El modelo de gas ideal

Significado del modelo del gas ideal

El modelo del gas ideal nos permite comprender el comportamiento de los gases. Aunque ningún gas es ideal en el mundo real, simplificando el concepto se obtienen buenas aproximaciones al comportamiento de los gases reales en la mayoría de las condiciones. A partir del estudio del comportamiento de los gases, se hicieron ciertas generalizaciones. Estas generalizaciones se denominan leyes de los gases. Estas leyes de los gases dan relaciones cuantitativas entre dos variables cualesquiera cuando las otras dos se mantienen constantes. Analicemos en detalle las distintas leyes de los gases.

Supuestos del modelo del gas ideal

Teniendo en cuenta que el modelo del gas ideal se refiere a un sistema hipotético, deben seguirse ciertos supuestos para garantizar la coherencia. Los cuatro supuestos principales son:

• Un gas ideal está formado por numerosas moléculas puntiformes idénticas, muy separadas entre sí, de modo que las fuerzas intermoleculares son despreciables;

• Las moléculas del gas ideal experimentan un movimiento aleatorio y obedecen las leyes del movimiento de Newton;

• Las moléculas de gas ideal sufren colisiones elásticas con las paredes del recipiente en el que se encuentra el gas;

• Las moléculas del gas ideal sólo experimentan colisiones completamente elásticas entre sí.

La primera ley del modelo de los gases ideales

La primera ley del modelo del gas ideal fue definida por el físico angloirlandés Robert Boyle. Boyle estudió la relación entre la presión y el volumen de una masa dada de un gas a temperatura constante. La relación se conoce como Ley de Boyle.

La Segunda Ley del Modelo de Gas Ideal

La segunda ley del modelo de gas ideal es la ley de Charles. Charles estudió el efecto de la temperatura sobre el volumen de los gases a presión constante. Se observó la siguiente generalización sobre la relación entre el volumen y la temperatura del gas, que se conoce como ley de Charles.

Ley de Charles en grados Kelvin

En 1848, un científico británico, Lord Kelvin, propuso una nueva escala de temperatura conocida como escala absoluta de temperatura. Se conoce popularmente como escala de temperatura Kelvin, y comienza en el cero absoluto, \(0^\circ\mathrm{K}\), donde las partículas tienen energía cinética cero. El incremento es el mismo que el de la escala Celsius, por lo que \(1^\circ\mathrm{K}=1^\circ\mathrm{C}.\) La temperatura Kelvin también se denomina escala termodinámica de temperatura y se utiliza en todas las mediciones científicas. Esto ayudó a simplificar la relación entre la temperatura y el volumen gaseoso.

El cero absoluto, o \(0^\circ\mathrm{K} \), equivale a \(-273,15^\circ\mathrm{K} \). Por tanto, para convertir de una temperatura en grados Celsius, \(T_\mathrm{C}\) a grados Kelvin \(T_\mathrm{K}\), podemos utilizar la fórmula:

$$T_K=T_C+273,15$$

La ley de Charles puede expresarse utilizando grados Kelvin. Supongamos que

$$T_0=0^\circ\mathrm{C}=273.15^\circ\mathrm{K}$$

donde \(T_0\) es la temperatura inicial, y por tanto \(V_0\) es el volumen inicial de un gas dado a esta temperatura inicial. Basándonos en la definición de la ley de Charles, si la temperatura aumenta en \(1 \, ^\circ\mathrm{K} \) el volumen aumentará proporcionalmente en:

$$ V_0 \cdot \frac{1}{T_0}$$

Por consiguiente, si la temperatura aumenta en \(t\), el volumen aumentará en

$$ \Delta V = V_0 \cdot \frac{1}{T_0} \cdot t.$$

Digamos que \(V_\mathrm{T}\) es el volumen a cualquier temperatura \(T\), y \(t\) es la diferencia entre la temperatura inicial \(T_0\) y la temperatura final \(T\), de modo que

$$t=T-T_0$$

El volumen final \$(V_\mathrm{T}\$) es la suma del volumen inicial y el aumento de volumen, por lo que obtenemos

$$V_\mathrm{T} = V_0 + \frac{V_0 \cdot t}{T_0} = V_0 \left [ 1+\frac{t}{T_0} \right ] $$

donde el término entre corchetes puede expandirse y expresarse en grados Kelvin

$$ \left [ 1+\frac{t}{T_0} \right ] = \frac{T_0 + t}{T_0}= \frac{T_0 + (T-T_0)}{T_0}= \frac{T}{T_0} $$

Ahora ambos volúmenes y temperaturas pueden combinarse en la siguiente expresión

$$V_\mathrm{T}=\frac{V_0 \, T}{T_0}$$

$$ \frac{V_\mathrm{T}}{V_0} = \frac{T}{T_0}$$

$$\frac{V_\mathrm}{T} = \frac{V_0}{T_0}$$

Por tanto,

$$\frac{V}{T} = \mathrm{constante} = k_2$$

donde \(k_2\) es una constante que depende de la presión y la masa del gas, así como de las unidades de volumen. La expresión anterior puede reescribirse como

$$ V = k_2 \, T $$

$$ V \propio de T $$

y se visualiza en la siguiente figura.

