Inductancia

Definición de inductancia

En 1830, según los resultados de los experimentos realizados por Michael Faraday y Joseph Henry, se indujeron corrientes eléctricas en una bobina debido a un cambio en los campos magnéticos que la rodeaban. Enotras palabras, se induce una corriente eléctrica en las bobinas debido a un cambio en el flujo magnético (número de líneas de campo magnético que pasan por una zona) vinculado a la misma bobina.

Faraday proporcionó dos leyes de la inducción electromagnética basadas en sus resultados experimentales.

1. Primera ley - Se induce una f.e.m. siempre que cambia el campo magnético ligado a la bobina. Esta f.e.m. dura mientras haya un campo magnético cambiante.

2. Segunda ley - La magnitud de la f.e.m. inducida en la bobina es directamente proporcional a la velocidad de cambio del flujo magnético ligado a la bobina.

   \[E_i\propto\frac{\phi_2-\phi_1}{t}]donde \(\phi_1\) y \(\phi_2\) son el flujo magnético inicial y final que atraviesa el conductor.\[E_i=k\frac{\phi_2-\phi_1}{t}}] donde \(k\) es la constante de proporcionalidad, y su valor es 1 para todos los sistemas de unidades.Así pues, la magnitud de una f.e.m. inducida es \(E_i=\frac{\phi_2-\phi_1|}{t}\).

La dirección de esta f.e.m. inducida viene dada por la ley de Lenz. Según la ley de Lenz, la dirección de la f.e.m. inducida es tal que se opone a la causa de su producción, es decir, a un cambio en el flujo magnético.

\[E_i=-\frac{\phi_2-\phi_1}{t}\]

o

\[E_i=-\frac{d\phi}{dt}\tag{1}\]

Aquí el signo negativo indica que una f.e.m. inducida se opone al cambio de flujo magnético. La dirección de la f.e.m. inducida determinará entonces la dirección en la que fluirá la corriente inducida.

Fig. 2 - La figura muestra una bobina colocada perpendicularmente al plano que contiene el imán.

En el diagrama anterior, el flujo magnético que atraviesa la bobina cambia debido al movimiento de un imán hacia la bobina, que induce una corriente eléctrica.

La corriente eléctrica inducida va en sentido contrario a las agujas del reloj. Debido a esta corriente eléctrica, la bobina empieza a comportarse como un imán. Según la Regla de la Mano Derecha, el polo norte de la bobina se enfrenta al polo norte de la barra magnética que se aproxima, como se muestra en la figura 2. Esto daría lugar a una fuerza repulsiva que se opone al movimiento de la barra magnética hacia la bobina.

Esta característica de inductancia de una bobina se utiliza en nuestras casas a través de los inductores para proteger nuestros aparatos eléctricos del aumento o disminución bruscos de una corriente eléctrica. En la siguiente parte, aprenderemos sobre estos inductores y cómo varía su inductancia con la corriente eléctrica.

Fórmula de la inductancia

Imagina que una bobina está conectada a un circuito eléctrico. El cambio de una corriente eléctrica a través del circuito induce una f.e.m./corriente eléctrica en la bobina. Esta corriente eléctrica se debe al cambio del flujo magnético que atraviesa la bobina. La dirección de la corriente inducida se opone al cambio de corriente eléctrica a través del circuito.

Un inductor suele consistir en una bobina de material conductor enrollada alrededor de un núcleo de material ferromagnético. El núcleo de un inductor proporciona un medio para concentrar y fijar el límite máximo del flujo magnético que atraviesa la bobina.

Este flujo magnético \(\left(\phi\right)\) es directamente proporcional a la corriente eléctrica que circula por la bobina.

\[\phi\propto I\] o \[\phi=LI\tag{2}\] donde \(L\) es una constante de proporcionalidad que se denomina coeficiente de autoinductancia o autoinductancia de una bobina.

Cuando \(I=1,\mathrm{ampere}\), entonces la ecuación (2) se convierte en \(L=\phi\).

Unidad de inductancia

A partir de las ecuaciones (1) y (2),

\[\begin{align*}E_i&=-\frac{d}{dt}(LI\right)\ izquierda(LI\derecha)\E_i&=-L\frac{dI}{dt}\L&=-\frac{E_i}{\frac{dI}{dt}}tag{3}\end{align*}]

La unidad SI de \(L\) es el henry. De la ecuación (3)

\[1\,\mathrm{henry}=\frac{1\,\mathrm{volt}}{1\,\mathrm{ampere\,per\,sec}}\]

El coeficiente de autoinductancia \(\izquierda(L\derecha)\) depende de las propiedades físicas de la bobina.

• El número de espiras de la bobina,
• El área de la sección transversal de la bobina,
• El material del núcleo sobre el que se enrolla la bobina.

En el siguiente apartado conoceremos la autoinductancia de un solenoide largo y cómo varía con sus propiedades físicas.

Ecuación de la inductancia

Cuando una bobina se enrolla formando una hélice apretada, se comporta como un solenoide. En el caso de un solenoide largo, la longitud del solenoide es grande en comparación con el radio de su sección transversal.

