Circuitos de Inductor-Capacitor (LC)

Ecuaciones del circuito LC

Antes de entrar en detalle sobre las ecuaciones y la frecuencia en los circuitos LC, veamos con más detalle la configuración del circuito. Si nos fijamos en la figura siguiente, tenemos un condensador cargado de capacitancia \(C\) conectado a un solenoide con una inductancia \(L\).

Fig. 2 - Estructura de un circuito LC con un condensador cargado conectado a un solenoide

Si conoces los condensadores, sabrás que estos componentes eléctricos almacenan energía eléctrica mediante la separación de carga entre sus placas paralelas. Puedes consultar nuestros otros artículos sobre condensadores para saber más. Estos condensadores de placas paralelas se cargan conectándolos a una fuente de alimentación en un circuito, lo que permite que los electrones se acumulen en un lado de la placa. Esta separación de cargas genera un campo eléctrico entre las placas, almacenando energía en su interior.

Ahora que tenemos un condensador cargado, lo conectamos a un inductor, que en este caso es un solenoide. Como ya no hay una fuente de energía conectada al condensador, no hay potencial eléctrico que mantenga a los electrones en una de las placas paralelas. Así, el condensador se descarga y genera una corriente que circula por el circuito, así como por el solenoide. Al circular una corriente por el solenoide, ahora tenemos un campo magnético que rodea la bobina. Sin embargo, a medida que el condensador se queda sin energía eléctrica para descargarse, el campo magnético se hace cada vez más débil. Por otra parte, este debilitamiento del campo magnético da lugar a un flujo magnético cambiante, que induce entonces una corriente en el solenoide mediante el fenómeno de la inducción electromagnética. Esta corriente carga entonces el condensador hasta que el campo magnético llega a cero, ¡y volvemos al principio!

Ahora podemos ver que el inductor y el condensador funcionan juntos en perfecto equilibrio entre sí. La energía eléctrica almacenada en cada componente oscila entre sí, de forma similar a las oscilaciones de una onda sinusoidal. Ahora que hemos comprendido cualitativamente los circuitos LC. Vamos a expresarlo cuantitativamente mediante una expresión matemática.

En primer lugar, debemos establecer la tensión total dentro del circuito. Como los componentes están conectados en serie, podemos sumar sus tensiones individuales para obtener

\V_{{text{T}} = V_{{text{L}} + V_{{text{C}} ,\]].

donde \(V_{\text{T}} es la tensión total, \(V_{\text{L}} es la tensión del inductor y \(V_{\text{C}} es la tensión del condensador. Todos ellos se miden en unidades de voltios \(\mathrm{V}\). Ahora volvemos a nuestros conocimientos sobre condensadores e inductores y recordamos sus ecuaciones que los relacionan con la tensión. Para un inductor, viene dada por

\V_{{texto{L}} = L \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t},\].

donde \(L\) es la inductancia medida en unidades de henrys \(\mathrm{H}\), \(I\) es la corriente medida en amperios \(\mathrm{A}\), y \(t\) es el tiempo medido en segundos \(\mathrm{s}\). Del mismo modo, para un condensador, la ecuación viene dada por

\V_{{texto{C}} = \frac{Q}{C} ,\].

donde \(Q\) es la carga en las placas paralelas del condensador medida en culombios \(\mathrm{C}\) y \(C\) es la capacitancia del condensador medida en faradios \(\mathrm{F}\). Ahora podemos sustituir estos valores en nuestra expresión para la tensión total del circuito,

\[ V_{\text{T}} = L \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t} + \frac{Q}{C} .\]

Frecuencia de resonancia del circuito LC

Ahora que tenemos nuestra ecuación de un circuito LC, podemos utilizarla para deducir la frecuencia resonante del sistema. Podemos definir la frecuencia resonante de la siguiente manera.

