Aceleración de la Gravedad

Newton y la gravedad

Las investigaciones de Isaac Newton —matemático y físico inglés reconocido por las leyes del movimiento y la ley de gravitación universal— mostraron que la fuerza que mantiene a los objetos en la tierra es la misma fuerza que mantiene a los planetas orbitando alrededor del sol.

Esta ley ayudó a los científicos a entender el movimiento planetario y el movimiento de un cuerpo en caída libre.

Las leyes del movimiento, también conocidas como leyes de Newton, describen el movimiento de los cuerpos y de las fuerzas que actúan sobre ellos. Estas leyes son la base de la física clásica:

• Primera ley: ley de inercia
• Segunda ley: ley fundamental de la dinámica
• Tercera ley: principio de causa y efecto.

Fuerza de la gravedad

Todos los objetos son atraídos por la Tierra, y la dirección de esa fuerza es hacia el centro de la Tierra.

Fig. 1: Un objeto bajo la influencia gravitatoria de la Tierra.

Por la segunda ley del movimiento de Newton, sabemos que \(F=m\cdot a\). Donde:

• \(F\) es la fuerza que genera el movimiento.
• \(m\) es la masa del objeto bajo estudio.
• \(a\) es la aceleración de este objeto.

Dada la forma matemática de la ley de gravitación de Newton, podemos escribir que la fuerza gravitatoria es equivalente a \(F=m\cdot g\). Donde \(g\) es como se denota habitualmente la aceleración de la gravedad.

Esta aceleración se puede expresar en términos de parámetros como el radio y la masa del objeto masivo que genera el campo gravitacional. La fuerza a la que se ve sometido el objeto es el peso del objeto bajo la influencia de la gravedad de la Tierra. Al depender de \(g\), el peso de cualquier objeto depende de su ubicación geográfica; aunque se suele aproximar por un valor constante cercano a la superficie, la aceleración de la gravedad depende de la distancia al cuerpo masivo.

Unidades de la gravedad

La aceleración de la gravedad se refiere a la aceleración de los objetos en caída libre cerca de la superficie de la Tierra. El Sistema Internacional de Unidades mide la aceleración de la gravedad \(g\) en metros por segundo al cuadrado \(\mathrm{m/s^2}\) o, en su equivalente, newtons por kilogramo \(\mathrm{N/kg}\).

¿Qué es la aceleración de la gravedad?

En un objeto simétrico, la fuerza gravitatoria actúa en dirección del centro del objeto. El valor de \(g\) es casi constante cerca de la superficie de la Tierra; pero, a medida que nos alejamos de ella, la fuerza de la gravedad disminuye, debido al aumento de la altura sobre la superficie.

Fig. 2: Un objeto con masa \(m\), bajo la influencia de un cuerpo mayor-como un planeta-, con masa \(M\).

Fórmula de la aceleración de la gravedad

Basándonos en datos experimentales, se ha observado que la aceleración debida a la gravedad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del objeto al centro de masa del objeto mayor; tal y como propuso Newton al enunciar su célebre ley:

\[g\propto \dfrac{1}{r^2}\]

Aquí, ⁣\(r\) es la distancia del objeto al centro de la Tierra.

La aceleración debida a la gravedad no solo es inversamente proporcional a \(r^2\), sino también directamente proporcional a la masa del cuerpo atraído —en este caso, la Tierra—.

Por lo tanto, tenemos otra proporcionalidad: \(g\propto M\)

Suponemos que la masa del objeto es significativamente menor con respecto a la masa del planeta o cuerpo al que es atraído. Algebraicamente, esto se escribe como \(m<<M\). Aquí, \(m\) es la masa del objeto más ligero y \(M\) es la del objeto pesado.

Al combinar estas dos relaciones, obtenemos: \(g\propto\dfrac{M}{r^2}\)

Para eliminar la proporcionalidad y obtener la igualdad, hay que introducir una constante de proporcionalidad, que se conoce como la constante gravitatoria universal, denotada por \(G\):

\[g=\dfrac{GM}{r^2}\]

Basándonos en datos experimentales, se ha encontrado que el valor de la constante de gravitación universal es \(G=6,674\cdot 10^{-11}\,\mathrm{N\cdot m^2/kg^2}\).

Aceleración debida a la gravedad por debajo de la superficie de la Tierra

La aceleración debida a la gravedad no sigue la relación cuadrática cuando el objeto está por debajo de la superficie de la Tierra. De hecho, la aceleración y la distancia dependen linealmente entre sí, para \(r<R\) (por debajo de la superficie de la Tierra).

Por eso si un objeto se encuentra a una distancia \(r\) del centro de la Tierra, la masa de la Tierra responsable de la aceleración debida a la gravedad en ese punto será:

\[m=\dfrac{M\cdot r^3}{R^3}\]

La aceleración debida a la gravedad sigue la proporcionalidad explicada anteriormente: \(g\propto \dfrac{m}{r^2}\)

Sustituyendo por \(m\), obtenemos:

\[\begin{align} g&=\dfrac{GMr}{R^3} \\ \\ g &\propto r \end{align} \]

Ahora podemos ver que como \(G\), \(M\) y \(R\) son constantes para un objeto o planeta dado, la aceleración depende linealmente de \(r\) . Por lo tanto, a medida que \(r\) se acerca a \(R\) , la aceleración debida a la gravedad aumenta —según la relación lineal anterior—, tras lo cual disminuye —según la ecuación que obtuvimos antes—. En la práctica, la mayoría de los problemas del mundo real estudian el movimiento de objetos que están alejados de la superficie de la Tierra.

Interpretación geométrica de la aceleración debida a la gravedad

Fig. 3: La gráfica de \(g\) en función de \(r\), que es lineal hasta \(r = R\) y tiene una curva parabólica para \(r > R\).

La aceleración debida a la gravedad tiene una relación lineal con \(r\) hasta la superficie de la Tierra, después de lo cual se describe por la relación cuadrática que definimos antes.

Esto puede verse geométricamente con la ayuda del gráfico anterior: a medida que \(r\) aumenta, ⁣\(g\) crece hasta alcanzar su valor máximo, cuando \(r=R=\text{Radio de la Tierra}\). Por otra parte, a medida que nos alejamos de la superficie de la Tierra, el valor de \(g\) disminuye, según la relación:\[g\propto \dfrac{1}{r^2}\]

También observamos que el valor de la aceleración debida a la gravedad es \(0\) en el centro de la Tierra y casi \(0\) a una gran distancia de la superficie terrestre. Para demostrar la aplicación de este concepto, consideremos el siguiente ejemplo: