Circuito RL

Inductores e inductancia

Los inductores suelen ser bobinas de alambre fuertemente enrolladas que inducen un flujo magnético cambiante cuando pasa por ellas una corriente cambiante. De hecho, cualquier alambre induce un campo magnético debido a un cambio de corriente, sin embargo, enrollar alambre en una bobina amplifica enormemente la fuerza de este campo. El tamaño del flujo magnético \(\Phi_B(t)\) producido por un hilo para una corriente \(I\) depende de su geometría, y este efecto se cuantifica mediante la inductancia del hilo \(L\)\[L=\frac{\Phi_B}{I}.\}].

Cuando una corriente empieza a circular por un inductor, el aumento de corriente provoca un cambio en el flujo magnético. Este cambio en el flujo magnético induce una fuerza electromotriz (FEM) a través del inductor, gracias a la Ley de inducción de Faraday. Esta FEM, \(\mathcal{E}\), es igual a la magnitud de la velocidad de cambio del flujo \(\Phi_B(t)\):\[\mathcal{E}=-\frac{\mathrm{d}\Phi_B(t)}{\mathrm{d}t}\].

Combinando la Ley de Faraday con la definición de inductancia, vemos que el tamaño del EMF inducido a través del inductor depende de su inductancia:\[\mathcal{E}=-L\frac{\mathrm{d}I(t)}{mathrm{d}t}].

Según la Ley de Lenz, el EMF inducido se dirige de forma que se opone al cambio en el flujo magnético que lo creó. Esto significa que el EMF inducido a través del inductor se opone al EMF de la pila, resistiendo así el cambio de corriente.

Ecuación diferencial para el circuito LR

Utilizando lo que sabemos sobre inductores, apliquemos la regla del Bucle de Kirchoff para la diferencia de potencial a la Figura 1. Empezando por la batería y moviéndonos en el sentido de las agujas del reloj sumando los potenciales, encontramos\[V+I(t)R-L\frac{\mathrm{d}I(t)}{\mathrm{d}t}=0,\].

Así pues, el inductor tendrá claramente un efecto sobre la forma en que la corriente alcanza su valor máximo cuando el interruptor se enciende por primera vez. Si resolvemos esta ecuación, sabremos cómo aumenta la corriente justo después de conectar el interruptor.

Corriente en circuitos RL

Como hemos visto, la corriente viene definida por la siguiente ecuación diferencial.\[\begin{align}V+I(t)R-L\frac{{mathrm{d}I(t)}{mathrm{d}t}&=0\\\frac{{mathrm{d}I(t)}{mathrm{d}t}&=\frac{I(t)R}{L}-V\end{align}].

Está claro que esta ecuación diferencial puede resolverse mediante una función de la forma:\[I(t)=\frac{V}{R}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{Rt}{L}\}right).\]

Entonces, ¿qué nos dice esta ecuación sobre la corriente en un circuito LR?

Fig. 2 - La corriente en un circuito LR aumenta como una exponencial inversa hasta que alcanza su valor máximo definido por la tensión y la resistencia del circuito. La velocidad a la que lo hace viene definida por la inductancia del inductor.

La figura 2 muestra un diagrama de la corriente en un circuito LR justo después de encenderlo. Muestra que la corriente aumenta rápidamente, pero que el ritmo de este aumento se ralentiza a medida que pasa el tiempo, ya que la corriente tiende hacia su valor máximo de \(I=\frac{V}{R}\) asintóticamente.

Intentemos comprenderlo físicamente. Cuando el interruptor se enciende por primera vez, la corriente empieza a circular por el circuito, aumentando a un ritmo que sería de esperar si no hubiera inductores en el circuito. Sin embargo, este cambio en la corriente induce un flujo magnético cambiante en el inductor, que a su vez induce un EMF que se opone a la corriente. Este EMF ralentiza el aumento de la corriente con el tiempo, sin embargo, el menor aumento de la corriente reduce el tamaño del EMF inducido, por lo que la corriente tiende hacia un valor máximo constante a medida que el EMF inducido tiende hacia cero.

Constante de tiempo de un circuito RL

Como podemos ver en la Figura 2, la velocidad a la que un circuito RL alcanza su corriente máxima viene definida por la inductancia del inductor. Cuanto mayor sea la inductancia, mayor será el EMF de oposición y más tardará la corriente en alcanzar su valor máximo.

La resistencia del circuito también aparece en el término exponencial de la corriente, pero en el numerador de la fracción. Así, vemos que cuanto mayor sea la resistencia del circuito, más rápidamente alcanzará la corriente su valor máximo. Sin embargo, esta corriente máxima, definida como \(I=\frac{V}{R}\), será menor. Esta velocidad de aumento de la corriente se cuantifica mediante la constante temporal del circuito:\[\begin{align}\tau&=\frac{L}{R}\\implies\,I(t)&=\frac{V}{R}\left(1-\mathrm{e}^-\frac{t}{tau}\}right).\end{align}\].

Podemos ver que en \(t=\tau) la corriente será\[\begin{align}I(\tau)&=\frac{V}{R}\left(1-e^{-1}\\right)\&\aproximadamente0,63\frac{V}{R}.\end{align}]

Así pues, la constante de tiempo define cuánto tardará un circuito RL en alcanzar \(0,63\) veces su valor máximo. Observa cómo esta constante de tiempo depende sólo de la resistencia y la inductancia del circuito, sin importar el voltaje de la batería, la velocidad a la que los circuitos RL con valores iguales de \(L\) y \(R\) alcanzan su corriente máxima es la misma.

Descarga de un circuito RL

Después de ver cómo se comporta un circuito RL justo después de conectar el interruptor, también es interesante ver qué ocurre justo después de desconectar el interruptor. Cuando conmutamos el circuito, se produce de nuevo un cambio en el flujo magnético del inductor, lo que hace que el circuito se comporte de forma bastante diferente a la de un circuito óhmico habitual. La descarga de un circuito RL es esencialmente la misma que la carga del circuito, pero a la inversa. Cuando se abre el interruptor por primera vez, la reducción de la carga induce de nuevo un flujo magnético cambiante en el inductor, pero esta vez el flujo magnético cambiante actúa en sentido contrario, ya que allí está provocado por una corriente decreciente. Por lo tanto, esta vez el EMF inducido actúa para mantener la corriente, haciendo que ésta fluya durante más tiempo del que se vería en un circuito óhmico.

Fig. 3 - Gráfico que muestra cómo cambia la corriente en un circuito LR tras la apertura del interruptor.

Aplicación de los circuitos RL

Una vez conocidas las características de un circuito RL y su funcionamiento, veamos cómo se utilizan en la tecnología moderna. Los circuitos RL son muy comunes en aplicaciones que utilizan CA (Corriente Alterna). En los circuitos de CA, la corriente cambia constantemente, por lo que siempre hay un EMF inducido a través del inductor. Un uso de un circuito RL en circuitos de CA es como filtro de frecuencia, configurando el circuito de modo que las señales (o corrientes alternas) a una determinada frecuencia no puedan fluir por el fuerte EMF que las contrarresta. Esto es vital para la radiocomunicación, donde poder elegir la frecuencia de las señales permite una comunicación clara a través de un canal determinado.