Cinemática

Definición de la cinemática

En nuestro día a día observamos cientos de comportamientos que podríamos describir con la cinemática: desde cuando salimos caminando a ritmo constante para ir a comprar, hasta un coche que circula a cierta velocidad o una noria girando.

Fundamentos de la cinemática

El estudio de la cinemática está asociado a las siguientes variables:

• Desplazamiento

• Velocidad

• Aceleración

• Tiempo

Como resultado, la relación entre estas variables se describe a través de cinco ecuaciones cinemáticas de movimiento. Estas ecuaciones pueden ser escritas en términos de movimiento lineal y angular.

Tipos de movimiento

Cinemática lineal

Variables del movimiento lineal

Desplazamiento \(\Delta x\)

\[\Delta x=v\cdot t\]

Donde el desplazamiento se mide en metros \(\mathrm{m}\) .

Velocidad \(v\)

\[v=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}\]

Donde la velocidad se mide en metros por segundo \(\mathrm{m/s}\).

Aceleración \(a\)

\[a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}\]

Donde la aceleración se mide en metros por segundo al cuadrado \(\mathrm{m/s^2}\).

Tiempo \(t\)

\[tiempo=t\]

Donde el tiempo se mide en segundos \(\mathrm{s}\).

Ecuaciones cinemáticas del movimiento lineal

Vamos a presentar las ecuaciones cinemáticas del movimiento lineal y para qué las podemos utilizar:

Ecuación para calcular el desplazamiento con la velocidad y el tiempo:

\[\Delta x=vt\]

Ecuación para calcular la velocidad, a partir de la velocidad inicial y la aceleración:

\[v=v_0+at\]

Ecuación del desplazamiento con velocidad inicial, final y el tiempo:

\[\Delta x=\dfrac{v+v_0}{2}t\]

Ecuación del desplazamiento independiente de la velocidad final:

\[\Delta x=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2\]

Ecuación de la velocidad independiente del tiempo:

\[v^2=v_0^2+2a\Delta x\]

En estas ecuaciones:

• \(v\) es la velocidad final
• \(v_0\) es la velocidad inicial
• \(a\) es la aceleración
• \(t\) es el tiempo
• \(\Delta x\) es el desplazamiento.

Es importante que conozcas todas estas ecuaciones, porque te pueden ser útiles para resolver problemas donde el enunciado no te da todos los datos. Entonces, en función de las variables que te digan, puedes escoger la ecuación más conveniente.

Cinemática angular

Variables del movimiento circular

Desplazamiento angular \(\theta\)

\[\theta=\omega t\]

Donde el desplazamiento angular se mide en radianes \(\mathrm{rad}\).

Velocidad angular \(\omega\)

\[\omega=\dfrac{\theta}{t}\]

Donde la velocidad angular se mide en radianes por segundo \(\mathrm{rad/s}\).

Aceleración angular \(\alpha\)

\[\alpha=\dfrac{\omega}{t}\]

Donde la aceleración angular se mide en radianes por segundo al cuadrado \(\mathrm{rad/s}\).

Tiempo \(t\)

\[tiempo=t\]

Donde el tiempo se mide en segundos \(\mathrm{s}\).

Ecuaciones cinemáticas del movimiento circular

Vamos a presentar las ecuaciones cinemáticas del movimiento lineal y para qué las podemos utilizar:

Ecuación para calcular el desplazamiento angular con la velocidad angular y el tiempo:

\[\Delta \theta=\omega t\]

Ecuación para calcular la velocidad angular, a partir de la velocidad angular inicial y la aceleración angular:

\[\omega=\omega_0+\alpha t\]

Ecuación del desplazamiento angular con velocidad angular inicial, final y el tiempo:

\[\Delta \theta=\dfrac{\omega+\omega_0}{2}t\]

Ecuación del desplazamiento angular independiente de la velocidad angular final:

\[\Delta \theta=\omega_o t+\dfrac{1}{2}\alpha t^2\]

Ecuación de la velocidad angular independiente del tiempo:

\[\omega^2=\omega_0^2+2\alpha\Delta \theta\]

En estas ecuaciones:

• \(\omega\) es la velocidad angular final
• \(\omega_0\) es la velocidad angular inicial
• \(\alpha\) es la aceleración angular
• \(t\) el tiempo
• \(\Delta \theta\) el desplazamiento angular.

Como pasa en el caso lineal, es importante que conozcas todas estas ecuaciones, porque te pueden ser útiles para resolver problemas donde el enunciado no te da todos los datos.

Derivaciones de las ecuaciones cinemáticas

Para entender mejor estas ecuaciones, derivemos cada una de ellas y echemos un vistazo en más detalle a cómo surgieron.

Ecuación 2

\[v=v_0+at\]

Para derivar esta ecuación, podemos simplemente usar la definición de aceleración y reordenarla:

\[\begin{align}a&=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=\dfrac{v-v_0}{\Delta t} \\a\Delta t&=v-v_0\\v&=v_0+a\Delta t\end{align}\]

Ecuación 3

\[\Delta x=\dfrac{v+v_0}{2}t\]

Para derivar esta ecuación, debemos utilizar una gráfica de velocidad-tiempo:

Fig. 1: Gráfica velocidad-tiempo con una aceleración constante.

