Fuerza de tensión

Cuando las partículas se liberan del reposo, en el diagrama siguiente, ¿cuál es la tensión en la cuerda que las sujeta?

Fig. 2: Ejemplo de tensión en una cuerda

Solución:

En una situación como esta, la partícula con mayor masa será la que caiga, y la partícula con menor masa subirá. Tomemos la partícula con \(2\,\mathrm{kg}\) de masa como partícula \(A\) y la de \(5\,\mathrm{kg}\) de masa como partícula \(B\).

Para calcular el peso de cada partícula, tenemos que multiplicar su masa por la gravedad:

\[\begin{align} P_A&=2\cdot g \\ P_B&=5\cdot g\end{align}\]

Ahora, puedes utilizar la ecuación para la aceleración y la tensión de cada partícula:

\[\begin{align} \text{Part. A}&\rightarrow T-2g=2a \\ \text{Part. B}&\rightarrow 5g-T=5a \end{align} \]

Resuélvelo ahora simultáneamente. Suma ambas ecuaciones para eliminar la variable \(T\):

\[3g = 7a\]

Si tomamos \(g=9,8\,\mathrm{m/s^2}\)

\[a=4,2\,\mathrm{m/s^2}\]

Puedes sustituir la aceleración en cualquiera de las ecuaciones para obtener la tensión.

Sustituyamos la aceleración en la ecuación 1:

\[\begin{align} T-2g&=2\cdot 4,2 \\ T-19,6&=8,4 \\ T&=28\,\mathrm{N} \end{align} \]

Hay dos partículas, una con una masa de \(2\,\mathrm{kg}\), asentada sobre una mesa lisa, y la otra con una masa de \(20\,\mathrm{kg}\), colgada del lateral de la mesa sobre una polea que conecta ambas partículas. Estas partículas se han mantenido en su sitio todo este tiempo y, ahora, se sueltan. ¿Qué ocurrirá a continuación? ¿Cuál es la aceleración y la tensión en la cuerda?

Fig. 3: Cuerda atada a dos partículas, una sobre una mesa lisa y la otra colgando.

Solución:

Hagamos la descomposición de fuerzas para ver con qué estamos trabajando.

Fig. 4: Descomposición de fuerzas para una cuerda atada a dos partículas, una sobre una mesa lisa y la otra colgando.

Tomemos la partícula con \(2\,\mathrm{kg}\) de masa como partícula \(A\) y la partícula con \(20\,\mathrm{kg}\) de masa es la partícula \(B\).

Ahora, resolvamos la partícula \(A\) (horizontalmente):

\[T = ma\]

Y la partícula \(B\) (verticalmente).

\[mg -T = ma\]

Sustituimos los datos que tenemos:

\[\begin{align} T&=2a \\ 20g-T&=20a \end{align} \]

Ya podemos sumar ambas ecuaciones para anular las tensiones:

\[\begin{align} 20g &= 22a \\ a&=8,9\,\mathrm{m/s^2} \end{align} \]

Con esto calculamos la aceleración y podemos sustituir su valor en cualquiera de las ecuaciones anteriores. Calculando el valor de la tensión, obtenemos:

\[\begin{align} T&=2\cdot 8,9 \\ T&=17,8\,\mathrm{N}. \end{align} \]

Halla la tensión en cada parte de la cuerda en el diagrama siguiente.

Fig. 5: Tensiones en un ángulo.

Solución:

Lo que tendremos que hacer es plantear dos ecuaciones, a partir de todo el diagrama: una para las fuerzas verticales y otra para las horizontales. Así que resolvemos la tensión de ambas cuerdas en sus respectivas componentes vertical y horizontal.

Fig. 6: Tensiones en un ángulo con sus descomposiciones.

\[ \begin{align} \text{Vertical}&\rightarrow T_1\cos(20^{\circ})+T_2\cos(30^{\circ})=50 \\ \text{Horizontal}&\rightarrow T_1\sin(20^{\circ})=T_2\sin(30^{\circ}) \end{align}\]

Como aquí tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas, vamos a utilizar el procedimiento de ecuaciones simultáneas, para hacerlo por sustitución.

Ahora, reordenaremos la segunda ecuación y la sustituimos en la primera ecuación.

\[\begin{align} T_1&=\dfrac{T_2\sin(30^{\circ})}{\sin(20^{\circ})} \\ \left(\dfrac{0,5\cdot T_2}{0,342}\right)\cos(20^{\circ})+T_2\cos(30^{\circ})&=50 \\ 1,374\cdot T_2+0,866\cdot T_2&=50 \\ 2,24\cdot T_2&=50 \\ T_2&=22,32\,\mathrm{N} \end{align}\]

Ya que tenemos un valor para \(T_2\), podemos pasar a sustituirlo en cualquiera de las ecuaciones. Utilicemos la segunda:

\[\begin{align} T_1\sin(20^{\circ})&=22,32\sin(30^{\circ}) \\ T_1&=\dfrac{11,16}{0,342} \\ T_1&=32,63\,\mathrm{N} \end{align}\]