Energía del Movimiento Armónico Simple

Sistema armónico simple

Durante el movimiento armónico simple, la energía se intercambia continuamente entre las energías cinética y potencial.

La energía del movimiento armónico simple puede adoptar la forma de:

• Energía potencial gravitatoria, como en el caso de una masa en un péndulo que se encuentra en una posición diferente a la de equilibrio.
• Energía potencial elástica, como en el caso de una masa sobre un muelle.

¿Qué es la energía en un sistema armónico simple?

Esto puede interpretarse de la siguiente manera:

• Como las dos formas de energía se intercambian continuamente, cuando una de ellas aumenta, la otra disminuye. Por lo tanto, cuando una forma de energía alcanza su punto máximo, la otra forma alcanza su valor mínimo (cero).
• Si la energía es constante, el sistema está oscilando (considerando que no hay pérdidas de energía).

Ejemplo de movimiento armónico simple

Conservación de la energía mecánica en el movimiento armónico simple

En un oscilador ideal, la energía mecánica se conserva en el movimiento armónico simple. Esto significa que no se tienen en cuenta las fuerzas externas —como la fricción, la resistencia del aire, etc—. Si la energía no se pierde debido a las fuerzas externas, se conserva en el sistema.

En el movimiento armónico simple, la energía se intercambia continuamente entre ambas formas, como hemos visto antes.

Por lo tanto, si queremos expresar esto con ecuaciones, sería así:

• \(E_c=E_{c.Max}\) en el equilibrio o cuando \(x=0\) (Excepto cuando \(v_0=0\).

• \(E_p=E_{p.Max}\) en las amplitudes máximas.

• Cuando \(E_c=E_{c.Max}\), \(E_p=0\).

• Cuando \(E_p=E_{p.Max}\) , \(E_c=0\).

Gráfica de energía en función del tiempo en el movimiento armónico simple

La conservación de la energía mecánica se ilustra en la gráfica de energía, en función del tiempo para el movimiento armónico simple (que podemos ver en la Figura. 2), donde se pueden derivar las siguientes propiedades:

• Cuando la energía potencial es 0, la energía cinética está en su punto máximo, y viceversa.
• Tanto la energía cinética como la potencial están representadas por funciones periódicas (seno o coseno).
• Las dos funciones periódicas varían en direcciones opuestas.
• La energía es siempre positiva.
• La energía total está representada por una línea recta horizontal en el valor máximo de la energía cinética y potencial, dado que es la suma de estas dos en todo momento.
• Durante un periodo de oscilación, la energía cinética y potencial pasan por dos ciclos completos, ya que un periodo alcanza el punto de máxima amplitud dos veces (negativa y positiva).

Fig. 2: Gráfica de la energía del movimiento armónico simple, en función del tiempo. Se puede ver que cuando la energía cinética es máxima, la potencial es mínima, y viceversa.

Desplazamiento en el movimiento armónico simple

Otro gráfico interesante acerca del principio de conservación de la energía es el gráfico de energía en función del desplazamiento (Figura. 3), donde se muestra la energía total y la energía en los puntos de máxima amplitud. En el gráfico se puede observar un patrón de cambio.

Fig. 3: Gráfico de energía del movimiento armónico simplefrente a desplazamiento.

• Como el desplazamiento es una cantidad vectorial, el gráfico tiene valores de desplazamiento positivos y negativos.
• La energía potencial es máxima en la posición de máxima amplitud; donde \(x = \pm X_{max}\); y es 0 en la posición de equilibrio, donde \(x = 0\).
  • Esto se representa con una curva en forma de U (convexa).
• La energía total está representada por una línea recta horizontal sobre las curvas, y es constante.
• La energía cinética es máxima en la posición de equilibrio, donde \(x = 0\); y es cero en la posición de amplitud \(x = \pm X_{max}\).
  • Esto se representa con una curva en forma de U invertida (cóncava).

Ecuación de energía del movimiento armónico simple

La ecuación de energía del movimiento armónico simple nos permite calcular la magnitud numérica de la energía de un oscilador. Esta ecuación de la energía cinética puede derivarse partiendo de la ecuación de la energía en el movimiento de traslación:

\[E_c=\dfrac{1}{2}mv^2.\]

Donde:

• \(E_c\) es la energía cinética.
• \(m\) es la masa.
• \(v\) es la velocidad.

Ahora, podemos sustituir ahora la ecuación de la velocidad del movimiento armónico simple:

\[\begin{align}v&=\sqrt{\pm\omega(X_{max}^2-x^2} \\ v^2&=\omega^2(X_{max}^2-x^2) \end{align}\]

Con esto, obtenemos lo siguiente,

• donde \(X_{max}\) es la amplitud máxima, mientras que \(x\) es la posición actual de un objeto en un momento dado.

Si el objeto está en posición de equilibrio, la energía cinética es máxima y proporcional a la amplitud máxima:

\[\begin{align}E_c&=\dfrac{1}{2}m\omega^2(X_{max}^2-x^2) \\ E_{c.Max}&=\dfrac{1}{2}m\omega^2X_{max}^2 \end{align},\]

• Donde \(\omega=2\pi f\).

Para la energía potencial, también aplicamos la fórmula de la energía cinética, pero utilizaremos la constante del muelle \(k\). La ecuación de la energía potencial se muestra a continuación,

• donde \(E_p\) es la energía potencial.

Si la posición del objeto es el equilibrio, la energía potencial es máxima y proporcional a la amplitud máxima:

\[\begin{align} E_p&=\dfrac{1}{2}kx^2 \\ E_{p.Max}&=\dfrac{1}{2}kX_{max}^2 \end{align} \]

La energía total puede determinarse por la suma de la energía cinética y potencial:

\[E_{Total}=E_c+E_p\]

Hagamos un ejercicio al respecto: