Velocidad de escape

¿Cómo obtener la fórmula de la velocidad de escape?

Para obtener la fórmula de la velocidad de escape, empezamos por escribir la fórmula de la energía total de un cuerpo en presencia de un campo gravitatorio descrito por la ley de gravitación de Newton:

\[E=U+E_k=-G\dfrac{M\cdot m}{r}+\dfrac{1}{2}\cdot m\cdot v^2\]

Donde,

• \(U\) es la energía potencial gravitatoria debida al campo gravitatorio
• \(E_k\) es la energía cinética, debida al estado de movimiento del cuerpo, medida en julios.
• \(G\) es la constante gravitatoria (con un valor aproximado de \(6,67\cdot 10^{-11}\mathrm{m^3/kg\cdot s^2}\)
• \(M\) es la masa de la Tierra (aproximadamente \(5,97\cdot 10^{24}\mathrm{kg}\)
• \(m\) es la masa del cuerpo bajo estudios, medida en \(\mathrm{kg}\)
• \(r\) es la distancia radial entre ellos, medida en \(\mathrm{m}\) (cuya presencia indica simetría esférica)
• \(v\) es la velocidad del cuerpo, medida en \(\mathrm{m/s}\).

Posibles trayectorias bajo atracción gravitatoria

Considera un objeto en la superficie de la Tierra, como una pelota o un cohete espacial. Si el objeto no tiene velocidad, su energía viene dada simplemente por la energía potencial. Sin embargo, si el objeto pasa a estar en movimiento, su velocidad determinará el crecimiento de la energía cinética (y de la energía total).

Considera, ahora, un punto situado a una distancia radial infinita de la Tierra. Como la distancia radial está en el denominador de la fórmula de la energía potencial, la energía potencial gravitatoria es cero, si la distancia radial es infinita. Esto significa que un cuerpo estático a una distancia radial infinita tiene energía cero. Sin embargo, si el objeto tiene una determinada velocidad, tendrá energía cinética y, por tanto, energía total distinta de cero.

La conservación de la energía

Recuerda el principio de conservación de la energía: la energía se conserva para los sistemas aislados. La energía se conserva, ya que no estamos considerando ningún otro elemento, además de la Tierra y un determinado cuerpo. Esto implica que la energía de un cuerpo en la superficie de la Tierra debe ser la misma que la energía del cuerpo a una distancia infinita.

Teniendo esto en cuenta, podemos clasificar las posibles trayectorias de un cuerpo así:

• Si la energía total del cuerpo es positiva en la superficie de la Tierra, será positiva a una distancia radial infinita; lo que significa que llegará al infinito con una velocidad distinta a cero.
• Si la energía total del cuerpo es nula en la superficie de la Tierra, será nula a una distancia radial infinita; lo que significa que llegará al infinito con velocidad nula.
• Si la energía total del cuerpo es negativa en la superficie de la Tierra, debería ser negativa a una distancia radial infinita. Sin embargo, como no puede tener energía negativa a una distancia radial infinita —porque la energía cinética es siempre positiva o nula—, nos encontramos con que los cuerpos con energía total negativa nunca alcanzan distancias radiales infinitas. Por tanto, solo quedan dos posibilidades: caer a la superficie de la Tierra o entrar en órbitas cerradas.

Velocidad de escape en la superficie de la Tierra

Con esta clasificación, podemos ver que para que un cuerpo escape a una distancia radial infinita, necesita tener como mínimo energía cero. Por tanto, si estamos en la superficie de la Tierra, podemos encontrar la velocidad de escape \(v_e\) igualando la energía a cero:

\[ \begin{align} 0&=E=-G\cdot \dfrac{M\cdot m}{r_E}+\dfrac{1}{2}\cdot m\cdot v_e^2 \\ \dfrac{1}{2}\cdot m\cdot v_e^2&=G\cdot\dfrac{M\cdot m}{r_E} \\ v_e^2&=G\cdot\dfrac{M\cdot m}{r_E}\cdot\dfrac{2}{m}=\dfrac{2\cdot G\cdot M}{r_E} \\ v_e&=\sqrt{\dfrac{2\cdot G\cdot M}{r_E}} \\\end{align} \]

Aquí, \(r_E\) es el radio de la Tierra (aproximadamente \(6371\,\mathrm{km}\)).

Utilizando valores reales, encontramos que la velocidad de escape de un cuerpo en la superficie de la Tierra es independiente de su masa y tiene un valor aproximado de \(11,2\,\mathrm{km/s}\).

Ejercicio de velocidad de escape

Calculemos la velocidad de escape de otro planeta:

Velocidad orbital

¿Qué ocurre si un objeto se encuentra en la atmósfera, pero no es lo suficientemente rápido para escapar? En este caso, el cuerpo queda atrapado bajo la influencia del campo gravitatorio terrestre y sigue órbitas (cerradas) alrededor de la Tierra.

Para las órbitas circulares, existe una relación entre la velocidad orbital \(v_0\) del objeto y la distancia radial \(r\) desde el centro de la Tierra. Podemos deducirla utilizando la ecuación de la fuerza centrípeta, ya que esta viene dada por la atracción gravitatoria hacia el objeto en órbita:

\[ \begin{align} \dfrac{m\cdot v_0^2}{r}&=\dfrac{G\cdot M\cdot m}{r^2} \\ v_0^2\cdot r&=G\cdot M \\ v_0&=\sqrt{\dfrac{G\cdot M}{r}} \end{align} \]

Esto implica que, en función de la altitud de la órbita, los cuerpos orbitan a una determinada velocidad. La velocidad orbital no debe confundirse con la velocidad de escape \(v_e\), puesto que difieren en un factor de \(\sqrt{2}\).

\[ v_e=\sqrt{\dfrac{2\cdot G\cdot M}{r}}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{\dfrac{G\cdot M}{r}}=\sqrt{2}\cdot v_0 \approx 1,4142\cdot v_0\]

Esto significa que cualquier satélite con una órbita estable alrededor de la Tierra tendría que aumentar su velocidad en un 41,42 % para escapar de la gravedad terrestre.

Si observas la imagen siguiente, puedes ver las diferentes trayectorias de un objeto en función de su velocidad inicial:

• En A, el objeto cae hacia la Tierra.
• En B, el objeto entra en una órbita estacionaria con una velocidad orbital.
• En C, la velocidad del objeto es demasiado alta para una órbita estacionaria, pero demasiado baja para salir del campo gravitatorio de la Tierra. Por tanto, caerá en una órbita a mayor altura.
• En D, el objeto abandona el campo gravitatorio de la Tierra con la velocidad de escape.

Fig. 2: Diferentes trayectorias de un objeto en función de su velocidad inicial.