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Como resultado de la rotación constante de nuestro planeta sobre su eje, ¡todos nos movemos a unos \(1600\,\mathrm{km/h}\)! La Tierra gira sobre su eje vertical, que está inclinado \(23,5\) grados, y completa una rotación después de \(24\) horas. Además, dado que las estaciones son el resultado de diferentes partes de la Tierra orientadas en la dirección del sol, esa rotación es la permite que experimentemos diferentes estaciones.
En este artículo, vamos a introducir algunas definiciones y ejemplos que nos ayudarán a ampliar nuestros conocimientos sobre la dinámica rotacional de la tierra.
¿Cómo es la dinámica de translación y rotación?
Empecemos por aclarar a qué nos referimos con dinámica rotacional, o de rotación.
La dinámica rotacional es el estudio del movimiento de rotación resultante de las fuerzas externas y sus pares.
Existen algunas diferencias importantes entre la dinámica lineal y la rotacional; la más general es que la dinámica lineal se refiere al hecho de que un objeto en movimiento lineal se mueve de un punto A a otro punto B en línea recta, mientras que un objeto en movimiento rotacional se mueve alrededor de un centro.
Otras diferencias importantes son las siguientes:
El desplazamiento del objeto viene dado por la distancia para los que tienen movimiento lineal y en grados para los que tienen movimiento de rotación.
Del mismo modo, la velocidad en el movimiento lineal viene dada por la distancia recorrida en el tiempo. En el movimiento de rotación, la velocidad viene dada por el aumento del ángulo en el tiempo.
El movimiento de rotación se mide utilizando una unidad adimensional llamada radianes, como veremos más adelante.
En el movimiento de rotación existe una fuerza centrípeta adicional.
También existe una fuerza centrífuga ficticia, que aparece únicamente como parte del marco de referencia del objeto que gira.
En el movimiento lineal, si dos objetos paralelos se mueven a la misma velocidad, la distancia que recorren durante un intervalo de tiempo es la misma. En el movimiento circular, si dos objetos se mueven a la misma velocidad radial \((\theta / t)\) a diferentes distancias del centro, no cubrirán la misma distancia.
Movimiento rotacional
Ahora que ya ubicas qué es la dinámica rotacional, vamos a estudiarla en profundidad. Podemos describir el movimiento de rotación utilizando cuatro magnitudes físicas principales: velocidad angular, aceleración angular, desplazamiento angular y tiempo. Mientras que tenemos una noción intuitiva del tiempo, las otras variables de movimiento rotacional pueden no resultarle familiares, así que empecemos por definir cada una de ellas.
Desplazamiento angular
El desplazamiento angular \(\Delta \theta\) es la diferencia entre una posición angular inicial y final alrededor de un eje determinado.
La fórmula matemática del desplazamiento angular a es:
\[\Delta \theta = \theta_f-\theta_i\]
Este tipo de desplazamiento tiene una unidad SI de radianes (\(\mathrm{rad}\)).
Velocidad angular
La velocidad angular \(\omega\) es la tasa de cambio del desplazamiento angular de un objeto con respecto al tiempo.
La fórmula matemática para la velocidad angular media es:
\[\omega=\frac{\Delta \theta}{t},\]
Donde: \(\Delta \theta\) es el desplazamiento angular y \(t\) es el tiempo.
La velocidad angular tiene unidades en el SI de (\(\mathrm{rad/s}\)). Sin embargo, para la velocidad angular instantánea se utiliza:
\[\omega=\frac{d\theta}{d t}\]
Aceleración angular
La aceleración angular \(\alpha\) es el cambio de la velocidad angular de un objeto con respecto al tiempo.
Podemos calcular la aceleración angular media como:
\[\alpha=\frac{\Delta \omega}{t}\]
y para la aceleración angular instantánea:
\[\alpha=\frac{d \omega}{d t}\]
La aceleración angular tiene unidades de (\(\mathrm{rad/s^2}\)).
Radianes
Tal y como hemos visto, el radián es la unidad que se utiliza para el movimiento rotacional. Pero, ¿qué es, exactamente, un radián?
Un radián es el ángulo correspondiente a una longitud de arco igual al radio del círculo.
Fig. 1: Diagrama que muestra la definición de un radián.
