme por unidad de superficie \(\sigma=\frac{Q}{A}\) se define como
\[E=\frac{\sigma}{\epsilon_0}\]
Fig. 2 - Las componentes verticales de los campos eléctricos de las cargas puntuales se anulan todas, de modo que sólo quedan líneas de campo horizontales paralelas.
Este campo eléctrico \(E\) se produce porque hay una diferencia de potencial \(V\) entre las dos placas, debido a la acumulación de cargas opuestas en cada placa. Esto se expresa mediante la ecuación
\[E=\frac{V}{d}\]
donde \(d\) es la distancia entre las dos placas.
Por convención, la diferencia de potencial se mide desde la placa positiva, y aumenta a medida que te acercas a la placa negativa. Por tanto, la diferencia de potencial es paralela al campo eléctrico, lo que significa que lasisolíneas de potencial son superficies perpendiculares a las líneas de campo eléctrico y no hay componente del campo a lo largo de estas isolíneas. Como el campo eléctrico es uniforme, estas isolíneas están espaciadas uniformemente, ya que el cambio de la diferencia de potencial a lo largo de la distancia permanece constante.
Las isolíneas depotencial son superficies a lo largo de las cuales el potencial eléctrico permanece constante, de forma similar a las curvas de nivel de un mapa, donde la altitud permanece constante.
Fig. 3 - Las isolíneas de potencial entre dos placas paralelas se muestran en morado, el campo eléctrico no realiza ningún trabajo cuando una carga se desplaza a lo largo de estas isolíneas, por lo que son perpendiculares a las líneas de campo
La fuerza que experimenta una partícula con carga \(q\) al desplazarse una distancia \(\Delta r\) entre estas dos placas viene dada por
\[F=q\frac{\Delta V}{\Delta r}\]
donde \(\Delta V\) es el cambio de potencial en una distancia de \(\Delta r\). Observa que la fuerza sobre una partícula cargada en un campo eléctrico también puede darse como[\begin{align}F&=qE\\\\Rightarrow E&=\frac{\Delta V}{\Delta r}\end{align}\].
Como \(E\) es una constante en un campo uniforme, vemos que la fuerza sobre una partícula cargada dentro de un campo eléctrico uniforme también es una constante. Por ejemplo, un electrón que se mueve entre las placas experimenta una fuerza constante hacia la placa positiva. Esta fuerza actúa siempre perpendicularmente a la superficie de las placas, nunca hay fuerza a lo largo de las isolíneas de potencial, ya que si no hay cambio de potencial no puede haber fuerza.
Calcula la fuerza sobre un electrón si se mueve entre dos placas paralelas con una diferencia de potencial de \(150\,\mathrm{}}V) separadas por una distancia de \(0,5\,\mathrm{}}).
En primer lugar, debemos hallar la intensidad del campo eléctrico entre las dos placas.
\[E=\frac{V}{d}=\frac{150\,\mathrm{V}}{0.5\,\mathrm{m}}=300\,\mathrm{N}/\mathrm{C}\]
Para hallar la fuerza, simplemente multiplicamos la intensidad del campo eléctrico por la carga de un electrón (q_{mathrm{e}}=-1,6 veces10^{-19}},\mathrm{C}).
\[F=q_eE=-1.6\times10^{-19}\,\mathrm{C}\cdot300\,\mathrm{N}/\mathrm{C}=-4.8\times10^{-17}\,\mathrm{N}\]
Aceleración de una partícula cargada en un campo uniforme
Una vez establecida la fuerza sobre una partícula cargada en un campo uniforme, la aceleración de una partícula puede establecerse fácilmente a partir de la segunda ley de Newton.
\[\begin{align}F=&ma\Rightarrow \frac{qV}{d}=&ma\Rightarrow a=&\frac{qV}{dm}\end{align}\]
Como la dirección de la aceleración es paralela a la fuerza, vemos que las partículas cargadas aceleran hacia la placa con carga opuesta.
