Conservación del momento

Ley de conservación del momento

Empecemos por repasar qué es el momento.

Matemáticamente, podemos calcular el momento con la siguiente fórmula

\[p=mv\]

donde \(p\) es el momento en kilogramos metros por segundo \(\dfrac{mathrm{kg}}{mathrm{m}\cdot \mathrm{s}\bigg)\), \(m\) es la masa en kilogramos (\(\mathrm{kg}\)) y \(v\) es la velocidad en metros por segundo \(\bigg(\dfrac{m}{s}\bigg)\).

Es importante señalar que el momento es una cantidad vectorial porque es el producto de una cantidad vectorial -la velocidad- y una cantidad escalar -la masa-. La dirección del vector momento es la misma que la de la velocidad del objeto. Al calcular el momento, elegimos su signo algebraico en función de su dirección.

Al igual que la ley de conservación de la materia en química y la ley de conservación de la energía en física, existe una ley de conservación del momento.

Como ya hemos dicho, para mantener constante el momento de nuestro sistema, necesitamos algunas condiciones especiales. Observa que la Ley de Conservación del Momento aclara que sólo es válida para sistemas cerrados. Pero, ¿qué significa eso?

Condiciones para la conservación del momento

Para comprender las condiciones de conservación del momento, primero debemos distinguir entre fuerzas internas y externas.

Las fuerzas internas son pares de fuerzas de acción-reacción entre los elementos que componen el sistema.

Teniendo clara la distinción del tipo de Fuerza que puede actuar sobre un sistema, podemos aclarar cuándo se conserva el momento. Como establece la Ley de Conservación del Momento, esto sólo ocurre en los sistemas cerrados.

Por tanto, para observar la conservación del momento, en nuestro sistema sólo debemos permitir que interactúen fuerzas internas en el sistema y aislarlo de cualquier Fuerza externa. Veamos algunos ejemplos para aplicar estos nuevos conceptos.

Ecuación de conservación del momento

Ahora sabemos que el momento se conserva cuando se trata de un sistema cerrado. Veamos ahora cómo podemos expresar matemáticamente la conservación del momento. Consideremos un sistema formado por dos masas, \(m_1\) y \(m_2\). El momento total del sistema es la suma del momento de cada una de estas masas. Consideremos que inicialmente se mueven con velocidades \(u_1\) y \(u_2\), respectivamente.

\[\begin{aligned} \text{Momento inicial total}&= p_1+p_2 \text{Momento inicial total}&=m_1\cdot u_1 + m_2 \cdot u_2 \end{aligned}].

Entonces, después de que estas masas interactúen entre sí, sus velocidades cambian. Representemos estas nuevas velocidades como \(v_1\) y \(v_2\), respectivamente.

\[\begin}{alineado} \text{Momento inicial total}&= p_1+p_2 \text{Momento inicial total}&=m_1\cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 \end{aligned}].

Por último, como el momento se conserva, el momento final y el inicial del sistema deben ser iguales.

\[\begin{aligned}\text{Momento inicial total}&=\text{Momento final total} \\ m_1\cdot u_1+m_2\cdot u_2&=m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2end{aligned}\[fin].

Recuerda que el momento es una cantidad vectorial. Por tanto, si el movimiento es en dos dimensiones, tenemos que utilizar la ecuación anterior una vez para la dirección horizontal y otra vez para la dirección vertical.

Conservación del momento durante una colisión

Una de las aplicaciones más importantes de la conservación del momento se produce durante las colisiones. Las colisiones ocurren todo el tiempo y nos permiten modelizar escenarios muy diferentes.

Aunque el concepto de colisión se aplica a una amplia gama de situaciones, lo que ocurre durante o después de una colisión es crucial para su estudio. Por esta razón, podemos clasificar las colisiones en diferentes tipos.

Colisiones elásticas

Volvamos a uno de los ejemplos que hemos mencionado antes: dos bolas de billar, una moviéndose hacia la derecha y la otra en reposo. Una bola de billar tiene una masa de aproximadamente \(0,2\,\mathrm{kg}\). Consideremos que la bola se mueve hacia la derecha a \(10\,\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}). Calculemos la cantidad total de momento inicial.

\[\begin{aligned} \text{Momento inicial total}&=p_1+p_2 \\tu &= m_1\cdot u_1 + m_2 \cdot u_2 \tu &\tu &=0,2\tu,\mathrm{kg} \cdot 10 \cdot, \dfrac {\mathrm{m}}{\mathrm{s}}+0,2\,\mathrm{kg}{\cdot 0 \cdot &= 2,\, \dfrac {\mathrm{kg}{\cdot \mathrm{m}}{\mathrm{s}}end{aligned}} \]

Dijimos que, debido a la conservación del momento, tras la colisión la primera bola se detiene, y la segunda se mueve con la misma velocidad que tenía la primera, en este caso, \(10\,\,\dfrac{mathrm{m}}{mathrm{s}}).

Fig. 7: La bola blanca se detendrá, mientras que la bola azul se moverá en la dirección correcta tras la colisión.