A partir de esta gráfica, sabemos que el área total bajo la línea representa el desplazamiento. Por lo tanto, podemos dividir esta área total en dos formas distintas: un triángulo y un rectángulo. De esta manera, se calcula el área de cada forma.

• En el caso de un rectángulo, sabemos que el área viene dada por la fórmula \(Area=base\cdot altura=b\cdot h\). Utilizando esta fórmula, podemos calcular el área del rectángulo, que será \(A=v_o\cdot t\).
• En el caso de un triángulo, sabemos que el área viene dada por la fórmula \(Area=\dfrac{1}{2}base\cdot altura=\dfrac{1}{2}b\cdot h\). Utilizando esta fórmula, podemos calcular que el área del triángulo es \(A=\dfrac{1}{2}t(v-v_0)\).

Posteriormente, sumando estas dos fórmulas y haciéndolas equivalentes al desplazamiento, se obtiene la segunda ecuación cinemática:

\[\begin{align}\Delta x &= v_0 t + \dfrac{1}{2}t(v-v_0) \\\Delta x &= v_0 t+\dfrac{1}{2}vt-\dfrac{1}{2}v_0t \\\Delta x &= \dfrac{1}{2}vt+\dfrac{1}{2}v_0t \\\Delta x &= \dfrac{v-v_0}{2}t \end{align} \]

Ecuación 4

Para derivar esta ecuación, podemos insertar la ecuación 2 en la ecuación 3 y resolver \(\Delta x\), de la siguiente manera:

\[\begin{align}\Delta x&=\dfrac{v-v_0}{2}t \\\dfrac{\Delta x}{t}&=\dfrac{v-v_0}{t} \\\dfrac{\Delta x}{t}&=\dfrac{(v_0+at)+v_0}{2} \\\dfrac{\Delta x}{t}&=\dfrac{2v_0+at}{2} \\\dfrac{\Delta x}{t}&=v_0+\dfrac{at}{2} \\\Delta x&=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2\end{align}\]

Ecuación 5

\[v^2=v_0^2+2a\Delta x\]

Para derivar esta ecuación, debemos utilizar la ecuación 2 y resolver para el tiempo. Una vez hecho esto, podemos insertar nuestra ecuación para el tiempo en la ecuación 3 y resolver para \(v^2\)

\[\begin{align}v&=v_0+at \\v-v_0&=at \\\dfrac{v-v_0}{a} &= t \end{align}\]

Y ahora:

\[\begin{align}\Delta x&=\dfrac{v+v_0}{2}t \\\Delta x&=\left(\dfrac{v+v_0}{2}\right)\left(\dfrac{v-v_0}{a}\right) \\\Delta x&=\dfrac{v^2-v_0^2}{2a} \\\Delta x2a &= v^2-v_0^2 \\v^2&=v_0^2+2a\Delta x \end{align}\]

¿Cuál es la relación entre la cinemática angular y la cinemática lineal?

Resulta evidente que hay una relación entre la cinemática lineal y la angular; pero, ¿cómo es esta relación exactamente? Podemos observar estas equivalencias y relaciones entre variables en la siguiente tabla.

Tabla 1: Equivalencias y relaciones entre variables.

Como resultado de esta relación, las ecuaciones cinemáticas pueden escribirse en términos de movimientos lineales y angulares. Sin embargo, es importante entender que, aunque las ecuaciones están escritas en términos de diferentes variables, tienen la misma forma. Esto ocurre porque el movimiento circular es la contraparte equivalente del movimiento lineal.

Sistemas de referencia

Ahora, ya conocemos las ecuaciones para la cinemática tanto lineal y angular. Pero, ¿te has preguntado cómo podemos poner esto en práctica?

Un ejemplo muy sencillo de cómo pueden variar las magnitudes físicas en función del sistema de referencia es el signo de la velocidad:

En función de si en nuestro sistema de coordenadas las leyes de movimiento cumplen las leyes de Newton o no, distinguimos entre sistema de referencia inercial y no inercial. A continuación, hablaremos del sistema de referencia inercial, ya que es el que más común y el que más se adecúa a nuestros intereses.

Sistema de referencia inercial

Imaginemos ahora dos sistemas: uno que está en reposo y otro que se mueve a velocidad constante. En una situación real, esto podría ser una persona esperando en un semáforo o un coche que no está acelerando, sino que mantiene una velocidad constante. Como te resultará evidente, las velocidades, desplazamientos y aceleraciones que observará cada uno de ellos serán distintas. La razón es que uno está en reposo y el otro se está moviendo a cierta velocidad; por tanto, tenemos que tener en cuenta la contribución de esta velocidad para hacer los cálculos. Sin embargo, en ninguno de los dos casos necesitaremos una fuerza exterior para de entender el movimiento del otro. Esto hace que ambos sistemas de referencia sean inerciales.

Ejemplos de cómo resolver problemas cinemáticos

Para resolver una gran variedad problemas cinemáticos, se pueden utilizar las cinco ecuaciones cinemáticas que hemos visto.

Ya que hemos definido la cinemática y discutido su relación con el movimiento lineal y circular, trabajemos en algunos ejercicios prácticos para comprender mejor.