Definición de flujo magnético
Empecemos por la definición básica de qué es exactamente el flujo magnético.
ElFlujo Magnético es una medida de la cantidad total de campo magnético que atraviesa una superficie determinada.
De esta definición se desprende que el flujo magnético depende de dos magnitudes, el campo magnético \(\vec{B}\) y la superficie \(\vec{A}\) de la superficie que nos interesa. Esta superficie se expresa como un vector \(\vec{A}=A\vec{n}\) donde \(A\) es la magnitud de la superficie y \(\vec{n}\) es un vector unitario perpendicular a la superficie, conocido como vector normal. Por ejemplo, en coordenadas cartesianas, el vector normal de una superficie horizontal situada en elplano \(x-y\) es el vector unitario \(\vec{k}\) paralelo al eje \(z\). Para una esfera, el vector normal es un vector unitario \( \vec{r}\ ) paralelo al radio de la esfera.
Los vectores unitarios son vectores de longitud uno, en coordenadas cartesianas utilizamos la notación \(\vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k}\) para denotar los vectores unitarios en las direcciones \(x,\,y,\,z\) respectivamente.
Ten en cuenta que estas superficies no tienen por qué ser superficies físicas reales, a menudo queremos considerar el flujo a través de una superficie matemática imaginaria al hacer los cálculos. La mayoría de las veces, esto nos permite utilizar superficies que simplifican algunos cálculos integrales.
Cuando intentamos visualizar campos magnéticos, a menudo utilizamos el concepto deLíneas de campo, que son líneas imaginarias, tangentes a los vectores de fuerza del campo, que representan la dirección y magnitud de la fuerza experimentada por una carga de prueba en el campo magnético. Podemos definir el flujo magnético como el número neto de líneas de campo que atraviesan una superficie determinada.
Fig. 1 - El flujo magnético puede representarse con líneas de flujo o de campo que muestran la dirección de la fuerza. Cuantas más líneas de campo atraviesen una superficie, mayor será el flujo.
Es importante tener en cuenta la dirección de las líneas de campo; si la superficie tiene el mismo número de líneas de campo entrando que saliendo de ella, el flujo neto será cero.
Ecuación del flujo magnético
Podemos convertir esta definición intuitiva del flujo magnético en una definición matemática precisa mediante las siguientes ecuaciones. Debemos considerar dos situaciones principales: una en la que el campo tiene un valor constante en todos los puntos de la superficie y otra en la que el campo varía a lo largo de la superficie.
Campo constante
Si el campo, \(\vec{B}\), es el mismo en toda la superficie, \(\vec{A}\), entonces puede utilizarse la siguiente ecuación para el flujo magnético \(\Phi_B\):
\[\Phi_B=\vec{B}\cdot\vec{A}.\]
Utilizando la definición del producto punto, vemos que el flujo magnético es igual a la componente del campo magnético perpendicular a la superficie multiplicada por el área de la superficie, como se ha comentado en el apartado anterior. Si se conoce el ángulo entre el vector normal y el campo magnético, la magnitud del flujo magnético puede expresarse como:\[\begin{align}\Phi_B&=\vec{B}\cdot A\vec{n},\&=|B|A\\cos(\theta),\end{align}\]
donde \(\theta\) es el ángulo entre el vector campo y el vector normal de la superficie, \(|B|\) es la magnitud del campo magnético. La intensidad del campo magnético se mide en unidades de Teslas \(\mathrm{T}\), lo que significa que el flujo magnético se mide en unidades de Tesla-metros al cuadrado \(\mathrm{T}\mathrm{m}^2\) también conocido como \ de Weber(\mathrm{Wb}\).
Considera un campo magnético uniforme \(\vec{B}=6\vec{i}+3\vec{j},\mathrm{T}\) que atraviesa una región cuadrada en el plano \(x-z), con lados de longitud \(2\,\mathrm{m}\), cuyo vector normal es \(\vec{n}=\vec{j}\). ¿Cuál es el flujo magnético que atraviesa esta superficie?
Observa primero que el área de la superficie del cuadrado es \(4,\mathrm{m}^2\) y el vector área viene dado por \(\vec{A}=4,\mathrm{j},\mathrm{m}^2\).
La fórmula del flujo magnético nos indica que debemos tomar el producto punto del campo magnético y el vector área\[\begin{align}\Phi_B&=\vec{B}\cdot\vec{A}\\ xml-ph-0000@deepl.internal &=\left(6\vec{i}+3\vec{j}\,\mathrm{T}\right)\cdot\left(4\,\vec{j}\,\mathrm{m}^2\right)\\ xml-ph-0001@deepl.internal &=12\,\mathrm{Wb}.\fin].
