Fig. 1 - La tensión superficial del agua es lo que permite que la gotita de agua mantenga su forma.
El fenómeno de la tensión del agua se debe a que las moléculas de agua que componen el líquido son dipolos eléctricos. Como las moléculas de agua están formadas por hidrógeno y oxígeno, donde el hidrógeno tiene carga positiva y el oxígeno carga negativa, las dos cargas opuestas crean un dipolo eléctrico. Esto permite que las moléculas de agua formen un fuerte enlace entre sí, lo que da lugar a la tensión superficial. Este artículo se centrará en el potencial eléctrico debido a un dipolo, ¡sigue leyendo para saber más!
Potencial debido a un dipolo en cualquier punto
Antes de calcular el potencial eléctrico debido a un dipolo eléctrico en un punto, es esencial comprender qué es un potencial eléctrico y un dipolo eléctrico individualmente. Empecemos por un dipolo eléctrico.
Un dipolo eléctrico es un conjunto formado por cargas iguales y opuestas separadas por una cierta distancia.
La medida de la fuerza de un dipolo eléctrico viene dada por el momento dipolar \(\vec{p}\). Es una cantidad vectorial cuya dirección va de la carga negativa a la positiva a lo largo de la longitud del dipolo.
Consideremos dos cargas puntuales \(+q\) y \(-q\) separadas por una cierta distancia, digamos \(2a\).
Fig. 2 - El momento dipolar eléctrico de un dipolo eléctrico apunta desde una carga negativa \(-q\) hacia una carga positiva \(+q\).
La magnitud del momento dipolar eléctrico de un dipolo mostrado en el diagrama es [\left|\\vec{p}\right|=2qa,\] y su unidad SI es el culombímetro \(\left(\mathrm{C\,m}\right)\).
El punto medio O del diagrama representa el centro del dipolo. La carga neta del dipolo es \(-q+q=0,\mathrm{C}\). Algunos ejemplos en los que el centro de una carga negativa está separado del centro de una distribución positiva son el agua, el alcohol y el HCL.
Aprendamos ahora qué es un potencial eléctrico y por qué es importante conocer el potencial eléctrico debido a un dipolo.
El potencial eléctrico de un cuerpo cargado es la cantidad de energía necesaria para desplazar una unidad de carga desde el infinito hasta ese punto.
Un potencial eléctrico determina la dirección del flujo de carga. Una carga eléctrica positiva siempre acelera desde un potencial alto hacia un potencial bajo. El flujo de carga se detiene en cuanto el gradiente de potencial se hace cero.
Imagina una carga puntual \(+q\) en un punto O. El potencial eléctrico en el punto que está a una distancia de \(r\) del punto O es la cantidad de trabajo que se realiza al desplazarse por unidad de carga positiva para moverla desde el infinito hasta el punto P contra la fuerza electrostática de repulsión:\[V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r}.\}
Fig. 3 - El potencial electrostático en el punto P nos dice cuánto trabajo hay que hacer para mover una carga positiva unitaria de \(+1\,\mathrm{C}\) desde el infinito hasta el punto P contra la fuerza electrostática de repulsión debida a la carga puntual \(+q\).
Un punto infinito se considera un punto de referencia en el que el valor del potencial eléctrico es cero. La carga positiva unitaria que se muestra en la figura 3 se desplaza desde un potencial cero hasta algún valor positivo de potencial.
Todo en el mundo real está hecho de materia, y la materia contiene átomos o moléculas que son eléctricamente neutros. Una molécula tiene un núcleo cargado positivamente y electrones cargados negativamente. Si el centro de cargas positivas no coincide con el centro de cargas negativas, la molécula se comporta como una molécula polar, un dipolo eléctrico. El espacio alrededor del cual puede experimentarse el efecto eléctrico de un dipolo se denomina campo dipolar. Cuando se coloca una carga en este espacio, experimenta una fuerza eléctrica.
El potencial eléctrico debido a un dipolo eléctrico en un punto cualquiera nos indica la cantidad de trabajo que hay que realizar para llevar una carga positiva unitaria desde un punto de referencia muy lejano hasta un punto concreto en contra del campo eléctrico debido al dipolo.
En la siguiente parte, deduciremos la fórmula del potencial eléctrico debido a un dipolo.
Derivación del potencial eléctrico debido a un dipolo
Imagina dos cargas iguales y distintas \(-q\) y \(+q\) separadas por una distancia \(2a\). El momento dipolar de este dipolo eléctrico es \(\left|\\vec{p}\right|=q2a\). Sea P un punto de observación en el que calcularemos el potencial eléctrico debido a este dipolo eléctrico.
Fig. 4 - La figura muestra un punto de observación P a una distancia de \(r\) del centro de un dipolo, es decir, el punto O, tal que su vector de posición forma un ángulo de \(\theta\) con la longitud del dipolo.
A partir del diagrama anterior,
El vector de posición de P desde el centro del dipolo es \(\vec{text{OP}}=\vec{r}\),
\(\ángulo \texto{OP}}=\eta),
La distancia de P a los extremos del dipolo, es decir, A y B, es \(\text{AP}=r_1\) y \(\text{BP}=r_2\).
El potencial eléctrico en el punto P debido a una carga \(-q\) en el punto A es \[V_1=-\frac{q}{4\pi\epsilon_0r_1}\tag{1}] Análogamente, el potencial eléctrico en el punto P debido a una carga \(+q\) en el punto B es \[V_2=-\frac{q}{4\pi\epsilon_0r_2}.\tag{2}\] Utilizando el principio de superposición, el potencial eléctrico en el punto P debido a las dos cargas en los puntos A y B es \[V=V_1+V_2.\] Sustituyendo los valores de las ecuaciones (1) y (2) en la ecuación anterior, \[\begin{align*}V&=-\frac{q}{4\pi\epsilon_0r_1}+\frac{q}{4\pi\epsilon_0r_2}V&=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}{\left(-\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\right)}\\ xml-ph-0000@deepl.internal V&=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}{\left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1}\right)}.\tag{3}\end{align*}]
Esta ecuación da el valor del potencial eléctrico debido a un dipolo. En la siguiente parte, obtendremos la fórmula del potencial eléctrico debido a un dipolo, que puede utilizarse en el caso axial (cuando el punto de observación está en la línea paralela a la longitud del dipolo) y ecuatorial (cuando la observación está en la línea perpendicular a la longitud del dipolo).
El resto de esta definición requiere el conocimiento de una expansión de Taylor, que sólo se trata en Cálculo AP.
En la figura 4, el vector de posición de P desde el punto O forma un ángulo \(\theta\) con la longitud del dipolo. Utilizando la ley del triángulo de adición de vectores \[r_1^2=r^2+a^2+2ar\cos{\left(\theta\right)}\tag{4}\}] y \[\begin{align*}r_2^2&=r^2+a^2+2ar\cos{\left(180^\circ-\theta\right)}\\ xml-ph-0000@deepl.internal r_2^2&=r^2+a^2-2ar\cos{\left(\theta\right)}\tag{5} xml-ph-0001@deepl.internal \end{align*}\]
La ecuación (4) también puede escribirse como \[r_1^2=r^2\left(1+\frac{a^2}{r^2}+2\frac{a}{r}cos{\left(\theta\right)}\right)\].
Supongamos \(a\ll r\), de modo que \(\frac{a}{r}\) sea pequeño y \(\frac{a^2}{r^2}\) pueda despreciarse. \[ r_1^2=r^2\left(1+2\frac{a}{r}\cos{\left(\theta\right)}\right)\}] o \[\begin{align*}r_1&=r\left(1+2\frac{a}{r}\cos{\left(\theta\right)}\right)^{1/2}\\ xml-ph-0000@deepl.internal \frac{1}{r_1}&=\frac{1}{r}\left(1+2\frac{a}{r}\cos{\left(\theta\right)}\right)^{-1/2} xml-ph-0001@deepl.internal \end{align*}\]
Con la expansión de Taylor y despreciando la potencia superior de \(\frac{a}{r}) obtenemos \[\begin{align*}\frac{1}{r_1}&=\frac{1}{r}\left[1+2\frac{a}{r}\cos{\left(\theta\right)}\times\left(-\frac{1}{2}\right)\right]\\ xml-ph-0000@deepl.internal \frac{1}{r_1}&=\frac{1}{r}\left[1-\frac{a}{r}\cos{\left(\theta\right)}\right] xml-ph-0001@deepl.internal \end{align*}\tag{6}\]
Del mismo modo, la ecuación (5) se convierte en \tag{7}[\tag{7}].
Utilizando las ecuaciones (3), (6) y (7) \[\begin{align*}V&=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{1}{r}\left(1+\frac{a}{r}\cos{\left(\theta\right)}\right)-\frac{1}{r}\left(1-\frac{a}{r}\cos{\left(\theta\right)}\right)\right]\\ xml-ph-0000@deepl.internal V&=\frac{q}{4\pi\epsilon_0r}\left[1+\frac{a}{r}\cos{\left(\theta\right)}-1+\frac{a}{r}\cos{\left(\theta\right)}\right]\\ xml-ph-0000@deepl.internal V&=\frac{q 2a}{4\pi\epsilon_0r^2}\cos{\left(\theta\right)} xml-ph-0001@deepl.internal \end{align*}\]
o \[V=\frac{p} {4\pi\epsilon_0r^2} {cos{izquierda(\theta\derecha)}] donde \(p\) es un momento dipolar eléctrico.
Por lo tanto, la fórmula del potencial eléctrico debido a un dipolo en cualquier punto P es \[V=\frac{p}{4\pi\epsilon_0r^2}\cos{left(\theta\right)}\tag{9}].