Si queremos convertir de radianes a grados, podemos utilizar la siguiente relación:
\[\theta_{\text{grados}}=\theta_{\text{radianes}}\cdot\frac{360^{\circ}}{2\pi\,\mathrm{rad}}.\]
Por otro lado, para convertir de grados a radianes, podemos aplicar la relación inversa:
\[\theta_{\text{radianes}}=\theta_{\text{grados}}\cdot\frac{2\pi\,\mathrm{rad}}{360^{\circ}}.\]
Hagamos un ejercicio de conversión:
Convierte las siguientes cantidades:
\(5,00\) radianes en grados
\(275\) grados en radianes
Solución:
Utiliza las relaciones que hemos visto anteriormente.
Para el primer caso: \[\begin{align} \theta_{\text{grados}}&=\theta_{\text{radianes}}\cdot\frac{360^{\circ}}{2\pi\,\mathrm{rad}} \\ \\\theta_{\text{grados}}&=5,00\,\mathrm{rad}\cdot\frac{360^{\circ}}{2\pi\,\mathrm{rad}} \\ \\\theta_{\text{grados}}&=286,47^{\circ} \end{align} \]
En el segundo caso:
\[\begin{align} \theta_{\text{radianes}}&=\theta_{\text{radianes}}\cdot\frac{2\pi\,\mathrm{rad}}{360^{\circ}} \\ \\ \theta_{\text{radianes}}&=275^{\circ}\cdot\frac{2\pi\,\mathrm{rad}}{360^{\circ}} \\ \\ \theta_{\text{radianes}}&=4,80\,\mathrm{rad} \end{align} \]
Te puede ser útil recordar que \(1\,\mathrm{rad}\approx 57,3^{\circ}\).
Fuerza de rotación
El par, o torque, \(\tau\) es una cantidad vectorial que cuantifica el efecto de giro de una fuerza aplicada a un objeto. La unidad del SI para el par es (\(\mathrm{Nm}\)).
El par el equivalente rotacional de una fuerza; por tanto, para que un objeto experimente una aceleración angular, tiene que estar afectado por un par.
Por convenio, una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj indica un par positivo, y una rotación en sentido de las agujas del reloj indica un par negativo. La cantidad de par aplicada a un objeto depende de la fuerza aplicada, pero también de la distancia perpendicular desde donde se aplica la fuerza, con respecto al eje de rotación.
Para que un sistema esté en equilibrio rotacional, la suma de todos los pares que actúan sobre un sistema debe ser igual a cero:
\[\sum \tau =0\]
La suma de todos los pares que actúan sobre un sistema puede ser cero, si los pares actúan en direcciones opuestas y se anulan así.
El equilibrio rotacional se define como un estado en el que ni el estado de movimiento de un sistema ni su estado de energía interna cambian con respecto al tiempo.
También tenemos una cantidad que desempeña el papel de la masa en el movimiento de translación. Para el movimiento de rotación, utilizamos el momento de inercia o inercia rotacional.
La inercia rotacional es una medida cuantitativa de la resistencia de un objeto a la aceleración angular; varía en función de la forma del objeto y de la distribución de su masa con respecto al eje de rotación.
Fórmulas de la dinámica rotacional
Ahora, hablemos de las ecuaciones que expresan el movimiento rotacional y de cómo podemos utilizarlas.
Ecuaciones fundamentales de la dinámica de rotación
A veces, es suficiente trabajar con alguna ecuación fundamental de la dinámica rotacional que nos describa la cinemática rotacional cuando se estudia el movimiento.
La cinemática rotacional se refiere al estudio del movimiento de rotación, sin considerar las fuerzas externas.
Podemos utilizar las siguientes ecuaciones fundamentales de la cinemática, siempre que se trate de una aceleración angular constante. Como verás, su estructura es muy similar a la del movimiento lineal.
Ecuación de la velocidad angular:
\[\omega=\omega_0+\alpha t.\]
Ecuación de desplazamiento angular:
\[\Delta \theta=\omega_0 t+\dfrac{1}{2}\alpha t^2.\]
Ecuación de la velocidad angular al cuadrado:
\[\omega^2=\omega_0^2+2\alpha\Delta \theta .\]
En cada ecuación anterior:
- \(\omega\) es la velocidad angular final
- \(\omega_0\) es la velocidad angular inicial
- \(\alpha\) es la aceleración angular
- \(t\) es el tiempo
- \(\Delta \theta\) es el desplazamiento angular.
