Potencial Eléctrico Debido a una Carga Puntual

Definición del potencial eléctrico debido a una carga puntual

Sabemos que, en realidad, las partículas cargadas como los protones y los iones tienen un tamaño definido y ocupan cierto volumen en el espacio. Puede que sea un valor minúsculo, pero existe. Para facilitar la comprensión en este artículo, vamos a suponer que todas las cargas ocupan un único punto en el espacio. Nos referiremos a estos objetos como cargas puntuales. Sabemos que cualquier partícula cargada tendrá un campo eléctrico, que no es diferente para las cargas puntuales. Las líneas de campo eléctrico de las cargas puntuales son radiales y apuntan hacia dentro o hacia fuera de la carga (según el signo de la carga). Necesitamos definir una nueva magnitud, el potencial eléctrico, y lo haremos específicamente para una carga puntual.

Podemos escribirlo matemáticamente como \[V=\frac{W}{q}.\] Los puntos adyacentes que tienen igual potencial eléctrico forman líneas equipotenciales, también llamadas isolíneas.

Fórmula del potencial eléctrico debido a una carga puntual

Si dos puntos se encuentran en la misma isolínea, no se realiza ningún trabajo al mover una partícula cargada entre esos puntos. Las isolíneas producidas por cargas puntuales forman círculos concéntricos centrados en la carga. Es evidente que el potencial \(V\) está relacionado con la distancia \(r\) de la carga \(q\). De hecho, \[V=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q}{r},\}] donde \(\varepsilon_0) es una constante conocida como permitividad del espacio libre y tiene el valor \(\varepsilon_0 = 8,85 veces10^{-12},\mathrm{F\,m^{-1}}.\La unidad SI de medida del potencial es el voltio (V), que equivale al julio por culombio (J). En la Fig. 1 se muestra un gráfico del potencial debido frente a la distancia debido a una carga positiva y debido a una carga negativa.

Fig. 1 - Un gráfico del potencial eléctrico frente a la distancia muestra una relación inversa para una carga positiva y la curva se invierte sobre el eje de la distancia para una carga negativa.

El gráfico adopta una forma hiperbólica que representa la caída del potencial a medida que aumenta la distancia. Se invierte respecto al eje de la distancia para una carga negativa. Esto puede verse en las expresiones matemáticas, primero para una carga positiva, \[V_{+}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{+q}{r},\} y luego para una carga negativa, \[V_{-}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{-q}{r},\}].

También podemos relacionar el potencial eléctrico con la magnitud media del campo eléctrico \(\left|\vec{E}\right|\) de la siguiente manera, \[\left|\vec{E}\right|=\left|\frac{\Delta V}{\Delta r}\right|.\] La magnitud media del campo eléctrico entre dos puntos es igual a la magnitud del cambio de potencial eléctrico \(\Delta V\) dividida por el cambio de posición entre esos puntos \(\Delta r\) en el campo. El cambio de potencial \(\Delta V\) entre dos puntos también se denomina diferencia de potencial entre esos puntos.

Derivación de la fórmula del potencial eléctrico debido a una carga puntual

Podemos deducir la ecuación anterior considerando el ejemplo de dos cargas positivas \(q\) y \(Q\) separadas por una distancia \(r.\) Esto se representa en la Fig. 2 a continuación.

Fig. 2 - La fuerza eléctrica entre dos cargas puede utilizarse para hallar el potencial eléctrico debido a una de las cargas.

La fuerza \(F_{qQ}\) que la carga \(q\) ejerce sobre \(Q\) es igual y opuesta a la fuerza \(F_{Qq}\) que la carga \(Q\) ejerce sobre \(q.\) Podemos llamar a la magnitud de esta fuerza \(F.\) Por la ley de Coulomb, \[F=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{qQ}{r^2},\] y la energía potencial eléctrica \(E_\mathrm{P}\) es igual al trabajo realizado \(W\) para llevar dos cargas a puntos en los que su separación es \(r,\) \[E_\mathrm{P}=W=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{qQ}{r}.\] La definición de potencial eléctrico nos dice que el trabajo realizado por unidad de carga al llevar la carga \(Q\) desde el infinito hasta una distancia \(r\) de la carga \(q\) viene dado por \[\begin{align}V&=\frac{W}{Q}\&=\frac{1}{{cancel{Q}} \cdot \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q\cancel{Q}}{r}\&=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q}{r}, \end{align}\] que es la misma que la primera ecuación anterior.

Diagrama del potencial eléctrico debido a una carga puntual

Si tenemos un campo eléctrico uniforme, sabemos que las líneas de campo eléctrico serán paralelas entre sí y apuntarán en la misma dirección. Esa dirección vendrá determinada por el signo de la carga en la superficie del objeto que genera el potencial. La ecuación del potencial eléctrico nos dice que a diferentes distancias \(r\) de la superficie, habrá diferentes potenciales. Sin embargo, a lo largo de una línea paralela a la superficie, el potencial será constante, ya que todos los puntos de esa línea son equidistantes de la superficie. Estas líneas de potencial constante se denominan isolíneas y, para un campo uniforme, aparecen como en la Fig. 3 siguiente.

Fig. 3 - Las líneas de campo para un campo eléctrico uniforme son paralelas entre sí. Las líneas equipotenciales o isolíneas también son paralelas entre sí, pero son perpendiculares a las líneas de campo en todo momento.

Observa que las isolíneas son siempre perpendiculares a las líneas de campo. Esto es siempre necesario, ya que cualquier componente del campo eléctrico a lo largo de la dirección de una isolínea provocará una fuerza eléctrica sobre una carga a lo largo de esa línea. Se realizaría trabajo a lo largo de esa isolínea y el potencial no permanecería constante, lo que no puede ocurrir.

La situación es distinta para una carga puntual. Las líneas de campo serían radiales, pero exigiríamos que las isolíneas fueran siempre perpendiculares a ellas. Por tanto, las isolíneas formarían círculos concéntricos centrados en la carga puntual \(q.\) La Fig. 4 muestra las líneas de campo y las isolíneas debidas a una carga puntual positiva.

Fig. 4 - Las líneas de campo del campo eléctrico de una carga puntual positiva apuntan radialmente hacia fuera. Las isolíneas son siempre perpendiculares a las líneas de campo, por lo que forman círculos concéntricos centrados en la carga.

Las isolíneas circulares significan que el potencial es constante a lo largo de una trayectoria circular de radio \(r\) que rodea a la carga puntual. Si pensamos de forma bastante clásica y suponemos que los electrones orbitan alrededor del núcleo de un átomo siguiendo una trayectoria circular, ésta sería la razón por la que el núcleo no trabaja sobre los electrones.

Potencial eléctrico debido a una carga puntual: Ejemplos

Ahora que hemos visto cómo varía el potencial eléctrico de una carga puntual con la distancia, podemos trabajar con algunos ejemplos relacionados con este concepto.

Ahora podemos pasar a ejemplos un poco más complejos.

Por último, podemos ver cómo una diferencia de potencial entre dos puntos afecta a la magnitud del campo eléctrico en esa región.