Campo variable
Si, en cambio, el campo varía sobre la superficie que estamos considerando, las cosas se complican un poco. Aquí tenemos que utilizar el cálculo. La idea es que consideremos la cantidad de campo \(\vec{B}left(\vec{r}\right)\) que fluye a través de un trozo infinitesimal de la superficie \(\mathrm{d}vec{A}\) tomando el producto punto \(\vec{B}left(\vec{r}\right)\cdot \mathrm{d}vec{A}\),
y luego integramos sobre cada trozo infinitesimal de superficie para hallar el flujo total a través de toda la superficie
\[\Phi_B=\int_S\vec{B}\left(\vec{r}\right)\cdot\mathrm{d}\vec{A}.\]
El símbolo integral \(\int_S\) denota una integral de superficie.
El cálculo exacto de la integral de superficie depende en gran medida del tipo de superficie que estemos investigando; en general, sólo las superficies sencillas, como los cuadrados o las esferas, pueden calcularse fácilmente con exactitud. Veamos un ejemplo para ver cómo funciona.
Consideremos un campo magnético que varía sobre la superficie de un cuadrado de lados de longitud \(2,\mathrm{m}) situado en el plano \(x-y\). El campo magnético se describe mediante la función\[\vec{B}\left(\vec{r}\right)=|B|left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\vec{k}.\}].
Para hallar el flujo magnético, observa primero que el vector área infinitesimal del cuadrado viene dado por
\[\mathrm{d}A=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\vec{k}.\]
Si elegimos el sistema de coordenadas de modo que las esquinas del cuadrado estén en \((x,y)=(\pm 1, \pm 1),(\pm 1, \mp 1)\). La integral del flujo tiene entonces este aspecto
\[\begin{align}\Phi_B&=\int_{S} |B|\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\vec{k}\cdot\left(\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right)\,\vec{k}\\ xml-ph-0000@deepl.internal &=\int_S |B|\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ xml-ph-0000@deepl.internal &=\int_S |B|\left(\frac{\mathrm{d}x}{x^2}+\frac{\mathrm{d}y}{y^2}\right)\\ xml-ph-0001@deepl.internal &=|B|\left(\int_{-1}^1\frac{\mathrm{d}x}{x^2}+\int_{-1}^1\frac{\mathrm{d}y}{y^2}\right)\\ xml-ph-0000@deepl.internal &=|B|\left(\left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^1+\left[-\frac{1}{y}\right]_{-1}^1\right)\\ xml-ph-0000@deepl.internal &=|B|\left(2+2\right)=-4|B|\,\mathrm{Wb}.\end{align}\]
Campo magnético frente a flujo magnético
Aunque ambos conceptos están íntimamente relacionados, es importante que no confundamos el concepto de flujo magnético con el de campo magnético. Lo esencial es recordar que el flujo magnético también viene determinado por la superficie de una superficie dada, mientras que el campo magnético indica simplemente la fuerza que siente una carga en un punto dado. Esto significa que, para un mismo campo magnético, puede surgir toda una gama de flujos posibles en función de la superficie que consideremos y de su posición respecto al campo.
Es más, el flujo magnético viene determinado por el campo de cantidad neta, que viene determinado por la dirección de cada línea de campo que pasa por la superficie. Esto significa que es posible que un campo distinto de cero en todas partes produzca un flujo nulo, si la cantidad de campo que fluye hacia una superficie es igual a la cantidad de campo que fluye hacia fuera. De hecho, la Ley de Gauss para los campos magnéticos establece que, para cualquier superficie cerrada, el flujo total a través de la superficie es siempre cero. Esto se debe a que los monopolos magnéticos no pueden existir en la naturaleza.
La Ley de Gauss para los camposmagnéticos establece que el flujo total a través de una superficie cerrada, que no contiene agujeros, es siempre igual a cero.
Matemáticamente viene dada por\[\oint_S\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{A}=0,\].
Así pues, vemos que el campo magnético y el flujo magnético son, de hecho, propiedades distintas que pueden decirnos cosas muy diferentes sobre la intensidad de un campo magnético.
Cambio en el flujo magnético
Ya sabemos qué es el flujo magnético y cómo podemos calcularlo, pero ¿por qué es exactamente el flujo magnético una magnitud tan importante en física? La respuesta está en el fenómeno de la inducción electromagnética.
La inducciónelectromagnética se refiere al proceso de creación de fuerzas electromotrices (FEM), que pueden producir corrientes, al mover un campo magnético alrededor de un conductor eléctrico o al mover un conductor eléctrico a través de un campo magnético fijo.
La inducción electromagnética fue descubierta y analizada por primera vez por Michael Faraday en sus experimentos sobre electromagnetismo en la década de 1830. El gran descubrimiento de Faraday fue que cuando dos bobinas de alambre se enrollaban a ambos lados de una barra de hierro, al pasar una corriente por una bobina se inducía momentáneamente una corriente en la otra bobina.