Comparación ente la cinemática rotacional y lineal
Ahora, como ya hemos discutido la dinámica rotacional y su conexión con la cinemática rotacional, debemos asegurarnos de reconocer y entender también la relación entre la cinemática rotacional y la cinemática lineal. Estas relaciones aparecen en la siguiente tabla, donde \(r\) es el radio del movimiento circular.
| Variable | Símbolo en el movimiento lineal | Unidades en el SI para el movimiento lineal | Símbolo en el movimiento rotacional | Unidades en el SI para el movimiento rotacional | Relación |
| Aceleración | \(a\) | \(\mathrm{m/s^2}\) | \(\alpha\) | \(\mathrm{rad/s^2}\) | \(a=\alpha\cdot r, \alpha=\dfrac{a}{r}\) |
| Velocidad | \(v\) | \(\mathrm{m/s}\) | \(\omega\) | \(\mathrm{rad/s}\) | \(v=\omega\cdot r, \omega=\dfrac{v}{r}\) |
| Desplazamiento | \(x\) ó \(\Delta x\) | \(\mathrm{m}\) | \(\theta\) ó \(\Delta \theta\) | \(\mathrm{rad}\) | \(x=\theta\cdot r, \theta=\dfrac{x}{r}\) |
| Tiempo | \(t\) | \(\mathrm{t}\) | \(t\) | \(\mathrm{t}\) | \(t=t\) |
Tabla 1: Comparativa entre la cinemática rotacional y lineal.
Para entender mejor estas relaciones, veamos el siguiente diagrama.
Fig. 2: Diagrama que ilustra la relación entre las variables cinemáticas lineales y las variables cinemáticas rotacionales; donde: \(v=\text{velocidad}\), \(r=\text{radio}\), \(\Delta \theta=\text{Desplazamiento angular}\) y \(\omega=\text{velocidad angular}\).
Ecuaciones para el par o torque
El par puede ser calculado de tres maneras distintas:
- Fórmula del producto vectorial.
- Fórmula de la magnitud.
- Fórmula de la segunda ley de Newton.
Fórmula del producto vectorial
La definición de producto vectorial del torque se expresa mediante la ecuación:
\[\tau=\vec{r}\times\vec{F},\]
Donde: \(\vec{r}\) es el desplazamiento desde el eje de rotación y \(\vec{F}\) es la fuerza aplicada.
El producto vectorial también se conoce como producto cruzado. Su resultado es otra cantidad vectorial cuya dirección es perpendicular a ambos argumentos vectoriales y al plano definido por ellos. El vector par es paralelo al eje de rotación.
Fórmula de la magnitud
Si solo nos interesa la magnitud del par \(|\vec{\tau}|=\tau\), podemos calcularla mediante la siguiente fórmula:
\[\tau=|\vec{r}\times\vec{F}|=rF\sin(\theta),\]
Donde \(r\) es la magnitud del desplazamiento desde el eje de rotación, \(F\) es la magnitud de la fuerza aplicada y \(\theta\) es el ángulo entre ellas.
También, podemos escribir la ecuación anterior como:
\[\tau=Fr_{\perp}\]
Donde: \(r_{\perp}=r\sin(\theta)\) es la distancia perpendicular desde el eje de rotación a la línea de acción de la fuerza, conocida como brazo de palanca.
Fig. 3: Un diagrama de torsión que muestra la fuerza aplicada, la distancia desde el eje de rotación, el ángulo que forman y el brazo de palanca.
Forma de la segunda ley de Newton
La ecuación del par de torsión puede escribirse en el mismo formato que la de la segunda ley de Newton:
\(F=ma\)
\[\tau=I\alpha\]
Aquí: \(I\) es el momento de inercia y \(\alpha\) es la magnitud de la aceleración angular.
Ecuación de inercia rotacional
El momento de inercia para una masa puntual a una distancia del eje de rotación es:
\[I=mr^2.\]
Esta fórmula es importante, porque podemos utilizarla para derivar fórmulas para el momento de inercia de sistemas complejos, ya que se puede pensar en los objetos como si estuvieran compuestos por conjuntos de \(N\) masas puntuales.
La inercia rotacional total de un conjunto de objetos se calcula mediante la fórmula:
\[I_{total}=\sum^N_{i=1} I_i=\sum^N_{i=1} m_ir_i^2\]
Veamos un ejemplo:
Una masa puntual de \(2,1\,\mathrm{kg}\) se sitúa a \(0,89\,\mathrm{m}\) del eje de rotación. Calcula su momento de inercia.
Solución:
Nos dan la masa y el radio. Por tanto, podemos aplicar directamente la fórmula del momento de inercia para una masa puntual así:\[\begin{align} I&=mr^2 \\ I&=(2,1\,\mathrm{kg})(0,89\,\mathrm{m})^2\\I&=1,7\,\mathrm{kg\cdot m^2}\end{align}\]
Si nuestro sistema es un cuerpo de tamaño finito, podemos modelarlo como si estuviera compuesto por infinitas masas diferenciales. Cada una de estas masas contribuye al momento de inercia del objeto; pero, en lugar de sumarlas, tenemos que integrarlas para encontrar el momento de inercia total del objeto:
\[I=\int r^2 dm,\]
Donde \(r\) es la distancia perpendicular de las masas diferenciales, \(dm\), al eje de rotación.
Energía cinética rotacional
Al igual que la velocidad se utiliza para calcular la energía cinética:
\[E_c=\dfrac{1}{2}mv^2\]
podemos cuantificar la energía cinética rotacional de un sistema conociendo su velocidad angular:
\[E_{c.rot}=\dfrac{1}{2}I\omega^2\]
Momento angular
El momento angular es una cantidad vectorial definida como el producto de la velocidad angular por la inercia rotacional.
La fórmula matemática correspondiente a esta definición es:
\[L=I\omega,\]
El momento angular tiene unidades SI de (\(\mathrm{kg\cdot m^2/s}\)).
Ejemplos de dinámica rotacional
Experimento de dinámica rotacional
Para demostrar el concepto de dinámica rotacional en el laboratorio, se puede realizar un experimento con un brazo giratorio. En este experimento, el aparato consiste en un brazo giratorio conectado a un sensor de movimiento giratorio, que mide la velocidad angular:
- En el brazo giratorio se colocan dos masas que lo frenan y, por tanto, aumentan su inercia rotacional.
- Cuanto más alejadas estén las masas, más difícil será que el brazo gire.
- El eje del brazo giratorio estará unido a una cuerda, que también está unida a una polea con una masa colgante.
- Esta configuración permite aplicar un par de torsión constante al brazo, debido a la tensión de la cuerda, que lo hace girar.
El par se puede medir y variar continuamente, utilizando diferentes masas colgantes.
Ejercicios de dinámica rotacional
Para resolver problemas de dinámica rotacional, se puede utilizar una combinación de las ecuaciones que hemos visto antes. ¡Apliquemos nuestros nuevos conocimientos de dinámica rotacional en los dos ejemplos siguientes!
La noria tiene una velocidad angular inicial de \(5\,\mathrm{rad/s}\). Si su aceleración angular es de \(2,1\,\mathrm{rad/s^2}\) y su desplazamiento angular es \(10,6\,\mathrm{rad}\):
¿Cuál es la velocidad angular final de la noria?
¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar esta velocidad?
Solución:
Observa que tenemos la siguiente información
- velocidad angular inicial
- aceleración angular
- desplazamiento angular
Por lo tanto, de las ecuaciones que hemos estudiado anteriormente, para resolver la primera parte de este problema, la más conveniente es:
\[\omega^2=\omega_0^2+2\alpha\Delta \theta,\]
Introduciendo los datos que conocemos:
\[\begin{align} \omega^2 &=\omega_0^2+2\alpha\Delta\theta \\\omega^2 &=\left(5,0\,\mathrm{rad/s}\right)^2+2\left(2,1\,\mathrm{rad/s^2}\right)10,6\,\mathrm{rad} \\ \omega^2 &=25+44,25 \\ \omega^2 &=69,25 \\ \omega &=8,3\,\mathrm{rad}\end{align}\]
Ahora, utilizando esta información y la ecuación
\[\Delta \theta=\frac{\omega+\omega_0}{2}t\]podemos calcular el tiempo que tarda en alcanzar este valor de velocidad final de la siguiente manera:
\[\begin{align} 10,6\,\mathrm{rad}&=\frac{8,3\,\mathrm{rad/s}+5\mathrm{rad/s}}{2}t \\ 10,6&=6,7t \\t&=\frac{10,6}{6,7}=1,6\mathrm{s} \end{align}\]
La noria alcanza su velocidad angular final de \(8,3\,\mathrm{rad/s}\) a los \(t=1,6\mathrm{s}\).
Intentemos ahora resolver otro ejercicio:
Un balón de fútbol que pesa \(5\,\mathrm{kg}\ está, inicialmente, en reposo; se pone a girar y después de \(2,4\,\mathrm{s}\) gira con una velocidad angular de \(4,5\,\mathrm{rad/s}\). Calcula la aceleración angular del balón.
Si el radio es de \(0,7\,\mathrm{m}\), calcula el par ejercido sobre el balón. Observa que el balón de fútbol se considera una cáscara esférica delgada con una fórmula de inercia rotacional correspondiente de \(I=(2/3)mr^2\).