El resultado es el mismo momento total tras la colisión.

\Texto \text{Momento inicial total}&=p_1+p_2 \\t&= m_1\cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 \t&=0,2\,\mathrm{kg} \cdot 0+0,2\,\,\mathrm{kg}\cdot 10\,\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\ &= 2\,\, \dfrac {mathrm{kg}\cdot {mathrm{m}}{mathrm{s}}end{alineado} \]

Pero ¿qué pasa con este escenario: la primera bola rebota en \(10\,,\dfrac{mathrm{m}}{mathrm{s}}) mientras que la segunda empieza a moverse en \(20\,,\dfrac{mathrm{m}}{mathrm{s}}). Calculemos el momento de este escenario. Como consideramos positiva la dirección hacia la derecha, un movimiento hacia la izquierda es negativo.

\[\begin{aligned} \text{Momento inicial total}&=p_1+p_2 &= m_1\cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 &&=0,2\,\mathrm{kg} \cdot -10\,\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}+0,2\,\,\mathrm{kg}\cdot 20\,\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\ &= -2\,\, \dfrac{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}}{\mathrm{s}}+4\,\,\dfrac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\\ &=2\,\,\dfrac{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}}{\mathrm{s}}\end{aligned} \]

Todo parece ir bien, ¿verdad? Al fin y al cabo, el momento también se conserva en este caso. Sin embargo, si intentas observar algo así haciendo chocar dos bolas de billar, no ocurrirá nunca. ¿Sabes por qué? Recuerda que en estas colisiones no sólo debe conservarse el momento, ¡también debe conservarse la energía! En la primera hipótesis, la energía cinética es la misma antes y después de la colisión, porque en ambos casos, sólo una bola se mueve a \ (10\,\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}). Pero en el segundo escenario, ambas bolas se mueven tras la colisión, una a \(10\, \dfrac{mathrm{m}}{mathrm{s}}) y la otra a \ (20\,\dfrac{mathrm{m}}{mathrm{s}}). Por lo tanto, la energía cinética sería mucho mayor que al principio, lo que no es posible.

Fig. 8: Este resultado no es posible porque, aunque se conserva el momento del sistema, no se conserva la energía cinética.

Ten en cuenta que ninguna colisión es realmente elástica, ya que siempre se pierde parte de la energía. Por ejemplo, si das una patada a un balón de fútbol, tu pie y el balón permanecen separados después de chocar, pero parte de la energía se pierde en forma de calor y del sonido del impacto. Sin embargo, a veces la pérdida de energía es tan pequeña que podemos modelizar la colisión como elástica sin problemas.

Colisiones perfectamente inelásticas

En las colisiones perfectamente inelásticas se conserva el momento, pero no la energía cinética total. En estas colisiones, la energía cinética total cambia porque parte de ella se pierde en forma de sonido, calor, cambios en la Energía Interna del nuevo sistema y unión de ambos objetos. Por eso se llama colisión inelástica ya que el objeto deformado no vuelve a su forma original.

En este tipo de colisión, podemos tratar los dos objetos iniciales como un único objeto tras la colisión. La masa de un objeto único es la suma de las masas individuales antes de la colisión. Y la velocidad de este objeto único es la suma vectorial de las velocidades individuales antes de la colisión. Denominaremos a esta velocidad resultante$v_f$.

En realidad, ninguna colisión es elástica o perfectamente inelástica, ya que se trata de modelos idealizados. Por el contrario, cualquier colisión se encuentra en algún punto intermedio, ya que siempre se pierde algún tipo de energía cinética. Sin embargo, a menudo aproximamos una colisión a cualquiera de estos casos ideales extremos para simplificar los cálculos.

Ejemplos de conservación del momento

Sistema de pistola y bala

Inicialmente, la pistola y la bala dentro de la pistola están en reposo, por lo que podemos deducir que el momento total para este sistema antes de apretar el gatillo es cero. Después de apretar el gatillo, la bala se mueve hacia delante mientras que la pistola retrocede hacia atrás, cada una de ellas con la misma magnitud de momento pero direcciones opuestas. Como la masa del arma es mucho mayor que la masa de la bala, la velocidad de la bala es mucho mayor que la velocidad de retroceso.

Cohetes y motores a reacción

El impulso de un cohete es inicialmente nulo. Sin embargo, debido a la combustión del combustible, los gases calientes salen a gran velocidad y con un gran impulso. En consecuencia, los cohetes adquieren el mismo momento, pero el cohete se mueve hacia arriba a diferencia de los gases, ya que el momento total debe permanecer nulo.

Caída de una pelota de baloncesto y de tenis

El ejemplo presentado al principio muestra cómo la pelota de tenis es lanzada muy alto. Tras rebotar en el suelo, la pelota de baloncesto transfiere parte de su momento a la pelota de tenis. Como la masa de la pelota de baloncesto es mucho mayor (unas diez veces la masa de la pelota de tenis), la pelota de tenis adquiere una velocidad mucho mayor que la que obtendría la pelota de baloncesto al rebotar sola.