A partir de estos experimentos, Faraday postuló su ley de la inducción electromagnética.
Así pues, vemos que es un flujo magnético cambiante el que determina directamente la magnitud del CEM inducido. Así, en el caso de las bobinas y la barra de hierro, cuando se conecta la corriente por primera vez, el cambio en el CEM induce un campo magnético en la barra de hierro. Este cambio repentino del flujo en la barra magnética induce un EMF y una corriente a través de la otra bobina .
Matemáticamente, esta afirmación es una de las ecuaciones de Maxwell, las leyes fundamentales del electromagnetismo clásico. En primer lugar, observa que la FEM \(\mathcal{E}\) alrededor de una espira cerrada puede darse como integral lineal cerrada del campo eléctrico:\[\mathcal{E}=\oint_{partial S}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}\].
\(\partial S\) denota el borde de una superficie \(S\), de modo que, por ejemplo, si \(S\) es un círculo \(\delta S\) es un bucle cerrado.
Una integral de línea es similar a una integral de superficie, en el sentido de que integramos sobre el campo eléctrico en cada segmento infinitesimal de la línea. La diferencia es que aquí nos interesan las componentes del campo paralelas a lo largo de la línea, en lugar de las perpendiculares como en la integral de superficie. Además, sólo tenemos que integrar sobre una dimensión. La fórmula de la Ley de Faraday es entonces\[\begin{align}\mathcal{E}&=-\frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}\\implica \oint_{partial S}\vec{E}\cdot{\mathrm{d}\vec{l}&&=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_S\vec{B}\left(\vec{r}\right)\cdot\mathrm{d}\vec{A} xml-ph-0000@deepl.internal \end{align}\]
Es importante recordar que, como la ley de Faraday se refiere a un flujo magnético cambiante , hay dos formas posibles de inducir un EMF en una bobina. La primera es, obviamente, utilizar una fuente de campo magnético variable y cambiar la intensidad o dirección del campo. La segunda es cambiar la cantidad de superficie expuesta a un campo magnético fijo. Este segundo método suele ser mucho más sencillo para inducir CEM. Por ejemplo, en los aerogeneradores, un imán, sujeto entre bobinas de alambre, es girado por las aspas giratorias. Como la cantidad de bobina expuesta al campo cambia constantemente al girar el imán, también se produce un flujo cambiante y, por tanto, un CEM.
Problemas de flujo magnético
Veamos algunos ejemplos de problemas relacionados con el flujo magnético.
P: Considera el campo magnético producido por un trozo largo de alambre conductor de corriente dado por \(\vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi r}\vec{\theta}\) donde \(\mu_0=4\pi\veces10^{-7}\,\mathrm{N},\mathrm{A}^{-2}\) es la permeabilidad del espacio libre y \(r\) es la distancia radial desde el alambre. El vector unitario \(\vec{\theta}\) describe el hecho de que el campo magnético se curva alrededor del alambre.
A: Da una expresión para el flujo que atraviesa una superficie circular de radio \(R\) situada en el plano del alambre, de modo que las líneas del campo magnético sean perpendiculares a la superficie.
Empecemos con la fórmula integral del flujo magnético \[\Phi_B=\int_S\vec{B}\left(\vec{r}\right)\cdot\mathrm{d}\vec{A}.\}
La superficie diferencial viene dada por\[\mathrm{d}\vec{A}=r\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\vec{\theta}].
Introduciendo esto en la ecuación del campo magnético dada en la pregunta, obtenemos:\[\begin{align} xml-ph-0000@deepl.internal \Phi_B&=\int_S\vec{B}\left(\vec{r}\right)\cdot\mathrm{d}\vec{A}\\ xml-ph-0001@deepl.internal &=\int_0^R\mathrm{d}r\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\left(\frac{\mu_0I}{2\pi r}\right)\vec{\theta}\cdot r\vec{\theta} xml-ph-0000@deepl.internal \end{align}\]
Los vectores son claramente paralelos, por lo que su producto punto es \(1\). Como el campo magnético no depende de \(\theta\), podemos integrar sobre \(\theta\) inmediatamente para obtener \(2\pi\).\[\begin{align}\Phi_B&=2\pi\int_0^Rr\mathrm{d}r\left(\frac{\mu_0I}{2\pi r}\right)\\&=2\piint_0^R\mathrm{d}r\left(\frac{\mu_0I}{2\pi}\right)\frac{\mu_0I}{2\pi}\right)\frac{\mu_0I}{2\pi}\right)\frac{\mu_0I}{2\pi}\right)\frac{\mu_0I}[&=R\mu_0I\final{align}].