¿Cuál es la aceleración de un protón que se mueve en un campo eléctrico uniforme producido por dos placas paralelas con una diferencia de potencial de \(120,\mathrm{V}) separadas por \(0,15,\mathrm{m})?
Utilizando la ecuación anterior y la masa y la carga de un protón \[m_\mathrm{p}=1,67 veces10^{-27},\mathrm{kg},\\}, q_\mathrm{p}=1,6 veces10^{-19},\mathrm{C},\}], la aceleración es de
\[a=\frac{1.6\times10^{-19}\,\mathrm{C}\cdot120\,\mathrm{V}}{0.15\,\mathrm{m}\cdot1.67\times10^{-27}\,\mathrm{kg}}=7.6\times10^{10}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}\]
El movimiento de una partícula cargada en un campo uniforme
Una vez obtenidas la fuerza y la aceleración de una partícula cargada en un campo uniforme, podemos ver cómo afectan estas fuerzas al movimiento de una partícula entre dos placas paralelas. El movimiento de una partícula cargada inicialmente estacionaria en un campo uniforme es particularmente sencillo, la partícula será acelerada hacia la placa de carga opuesta en línea recta a lo largo de una línea de campo.
Fig. 4 - Si una partícula positiva está inicialmente estacionaria, será acelerada por el campo uniforme, desplazándose hacia la placa negativa a lo largo de una línea de campo.
Consideremos ahora el caso en que una partícula se mueve con velocidad constante entre las placas, perpendicularmente a la dirección del campo eléctrico. Esta vez hay dos componentes del movimiento, una paralela a la superficie de la placa debida a la velocidad inicial (denominada \(x\)), y otra perpendicular a la superficie de la placa debida a la fuerza del campo eléctrico (denominada \(y\)). Podemos utilizar las ecuaciones cinemáticas para hallar el movimiento de la partícula, con \(x,v_0,a\) denotando el desplazamiento, la velocidad inicial y la aceleración a lo largo de cada componente,
\[\begin{align}x=&v_{x0}t+\frac{1}{2}a_xt^2\y=&u_{y0}t+\frac{1}{2}a_yt^2\end{align}\]
Si la partícula tiene una velocidad inicial constante paralela a la superficie de la placa, entonces \(a_x=0\) y \(u_y=0\). Utilizando la ecuación para la aceleración que encontramos en el apartado anterior, hallamos que
\[\begin{align}x=&v_{x0}t\\y=&\frac{1}{2}\frac{qV}{dm}t^2\end{align}\]
Como \(v_{x0}\) y \(\frac{1}{2}\frac{qV}{dm}\) son constantes, resulta que \[y\propto x^2\], lo que demuestra que una partícula cargada seguirá una trayectoria parabólica a través de un campo eléctrico uniforme. Esto se parece mucho al caso de lanzar una pelota horizontalmente, en el que la fuerza de la gravedad tira de ella hacia la Tierra haciendo que la pelota siga una trayectoria parabólica. Dicha trayectoria se producirá siempre que un objeto experimente una fuerza constante perpendicular a su velocidad constante.
Fig. 5 - Una partícula cargada positivamente que se mueve a velocidad constante a través de un campo eléctrico uniforme seguirá una trayectoria parabólica como la que se muestra en color morado.
Energía cinética de una partícula cargada en un campo uniforme
La energía cinética de una partícula cargada en un campo uniforme puede calcularse de varias formas. Podríamos utilizar ecuaciones cinemáticas y la expresión de la aceleración de la partícula en el campo para hallar su velocidad, a partir de la cual se puede hallar fácilmente la energía cinética. Sin embargo, es mucho más sencillo hallar la energía cinética de la partícula aplicando el Teorema Trabajo-Energía.