Solución:
En el enunciado se nos da:
- la velocidad angular inicial y final
- el tiempo
Por lo tanto, podemos aplicar nuestra ecuación, \(\omega=\omega_0+\alpha t\), para resolver la primera parte del problema. Primero, debemos reordenar nuestra ecuación para resolver la aceleración angular:
\[\begin{align} \omega&=\omega_0+\alpha t \\\alpha t&=\omega-\omega_0 \\ \alpha &=\dfrac{\omega-\omega_0}{t}\end{align}\]
Ahora, podemos insertar nuestras variables y resolverlo:
\[\begin{align} \alpha&=\frac{\omega-\omega_0}{t} \\&=\frac{4,5\,\mathrm{rad/s}-0\,\mathrm{rad/s}} {2,4\,\mathrm{s}} \\ &=1,9\,\mathrm{rad/s^2} \end{align}\]
Para la segunda parte de este problema, debemos aplicar la ecuación \(\tau=I\alpha\).
Primero, debemos reescribir la ecuación del par usando la ecuación dada para el momento de inercia:
\[\tau=\left(\dfrac{2}{3}mr^2\right)\alpha\]
y, ahora, podemos insertar nuestros valores:
\[\begin{align} \tau&=\left(\dfrac{2}{3}0,5\,\mathrm{kg}\cdot 0,7^2\mathrm{m}\right)1,9\,\mathrm{rad/s^2} \\ \tau&=3,1 \mathrm{Nm}\end{align}\]
Dinámica rotacional - Puntos clave
La dinámica rotacional es el estudio del movimiento y de las fuerzas que hacen que los objetos giren alrededor de un eje.
El movimiento rotacional es el movimiento circular de los objetos alrededor de un eje y se describe utilizando cuatro variables principales: velocidad angular, aceleración angular, desplazamiento angular y tiempo.
La cinemática rotacional estudia el movimiento de rotación, sin analizar las fuerzas que actúan sobre el sistema.
Existen tres ecuaciones fundamentales de la cinemática rotacional:
- La ecuación de la velocidad angular: \(\omega=\omega_0+\alpha t\)
- La ecuación del desplazamiento angular: \(\Delta \theta = \omega_0 t+(1/2)\alpha t^2\)
- La ecuación de la velocidad angular al cuadrado: \(\omega^2=\omega_0^2+2\alpha\Delta \theta\)
El par es una cantidad vectorial que cuantifica el efecto de giro de una fuerza aplicada a un objeto.
Podemos calcular el par mediante tres fórmulas diferentes:
- \[ \begin{align} \tau &= \vec{r}\times\vec{F} \\
- \tau &=rF\sin(\theta) \\
- \tau &=I\alpha \end{align}\]
El momento de inercia es la medida de la resistencia de un objeto a la aceleración angular.
La fórmula de inercia de un objeto puede expresarse para una masa puntual como \(I=mr^2\).
El equilibrio rotacional se define como un estado en el que ni el estado de movimiento de un sistema ni su estado de energía interna cambian con respecto al tiempo. El equilibrio rotacional se alcanza cuando la suma de todos los torques de un sistema es cero.
El momento angular es una cantidad vectorial definida como el producto de la velocidad angular y la inercia rotacional. Su fórmula correspondiente es \(L=I\omega\).
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Preguntas frecuentes sobre Dinámica rotacional (Mecánica Clásica)
¿Cómo se calcula la dinámica rotacional?
Para la dinámica rotacional es útil conocer las fórmulas de la cinemática rotacional:
Ecuación de la velocidad angular:
ω=ω0+αt.
Ecuación de desplazamiento angular:
Δθ=ω0t+(1/2)αt2.
Ecuación de la velocidad angular al cuadrado:
ω2=ω02+2αΔθ.
Mediante la siguiente fórmula podemos calcular el par o torque:
τ=|r×F|=rFsin(θ).
¿Qué es la dinámica de rotación en cuerpos rígidos?
La dinámica rotacional es el estudio del movimiento de rotación resultante de las fuerzas externas y sus pares.
¿Qué dice la ley fundamental de la dinámica de rotación?
No hay una ley fundamental para la dinámica de rotación, pero el cálculo del par o torque es esencial para la dinámica rotacional:
τ=|r×F|=rFsin(θ)=I·α.
¿Qué es mecánica rotacional, en física?
La mecánica rotacional es el estudio del movimiento de los cuerpos en rotación y las fuerzas que actúan.
¿Qué es el movimiento de traslación y rotación en física?
En el movimiento lineal, o de translación, se mueve de un punto A a otro punto B en línea recta; mientras que un objeto en movimiento rotacional se mueve alrededor de un centro.
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