Como nuestro circuito LC no está conectado a una fuente de energía externa, podemos decir que las oscilaciones que presenta son a su frecuencia natural o de resonancia. Utilizando ahora la ecuación del circuito LC, podemos tomar su derivada temporal como

\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d} V_{\text{T}}{\mathrm{d}t} &= L \frac{\mathrm{d^2} I} I }{\mathrm{d} t^2} + \frac{1}{C} \frac {\mathrm{d} Q} {\mathrm{d} t } \frac{mathrm{d} V_{\text{T}}{\mathrm{d}t} &= L \frac {\mathrm{d^2} I }{\mathrm{d} t^2} + \frac{1}{C} I \\ 0 &= L \frac{\mathrm{d^2} I }{\mathrm{d} t^2} + \frac{1}{C} I. \fin \]

Ahora vamos a desgranar lo que hemos deducido anteriormente. En la primera línea, hemos tomado la derivada temporal de ambos componentes del lado derecho. Esto sólo incluye la corriente \(I\) y la carga \(Q\), ya que son los únicos componentes que dependen del tiempo, mientras que la inductancia \(L\) y la capacitancia \(C\) son constantes.

Posteriormente, podemos reescribir la derivada temporal de la carga \( \frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} t}\}) como la corriente \(I\), debido a que la corriente es la velocidad de flujo de la carga. Finalmente, en la última línea, sustituimos la derivada temporal de la tensión total por cero. Esto se debe a que sabemos que la tensión total \(V_{text{T}}) en el circuito permanece constante, ya que no hay ninguna fuente de energía externa.

Ahora puedes reconocer esta ecuación como una ecuación diferencial homogénea de segundo orden, que podemos resolver para determinar la frecuencia del sistema. Haremos la derivación completa de la frecuencia, pero primero podemos definirla como

\[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}},\]

donde \(\omega_0) es la frecuencia resonante medida en unidades de \(\mathrm{\frac{rad}{s}).

Frecuencia del circuito LC

Al resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden, primero utilizamos una solución general que podemos sustituir en la ecuación. Viene dada por

\[ I(t) = A e ^{Bt} ,\]

donde \(A\) y \(B\) son constantes a determinar. Podemos tomar la derivada de esto para obtener

\[ \frac {\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t} = AB e^{Bt} ,\]

y volver a tomar la segunda derivada como

\frac {{mathrm{d^2}} {{mathrm{d} t^2} = AB^2 e^{Bt} .\]

Sustituyendo esto en nuestra ecuación diferencial de segundo orden, obtenemos

\[ AB^2 e^{Bt} + \frac{1}{LC} A e^{Bt} = 0 .\]

Ahora, para utilizar esto para resolver nuestra ecuación, necesitamos encontrar las raíces de la ecuación característica, que podemos hallar mediante

\[ Ae^{Bt} \left( B^2 + \frac{1}{LC} \right) = 0 .\]

Para resolver esto, tenemos una solución trivial dada por \(A = 0\) y sabemos que la función exponencial nunca llega a cero, así que nos queda

\[ \begin{align} B^2 + \frac{1}{LC} &= 0 \ B^2 &= -\frac{1}{LC} \\ B &= \pm i \sqrt{\frac{1}{LC} \\ B &= \pm i \omega_0 . \fin \]

Así pues, nos queda una ecuación característica con raíces complejas, que da una solución general en términos de los exponenciales

\[ I(t) = c_1 e^{i\omega_0 t} + c_2 e^{-i \omega_0 t} ,\]

donde \(c_1\) y \(c_2\) son constantes por determinar. Sin embargo, sabemos que la corriente \(I\) es una cantidad real observable, por lo que podemos descartar la parte imaginaria de la función si podemos separarla de la parte real. Esto se hace sustituyendo en la ecuación de Euler para obtener

\[ \begin{align} I(t) &= c_1 \left( \cos(\omega_0 t) + i \sin(\omega_0 t) \right) + c_2 \left( \cos(\omega_0 t) - i \sin(\omega_0 t) \right) \ I(t) &= (c_1 + c_2) \cos(\omega_0 t) + i(c_1 - c_2) \sin(\omega_0 t) . \fin \]