Imagina que una corriente eléctrica \(I\) atraviesa el solenoide de longitud \(l\) y con un número de espiras \(N\). El campo magnético \(B\) en cualquier punto del interior del solenoide es

\[B=\frac{\mu_0NI}{l}\tag{4}\]

donde \(\mu_0\) es la permeabilidad magnética absoluta del espacio libre/vacío.

Sea \(A\) el área de la sección transversal del solenoide. Entonces, el flujo magnético que pasa por cada vuelta del solenoide en función del campo magnético y el área es \(\phi=B\cdot A\) o \(\phi=BA\cos(\theta)\) donde \(\theta) es el ángulo entre las líneas del campo magnético y el vector del área de un solenoide.

Medición de la inductancia

Supongamos que el solenoide está colocado perpendicularmente a la dirección de las líneas de campo magnético, de modo que el ángulo entre el vector área y las líneas de campo magnético es \(0^\circ.\) Por lo tanto

\[\phi=BA.\\]

Utilizando el valor de la ecuación (4), la ecuación anterior se convierte en

\[\phi=\frac{\mu_0NI}{l}A\]

El flujo magnético total que atraviesa el solenoide con \(N\) número de espiras es

\[\begin{align*}\phi&=\frac{\mu_0NIA}{l}vueltas N\\\phi&=\frac{\mu_0N^2IA}{l}tag{5}\end{align*}]

A partir de las ecuaciones (2) y (5),

\[\begin{align*}LI&=\frac{\mu_0N^2IA}{l}\L&=\frac{\mu_0N^2A}{l}\end{align*}\]

Esta ecuación muestra la dependencia de la inductancia de un solenoide de sus propiedades físicas. De la ecuación se deduce que la inductancia de un solenoide es

1. directamente proporcional al cuadrado del número de espiras

2. directamente proporcional al área de la sección transversal

3. inversamente proporcional a la longitud del solenoide

En estas dos últimas partes, hemos analizado cómo la f.e.m. inducida depende de diversos parámetros físicos y cómo se opone al flujo de corriente eléctrica a través del circuito. Esto muestra el parecido de la autoinductancia con la inercia correspondiente a la masa de un objeto en mecánica. La cantidad de trabajo realizado por las cargas eléctricas que fluyen por la bobina contra la f.e.m. inducida opuesta para mantener el flujo de corriente eléctrica se almacena en un inductor como energía potencial magnética. En la siguiente parte, estudiaremos la energía potencial magnética y cómo se relaciona con la autoinductancia de un inductor.

Energía potencial magnética e inductancia

Cuando una corriente alterna circula por un inductor, la corriente aumenta desde 0 hasta cierto valor máximo, digamos \(I_0\). Sea \(I\) el valor de la corriente que pasa por un inductor en el tiempo \(t\). Debido al cambio en la corriente eléctrica, se induce una f.e.m. en el inductor. La magnitud de esta f.e.m. inducida en función de la inductancia \(L\) es,

\[E_i=L\frac{dI}{dt}\tag{6}\]

Esta f.e.m. también se conoce como f.e.m. de retroceso, ya que se opone al flujo de una corriente eléctrica a través del circuito. Durante el flujo de una corriente alterna a través del inductor, la cantidad de corriente aumenta o disminuye a un ritmo constante. Entonces, el trabajo realizado por la carga eléctrica mientras fluye a través del inductor contra esta f.e.m. inducida es \(W=E_iq\).

Al diferenciar la ecuación anterior manteniendo constante la f.e.m. inducida (debido al valor constante de \(L\) y \(\frac{dI}{dt}\))

\[\frac{dW}{dt}=E_i\frac{dq}{dt}\]

donde \(\frac{dq}{dt}\) es una corriente eléctrica que fluye por el inductor.

\[\therefore\quad \frac{dW}{dt}=E_iI\tag{7}\]

De la ecuación (6) y (7)

\[\begin{align*}\frac{dW}{dt}&=L\frac{dI}{dt}I\\\end{align*}\] Si ignoramos las pérdidas resistivas, entonces la cantidad total de trabajo realizado por la carga eléctrica para mantener una corriente eléctrica \(I\) a través del inductor es

\[\begin{align*}\int dW&=\int_0^I LIdI\\W&=L\int_0^I IdI\W&=L\frac{I^2}{2}\W&=\frac{1}{2}LI^2\tag{8}\end{align*}\]Este trabajo realizado por la carga eléctrica se almacena en el inductor en forma de energía potencial magnética, es decires decir, \(U_{L}=\frac{1}{2}LI^2\).

En mecánica, la energía cinética de una partícula de masa \(\izquierda(m\derecha)\) que se mueve con velocidad \(\izquierda(v\derecha)\) es \(K=\frac{1}{2}mv^2\tag{9}\).

Comparando las ecuaciones (8) y (9), descubrimos que, al igual que la masa es la medida de la inercia en mecánica, la inductancia es análogamente la medida de la "inercia" en electrónica.