El Teorema Trabajo-Energía afirma que el trabajo neto realizado por el campo eléctrico sobre la partícula es igual al cambio en la energía cinética de la partícula.
\[W_{mathrm{net}}=\Delta K\]
El trabajo realizado por un campo eléctrico uniforme para mover una partícula con carga \(q\) desde la posición \(\mathrm{A}\) a la posición \(\mathrm{B}\) puede hallarse multiplicando la carga por el cambio de potencial entre estas dos posiciones.\[W_{mathrm{AB}}=q\Delta V_{mathrm{AB}}]
Esto significa que el cambio en la energía cinética de una partícula en un campo uniforme cuando se desplaza de \(A) a \(B) viene dado por\[\Delta K_{mathrm{AB}}=q\Delta V_{mathrm{AB}}]
Movimiento de una partícula cargada en un campo uniforme: Problemas
Veamos algunos problemas de práctica.
P: Considera dos placas paralelas a una distancia de \(0,6\,\mathrm{m}\). ¿Cuál debe ser el voltaje entre las dos placas paralelas para que un electrón experimente una fuerza de \(500,\mathrm{N})?
R: Primero reordena la ecuación de la fuerza sobre una partícula cargada en un campo uniforme para encontrar una expresión para la tensión.\[\begin{align}F=&q_\mathrm{e}\frac{V}{d}\\Rightarrow V=&\frac{Fd}{q_\mathrm{e}}\end{align}\] Si se introducen los valores de la pregunta, el voltaje es\[V=\frac{500},\mathrm{N}{cdot0,6},\mathrm{m}{-1,6 veces10^{-19},\mathrm{C}=-1,88 veces10^{21},\mathrm{V}].
P: Dos placas paralelas separadas una distancia de \(0,3,\mathrm{m}) producen un campo eléctrico uniforme de magnitud \(300,\mathrm{N},\mathrm{C}^{-1}\). Si un protón comienza en reposo en la placa positiva y es acelerado hacia la placa positiva, ¿cuál será su energía cinética justo antes de llegar a la placa positiva?
R: El teorema trabajo-energía cinética dice que el trabajo realizado por el campo eléctrico es igual al negativo del cambio de energía cinética de la partícula. \[W_{text{field}}=-\Delta K_{text{particle}}]Así que, en primer lugar, tenemos que calcular el trabajo realizado por el campo para acelerar la partícula, ya que será igual a la energía cinética final de la partícula si comienza en reposo. El trabajo realizado por un campo eléctrico uniforme, al mover la partícula de una placa a otra, es equivalente al negativo de la diferencia de potencial multiplicado por la carga de la partícula.\[W=-q_\mathrm{e}V\]Si elegimos la placa negativa para que tenga potencial cero, entonces la diferencia de potencial será positiva, ya que se realiza trabajo negativo para mover la partícula positiva hacia la placa negativa.
Podemos hallar la diferencia de potencial entre las dos placas a partir de la definición de campo eléctrico uniforme\[\begin{align}E&=\frac{V}{d}\\Rightarrow V&=Ed\\&=300,\mathrm{N},\mathrm{C}^{-1}\cdot0.3\,\mathrm{m}\\&=90\,\mathrm{V}\\\Rightarrow W&=-1.6\times10^{-19}\,\mathrm{C}\cdot 90\,\mathrm{V}\\&=-14.4\times10^{-18}\,\mathrm{J}\end{align}\]
Por tanto, utilizando el teorema trabajo-energía cinética, la energía cinética final es\[\begin{align}\Delta K&=K_\mathrm{f}-K_\mathrm{i}\&=K_\mathrm{f}=-W=14,4\times10^{-18}\,\mathrm{J}end{align}\].
P: Considera un protón que se mueve directamente en medio de dos placas paralelas, paralelas a sus superficies. Las placas están separadas \(1m) con una diferencia de potencial de \(0,01,V) entre ellas. Si cada placa tiene una longitud de \(0,5,\mathrm{}), ¿a qué velocidad debe moverse inicialmente el protón para que salga por el otro lado de las placas sin entrar en contacto con la placa negativa?