Así vemos que la cantidad de flujo que atraviesa la superficie circular depende sólo de la corriente y del radio de la superficie.
P: Consideremos un campo magnético dependiente del tiempo definido por la función \(\vec{B}(t)=B\sin\left(2\pi t\right)\vec{z}\). Si una espira circular de radio \(r=0,1\,\mathrm{m}) se coloca en el campo de modo que su vector radial \(\vec{r}\) forme un ángulo de \(\theta=45^{circ}\,\mathrm{deg}) con la dirección del campo magnético \(\vec{z}\). ¿Cuál será el valor del EMF inducido \(\mathcal{E}\)?
R: La ley de Faraday nos dice que el CEM inducido por un campo magnético oscilante es proporcional a la velocidad de cambio del flujo magnético.
\[\mathcal{E}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{S}\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{A}\]
Encontremos primero una expresión para el flujo magnético.
\[\begin{align}\Phi_B&=int_{S}\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{A}\&=\int_SB\sin\izquierda(2\pi t\derecha)\vec{z}\cdot\vec{A}\end{align}\]A partir de la definición del producto punto y del ángulo dado en la pregunta sabemos sabemos\[\vec{z}\cdot\mathrm{d}\vec{A}=\cosquierda(45\derecha)\mathrm{d}A=\frac{sqrt{2}}{2}]Observa que el campo magnético es espacialmente independiente, por lo que podemos tomarlo fuera del integrando. \[\Phi_B=\frac{2}{2}B\sin\left(2\pi t\right)\int_{S}\mathrm{d}\vec{A}]El integrando ahora sólo da la superficie encerrada por la espira circular, que es \(\pi r^2=\frac{\pi}{100}\).\[\Phi_B=\frac{sqrt{2}\pi}{200}B\sin\left(2\pi t\right)\]Para hallar el EMF, tenemos que tomar la derivada con respecto al tiempo \[\mathcal{E}=\frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}=\frac{\sqrt{2}\pi^2}{100}B\cos\left(2\pi t\right)\}.
Podemos considerar un ejemplo más para reforzar nuestra comprensión.
P: Consideremos un solenoide que produce un campo magnético fijo \(B=10\,\mathrm{T}\). Si una espira de alambre de radio \(R=0,5\,\mathrm{mm}) se gira de modo que el ángulo entre el vector normal y el campo magnético viene dado por \(\theta=2\pi t\). Determina una expresión para el EMF inducido en la espira, y halla el valor del EMF después de \(0,5\,\mathrm{s}\)
R: Como el campo magnético es fijo, podemos utilizar la ecuación de campo fijo para el flujo magnético.
\[\Phi_B=|B|A\cos(\theta)\]
La superficie \(A\) viene dada por \(\pi R^2=\frac{\pi}{4}\,\mathrm{mm}^2\2)
Vemos, pues, que el flujo magnético dependiente del tiempo viene dado por\[\Phi_B(t)=|B|A\cos(2\pi t)\].
La Ley de Faraday nos dice entonces que el EMF inducido en la espira viene dado por\mathcal{E}&=-\frac{\mathrm{d}\Phi_B(t)}{\mathrm{d}t}\&=|B|A2\pi\sin(2\pi t)\&=10,\mathrm{T}\cdot\frac{\pi}{4},\mathrm{mm}^2\cdot2\pi\cdot\sin(2\pi t)\&=5\pi^2\sin(2\pi t )|,\mathrm{Wb}[fin].
Por tanto, en \(t=0,5,\mathrm{s}) \(\mathcal{E}=0,\mathrm{V}.\)
Flujo magnético - Puntos clave
- El flujomagnético se define como la cantidad de campo magnético que fluye a través de una superficie determinada. Puede considerarse igual al número de líneas de campo magn ético que atraviesan una superficie.
- Para un campo magnético fijo, el flujo se define como \(\Phi_B=\vec{B}\cdot\vec{A},\), donde el vector de área \(\vec{A}=A\vec{n}\) está dirigido perpendicularmente a la superficie.
- Para un campo magnético variable utilizamos el cálculo para definir el flujo\[\Phi_B=\int_S\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{A}.\].
- La Ley de Faraday establece que la magnitud de un EMF inducido en un bucle cerrado de alambre es proporcional a la velocidad de cambio del flujo magnético a través de la superficie encerrada por el alambre.\[\mathcal{E}=-\frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}.\]
Referencias
- Fig. 1 - Diagrama de la línea de flujo, StudySmarter Originals.
- Fig. 2 - Diagrama del anillo de hierro y las bobinas, StudySmarter Originals.
- Fig. 3 - Diagrama de la turbina, StudySmarter Originals.
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