Fórmula del potencial eléctrico debido a un dipolo
Ahora hemos establecido nuestra ecuación para el potencial eléctrico de un dipolo como
\V = frac{p} {4 \pi \epsilon_0 r^2} {cos{left(\theta\right)},\tag{9]
donde \(p\) es el momento dipolar eléctrico medido en \(\mathrm{C \, m}\), \(V\) es el potencial eléctrico medido en unidades de voltios \(\mathrm{V}\), \(\epsilon_0\) es la permitividad del espacio libre con un valor de \( 8.85 \times 10^{-12} \mathrm{\frac{F}{m}}), y \(\theta) es el ángulo entre el punto y el dipolo medido en \(\mathrm{rads}\).
Potencial eléctrico debido a un dipolo en una línea axial
Imagina un punto de observación P sobre la recta, que pasa por ambos extremos del dipolo.
Fig. 5 - Punto de observación P sobre la recta que pasa por ambos extremos de un dipolo tal que el ángulo entre el vector de posición de P desde el centro del dipolo y la longitud del dipolo es \(0^\circ\).
Como el ángulo entre OP y AB es \(0^\\circ\), por tanto, el potencial eléctrico debido a un dipolo en el punto P, en este caso, es \[\begin{align*}V_{\mathrm{axial}}&=\frac{p}{4\pi\epsilon_0r^2}\cos{0^\circ}\\ xml-ph-0000@deepl.internal V_{\mathrm{axial}}&=\frac{p}{4\pi\epsilon_0r^2} xml-ph-0001@deepl.internal \end{align*}\] or \[V_{\mathrm{axial}}=\frac{q2a}{4\pi\epsilon_0r^2}.\] Esta ecuación anterior da un potencial eléctrico debido a un dipolo en la línea axial.
La ecuación muestra que
el potencial eléctrico debido a un dipolo es máximo en la línea axial,
el potencial eléctrico varía inversamente con el cuadrado de la distancia de un punto de observación al centro del dipolo,
el potencial eléctrico varía directamente con la longitud del dipolo,
el potencial eléctrico varía directamente con la intensidad de la carga a ambos lados del dipolo.
Potencial eléctrico debido a un dipolo en una línea ecuatorial
Imagina que un punto de observación P está en la línea perpendicular a la longitud del dipolo.
Fig. 6 - Punto de observación P en la línea perpendicular a la longitud de un dipolo eléctrico tal que el ángulo entre su vector de posición desde el centro del dipolo y la longitud del dipolo es \(90^\circ\)
Según la figura anterior, el ángulo entre OP y AB es \(90^\circ\). Por tanto, el potencial eléctrico debido a un dipolo en el punto P, en este caso, es [\begin{align*}V_{mathrm{eq}&=\frac{p}{4\pi\epsilon_0r^2}\cos{90^\circ}\V_{mathrm{eq}&=0\end{align*}]. La ecuación anterior muestra que el potencial eléctrico debido a un dipolo en una línea ecuatorial es cero. Esto es lógico porque la distancia a cualquiera de las cargas es la misma en esta línea, por lo que el punto experimenta tensiones iguales pero opuestas debidas a estas cargas.
Potencial eléctrico debido a un dipolo - Puntos clave
- Un dipolo eléctrico es un conjunto formado por cargas iguales y distintas separadas por una cierta distancia.
- El potencial eléctrico de un cuerpo cargado representa el grado de electrización de un cuerpo.
- El potencial eléctrico debido a un dipolo eléctrico en cualquier punto es la cantidad de trabajo realizado al llevar una carga positiva unitaria desde un punto de referencia a un punto específico contra el campo eléctrico debido a un dipolo.
- El potencial eléctrico debido a un dipolo en cualquier punto P es \(V=frac{q 2a}{4\pi\epsilon_0r^2}\cos{\left(\theta\right)}\) donde \(r\) es la distancia del punto P al centro de un dipolo, \(2a\) es la longitud de un dipolo, \(q\) es la magnitud de la carga en cada extremo del dipolo, y \(\eta\) es el ángulo entre el vector de posición del punto P desde el centro del dipolo y la longitud de un dipolo.
- El potencial eléctrico debido a un dipolo en un punto axial es \(V_{{mathrm{axial}}=\frac{q\times 2a}{4\pi\epsilon_0r^2}\), que es el valor máximo del potencial eléctrico debido a un dipolo.
- El potencial eléctrico debido a un dipolo en una línea ecuatorial es \(V_{{mathrm{eq}}=0\), que es el valor mínimo del potencial eléctrico debido a un dipolo.
Referencias
- Fig. 1 - Gotita de agua, Wikimedia Commons (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dew,_surface_tension_01.jpg) Licencia CC BY-SA 4.0 ( https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/)
- Fig. 2 - Momento dipolar eléctrico de un dipolo eléctrico, StudySmarter Originals.
- Fig. 3 - Potencial eléctrico en un punto en función del trabajo realizado, StudySmarter Originals.
- Fig. 4 - Potencial eléctrico debido a un dipolo en un punto cualquiera, StudySmarter Originals.
- Fig. 5 - Potencial eléctrico debido a un dipolo en línea axial, StudySmarter Originals.
- Fig. 6 - Potencial eléctrico debido a un dipolo en una línea ecuatorial, StudySmarter Originals.
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