R: Para resolver este problema, tenemos que dividir el movimiento de la partícula en dos componentes. Una componente \(x\) es paralela a la superficie de la placa, y la otra \(y\) es perpendicular a la superficie de la placa. A continuación, hallamos el tiempo que tardará la partícula en caer el \(0,5\,\mathrm{m}\) en la dirección \(y\). A continuación, utilizando este tiempo, podemos ver a qué velocidad debe moverse el artículo en la dirección \(x\) para que despeje la longitud \(0,5\,\mathrm{m}\) de las placas.Esto requiere la siguiente ecuación cinemática\[x=v_0t+\frac{1}{2}at^2\]donde \(x\) es el desplazamiento de la partícula, \(v_0) es la velocidad inicial, y \(a\) es la aceleración de la partícula.Primero aplica la ecuación a la dirección \(y\), observando que no hay velocidad inicial en esta dirección.\[\begin{align}y&=\frac{1}{2}at^2\\\ Flecha derecha t&=\Sabemos que la aceleración debida al campo eléctrico viene dada por\[\begin{align}a=&\frac{q_\mathrm{e}}V}{dm}\a=&\frac{16\times10^{-19}\,\mathrm{C}\cdot0.01\,\mathrm{V}}{1\,\mathrm{m}\cdot1.67\times10^{-27}\,\mathrm{kg}}\\ xml-ph-0000@deepl.internal =&0.95 veces10^{6},\mathrm{m},\mathrm{s}^{-2}]Por lo tanto, el tiempo que transcurre antes de que el protón sea atraído hacia la placa es\[\begin{align}t&=qsqrt{frac{2y}}=qsqrt{frac{2\cdot0.5\,\mathrm{m}}{0.95\times10^{6}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}}}\\ xml-ph-0000@deepl.internal &=\sqrt{0.95\times10^{-6}\,\mathrm{s}}=0.97\times10^{-3},\mathrm{s}]Observando ahora la misma ecuación cinemática en la componente \(x\), y teniendo en cuenta que no hay aceleración en esta dirección, podemos introducir el tiempo hallado anteriormente para obtener la velocidad mínima necesaria para que la partícula recorra la longitud de las placas.\[\begin{align}x&=v_{x0}t\\\begin{align} v_0&=\frac{x}{t}&=\frac{1},\mathrm{m}{0,97\veces10^{3},\mathrm{s}{}&=0,97\veces10^{3},\mathrm{m},\mathrm{s}^{-1}\end{align}]Partícula en un campo eléctrico uniforme - Puntos clave
- Los campos eléctricos uniformes son campos eléctricos en los que la intensidad de campo es la misma en todas partes dentro del campo.
- Los campos eléctricos uniformes surgen entre placas paralelas con cargas opuestas, cuya geometría garantiza que las líneas de campo sean paralelas y estén espaciadas uniformemente.
- La intensidad de campo de un campo eléctrico uniforme viene dada por\[E=\frac{V}{d},\]donde \(V\) es la diferencia de potencial a través de las placas paralelas y \(d\) es la distancia entre ellas.
- Podemos utilizar ecuaciones cinemáticas para analizar el movimiento de una partícula cargada en un campo eléctrico uniforme, a medida que experimenta una aceleración constante.
- El cambio en la energía cinética de una partícula cargada cuando se mueve entre dos puntos \(\mathrm{A}) y \(\mathrm{B}) es igual al trabajo realizado por el campo eléctrico sobre la partícula, dado por\[\Delta K=W_{mathrm{AB}}=q\Delta V_{mathrm{AB}}].
Referencias
- Fig. 1 - Campo Eléctrico Uniforme, StudySmarter Originals
- Fig. 2 - Campo Uniforme con Partículas Puntuales, StudySmarter Originals.
- Fig. 3 - Campo eléctrico uniforme con isolíneas, StudySmarter Originals.
- Fig. 4 - Partícula positiva en campo uniforme, StudySmarter Originals.
- Fig. 5 - Movimiento Parabólico de Carga en Campo Uniforme, StudySmarter Originals.
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