Fig 2 - Un ejemplo práctico de la ley de Charles. A medida que aumenta la temperatura del gas en el recipiente, también aumenta el volumen, lo que demuestra la proporcionalidad directa, Wikimedia Commons

La ley de Charles también puede expresarse como que el volumen de una masa fija de un gas es directamente proporcional a la temperatura absoluta, mientras que la presión permanece constante. La fórmula de trabajo de la ley de Charles es

$$ \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} = \mathrm{constante}. $$

La tercera ley del modelo de gas ideal

La tercera ley del modelo de gas ideal es la ley de Gay-Lussac. Define la relación entre presión y temperatura y fue descubierta por Joseph Gay-Lussac.

Matemáticamente, puede expresarse como

$$p \propto T $$

donde la presión \(p\) es directamente proporcional a la temperatura \(T\). A partir de las condiciones de proporcionalidad, podemos llegar a la conclusión de que

$$ \frac{p}{T} = \mathrm{constante} = k_3 $$

$$ Flecha derecha \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}. $$

La ecuación anterior se ha obtenido combinando la Ley de Boyle y la Ley de Charles.

Cuarta ley del modelo del gas ideal

La cuarta ley del modelo del gas ideal es la ley de Avogadro. Amadeo Avogadro estudió la relación entre el volumen de un gas y el número de moléculas a temperatura y presión constantes. Esto se ha aceptado como ley y se conoce como ley de Avogadro.

Matemáticamente, la ley de Avogadro puede expresarse como sigue, donde \((V)\) representa el volumen y \((n)\) el número de moles.

$$V \propto n. $$

En otras palabras, el volumen es directamente proporcional al número de moles mientras la temperatura y la presión permanecen constantes, lo que implica:

$$V = k_4 \cdot n$$

$$\frac{V_1}{n_1} = \frac{V_2}{n_2} = \mathrm{constante} = k_4.$$

A partir de esta expresión obtenemos la ecuación final

$$ \frac{V_1}{n_1} = \frac{V_2}{n_2} $$

La ley de los gases ideales

Todas las leyes mencionadas anteriormente pueden combinarse en forma de una ley singular. Las propiedades macroscópicas de un gas ideal se relacionan mediante la ley del gas ideal.

Matemáticamente, puede expresarse como sigue

$$ pV = nRT $$

donde el volumen \(V\) de un gas depende del número de moles \(n\), de la presión \(p\) y de la temperatura \(T\). Aquí \(R\) es la constante universal de los gases igual a \(8,314 \, \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol \cdot K}}).

Termodinámica del modelo de gas ideal

La ley de los gases ideales define el comportamiento de los gases ideales en función de su presión, volumen y temperatura. Quizá sepas que la termodinámica es el estudio de la relación entre el calor y otras formas de energía. Uno de los fundadores de la termodinámica, el físico alemán Julius von Mayer, descubrió que el calor añadido a un gas tiene una equivalencia en trabajo mecánico. En otras palabras, se puede definir una relación entre la cantidad de energía transferida a un gas y el correspondiente cambio de temperatura utilizando la capacidad calorífica específica del gas.

Dependiendo de si el gas se mantiene a volumen constante, o si se permite que el recipiente se expanda y el gas permanece a presión constante, la capacidad calorífica específica tiene valores diferentes:

$$C_p=capacidad calorífica específica;\mathrm=capacidad calorífica específica;\mathrm=capacidad calorífica específica;\mathrm=capacidad calorífica específica;\mathrm=capacidad calorífica específica;\mathrm=capacidad calorífica específica;\mathrm=capacidad calorífica específica;\mathrm=capacidad calorífica específica;\mathrm=capacidad calorífica específica;\mathrm=constante;\mathrm=presión específica$$

$$C_v=Especificidad;Calor;Capacidad;Constante;Volumen$$

La cantidad de energía térmica transferida al gas en julios \((\mathrm{J})\) viene dada entonces por \(Q_p\) (a presión constante) o \(Q_v\) (a volumen constante).

$$Q_p=mC_p\Delta T$$

$$Q_v=mC_v\Delta T$$

Donde \(m\) es la masa del gas en \(\mathrm{kg}) y \(\Delta T\) es el cambio de temperatura en \(^\circ \mathrm{K}.\)

La ley de los gases ideales puede utilizarse para representar el cambio de temperatura en términos de cambios de presión o volumen, lo que resulta útil para analizar ciclos termodinámicos como el Ciclo Otto o el Ciclo Diesel.

Las ecuaciones del modelo del gas ideal

El modelo del gas ideal tiene un conjunto de cuatro ecuaciones principales que se utilizan ampliamente para cualquier tipo de cálculos y mediciones. Todas estas ecuaciones juntas constituyen la ley de los gases ideales. Todas estas ecuaciones se derivan y explican más arriba y se recopilan aquí para facilitar su acceso y comprensión.

1. Ley delos gases ideales \(pV=nRT\)
2. Ley de Boyle (Relación presión-volumen): \(p_1 \, V_1 = p_2 \, V_2 \)
3. Leyde Charles (relación volumen-temperatura): \(\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}\)
4. Ley de Gay Lussac (Relación presión-temperatura): \(\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}\)
5. Ley de Avogadro (Relación volumen-cantidad): \(\frac{V_1}{n_1} = \frac{V_2}{n_2}\)

Fig 3 - Todas las relaciones del modelo de gas ideal están interrelacionadas, ya que todas describen el comportamiento de los gases en función de parámetros variables.