Si descartamos la parte imaginaria, nos queda

\[ I(t) = A\cos(\omega_0 t ) .\\]

Donde hemos sustituido \(c_1 + c_2\) por \(A\) ya que ambas son sólo constantes que pueden reescribirse como otra constante. Ahora, para resolver \(A\), necesitamos considerar una condición inicial, en el momento \(t = 0 \, \mathrm{s}\), cuando el inductor se conecta por primera vez al condensador, sabemos que la corriente en el circuito es \( I_0\), la corriente inicial. Por tanto,

\[ I( t = 0\, \mathrm{s} ) = I_0 .\\]

Por último, nuestra expresión para la corriente en un circuito LC es

\[ I(t) = I_0 \cos(\omega_0 t ) .\\]

Como resultado, vemos que \(\omega_0\) es efectivamente la frecuencia de resonancia de un circuito LC. Podemos convertir esta frecuencia angular en frecuencia en hercios mediante la ecuación

\[ \begin{align} \omega_0 &= 2 \pi f \frac{1}{\sqrt{LC}} &= 2 \pi f \ f &= \frac{1}{\sqrt{LC} \2 \pi } fin \]

donde \(f\) es la frecuencia de la corriente en un circuito LC medida en hercios \(\mathrm{Hz}. \)

Constante de tiempo de un circuito LC

En primer lugar, definamos qué es una constante de tiempo.

¿Qué tipos de sistemas tienen constantes temporales? Son sistemas que evolucionan con el tiempo y acaban alcanzando un estado estacionario, por lo que no se produce ninguna variación en el sistema a lo largo del tiempo. Un ejemplo de este tipo de sistema en circuitos sería un circuito resistencia-condensador, también denominado circuito RC. Cuando el condensador cargado está conectado a la resistencia, se descarga con el tiempo, permitiendo que circule una corriente a través de la resistencia. Sin embargo, una vez agotada la carga del condensador, no queda corriente en el circuito para cargar de nuevo el condensador, a diferencia de un circuito LC, alcanzando así un estado estacionario.

Fig. 3 - Un circuito RC alcanza el estado estacionario cuando el condensador se ha descargado por completo.

Si comparamos esto con el circuito LC que hemos visto antes, debería quedar claro que un circuito LC no alcanza un estado estacionario, ya que la corriente evoluciona constantemente debido al intercambio de energía eléctrica entre el inductor y el condensador. Por lo tanto, un circuito LC no tiene constante de tiempo.

Corriente máxima del circuito LC

Por último, queremos determinar el valor de la corriente máxima que circula por el circuito, y en qué valores de tiempo se produce. Como tenemos la ecuación de la corriente, podemos diferenciarla con respecto al tiempo para hallar la corriente máxima. Sin embargo, a partir de nuestro conocimiento de las funciones sinusoidales, también podemos leer la amplitud de la función como \(I_0\). Esto nos dice que la corriente máxima dentro de un circuito LC es la corriente inicial en el tiempo \(t = 0 \, \mathrm{s} \).

Ahora diferenciemos la función para hallar los valores de tiempo en los que se produce la corriente máxima. Esto nos da

\[ \frac{mathrm{d} I}{mathrm{d} t} = -I_0 \omega_0 \sin(\omega_0 t) .\]

Poniendo esta función a cero, encontramos

\[ \begin{align} -I_0 \omega_0 \sin(\omega_0 t) &= 0 \sin(\omega_0 t) &= 0 \omega_0 t &= 0, \pi, 2\pi \\\ t &= 0, \frac{\pi}{\omega_0} . , \frac{2\pi}{\omega_0} . \fin \]

Así tenemos nuestra corriente máxima y el momento en que se produce.