Choques

¿Qué es un choque?

Empecemos por especificar a qué llamamos colisión, o choque, en física.

Por ejemplo:

Las matemáticas que hay detrás de las colisiones pueden ser muy importantes en la vida cotidiana. Se pueden utilizar ecuaciones sencillas, que tienen que ver con el momento de los objetos, para calcular la fuerza ejercida sobre un objeto en una colisión.

Impulso

El impulso de un objeto no cambia a menos que actúe sobre él una fuerza neta. Cuando una fuerza actúa sobre el objeto, el momento del objeto cambia, lo que se denomina impulso.

El impulso \(\vec{J}\) se define mediante la ecuación:

\[\vec{J}=\Delta p=\vec{p}_f-\vec{p}_i\]

En la que \(\vec{p}_f\) es el momento final y \(\vec{p}_i\) es el momento inicial.

Es importante tener en cuenta que la ecuación anterior puede no ser muy útil, si no conocemos los momentos inicial y final. Pero, ¿si sólo conocemos la fuerza que actúa sobre un objeto durante una colisión? Para tratar estos casos, podemos derivar una ecuación para el impulso, en función de la fuerza externa aplicada.

Recordamos la segunda ley de Newton:

\[\vec{F}=m\cdot\vec{a}.\]

Puesto que la aceleración se define como el cambio de velocidad dividido por el tiempo que tarda en cambiar dicha velocidad, puede escribirse como:

\[\vec{a}=\dfrac{\vec{v}_f-\vec{v}_i}{t_f-t_i},\]

Donde los subíndices \(f\) e \(i\) indican las velocidades y tiempos final e inicial, respectivamente.

Podemos sustituir esta expresión, en la segunda ley de Newton, para obtener:

\[\vec{F}=m\dfrac{\vec{v}_f-\vec{v}_i}{t_f-t_i}.\]

Pero, la definición de momento es:

\[\vec{p}=m\cdot\vec{v}.\]

Entonces, podemos definir la fuerza como:

\[\vec{F}=\dfrac{\vec{p}_f-\vec{p}_i}{t_f-t_i}.\]

También, podemos escribir la ecuación de forma más compacta, utilizando la letra griega delta \((\Delta)\) para representar el cambio en una variable. Veamos cómo funciona:

\[\begin{align} \Delta \vec{p}=\vec{p}_f-\vec{p}_i \\ \Delta t=t_f-t_i \end{align}\]

Utilizando esta notación, la ecuación de la fuerza pasa a ser:

\[\vec{F}=\dfrac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}.\]

¡Esta es otra forma de escribir la segunda ley de Newton!

Y, como sabemos que el cambio de momento es igual al impulso, podemos reescribir la ecuación como:

\[\vec{F}=\vec{J}/\Delta t ,\]

que puede reordenarse para aislar el impulso:

\[\vec{J}=\vec{F}\Delta t\]

Ahora tenemos una ecuación para calcular el impulso si conocemos la fuerza externa aplicada y el periodo de tiempo durante el que actuó. Además, si la fuerza varía linealmente con el tiempo, entonces podemos utilizar la media de las fuerzas inicial y final durante un periodo de tiempo para hallar el impulso:

\[\vec{J}=\vec{F}_{m}\Delta t ,\]

Donde \(\vec{F}_{m}\) es la fuerza media durante el periodo de tiempo.

La unidad del impulso es \(\mathrm{N\cdot s}\), ya que corresponde a la unidad de fuerza multiplicada por la unidad de tiempo.

Fig. 1: El impulso debido a una fuerza puede hallarse a partir del área bajo una gráfica fuerza-tiempo.

Conservación del momento

Cuando se produce una colisión (por ejemplo) entre dos partículas, ambas ejercen fuerzas iguales y opuestas entre sí. Por ello, cada partícula provoca un impulso sobre la otra. Esto significa que no existe una fuerza neta que actúe sobre las dos partículas como sistema.

Según la tercera ley de Newton, las dos partículas ejercen fuerzas iguales y opuestas entre sí cuando chocan; de modo que:

\[\vec{F}_1=\vec{F}_2 ,\]

donde \(\vec{F}_1\) es la fuerza debida a la primera partícula sobre la otra y \(\vec{F}_2\) es la fuerza debida a la segunda partícula sobre la primera.

El tiempo que dura la colisión, digamos \(\Delta t\), es el mismo para ambas partículas; por lo que podemos multiplicar ambos lados por él para obtener:

\[\vec{F}_1\Delta t=\vec{F}_2\Delta t ,\]

¡Pero, puede que reconozcas la forma de esta ecuación! Dice que el impulso de la partícula uno es igual al impulso de la partícula dos, y dirigido en sentido contrario:

\[\vec{J}_1=-\vec{J}_2\]

El impulso sobre una partícula en una colisión es igual a la diferencia entre su momento final y su momento inicial: \(\vec{J}=\vec{p}_f-\vec{p}_i\)

Por lo que la ecuación anterior se convierte en:

\[m_1\vec{v}_1+m_1\vec{u}_1=-(m_2\vec{v}_2-m_2\vec{u}_2)=m_2\vec{u}_2-m_2\vec{v}_2\]

Que, a su vez, puede reordenarse en:

\[m_1\vec{u}_1+m_2\vec{u}_2=m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2\]

El lado izquierdo de esta ecuación es el momento inicial total de las dos partículas y el lado derecho es el momento final total. Esto significa que el momento se conserva, lo que se conoce como la ley de la conservación del momento, que hemos definido anteriormente.

Esta ley únicamente se aplica si el sistema está cerrado.

Tipos de choques

La energía cinética no siempre se conserva en las colisiones, a diferencia del momento lineal. Por tanto, en función de si esta se conserva o no, distinguimos diferentes tipos de choques.

Colisiones elásticas

Si la energía cinética total de un sistema antes y después de una colisión no varía \(E_{c1}=E_{c2}\), se trata de una colisión elástica.

Colisiones inelásticas

En las colisiones que se producen en condiciones cotidianas, como el choque de dos coches, la energía cinética no se conserva \(E_{c1}\neq E_{c2}\). Esto se debe a que parte de la energía cinética inicial siempre se convierte en otras formas de energía, como energía térmica y energía acústica. Por tanto, la energía cinética total disminuye; estas colisiones se denominan colisiones inelásticas. Las colisiones de la vida real, a veces, pueden aproximarse como elásticas si se pierde muy poca energía cinética.

La mayor pérdida de energía cinética en una colisión se produce cuando las partículas permanecen juntas después.

Ejercicio de colisiones elásticas e inelásticas

Veamos un ejercicio de un choque entre dos bolas de billar, en el que se produce una colisión inelástica. En este caso, no necesitaremos aplicar que la energía cinética no se conserva, ya que tenemos datos suficientes para resolver el problema con la ley de la conservación del momento.