Momento angular

¿Qué es el momento angular?

Matemáticamente, el momento angular puede expresarse como el producto del momento de inercia de un objeto con respecto al eje de rotación y la velocidad angular. El momento angular puede aplicarse al movimiento circular, pero también puede aplicarse al movimiento no circular —cuando se estudia la dirección del movimiento perpendicular al radio—.

Dirección del momento angular

La dirección del momento angular puede determinarse mediante la regla de la mano derecha, en la que los cuatro dedos representan la dirección del movimiento, mientras que el pulgar representa la dirección del momento de la velocidad angular.

Fig. 1: La regla de la mano derecha utilizada para encontrar la dirección del momento angular.

• Si la dirección del movimiento es contraria a las agujas del reloj, el momento angular es positivo.

• Si la dirección del movimiento es en el mismo sentido de las agujas del reloj, el momento angular es negativo.

Fórmula del momento angular

Como podrás ver en la figura 2, una partícula puntual se mueve con un movimiento circular y se crea un plano entre la velocidad lineal \(v\) y el vector de posición \(r\).

• La magnitud del momento angular para una partícula puntual en rotación es el producto de la masa de la partícula \(m\), los vectores de posición y velocidad, y el ángulo \(\theta\) entre ellos: \[|\vec{L}|=m\cdot v\cdot r\cdot sin(\theta)\]
• El ángulo \(\theta\) generado entre los dos vectores \(r\) y \(v\) puede estar en un rango de \(0 \leq \theta \leq 180\) grados. Por lo tanto, la fórmula del momento angular, también, se puede escribir en términos del momento, donde \(p\) es el momento lineal.\[|\vec{L}|=p\cdot r\cdot sin(\theta)\]

Fig. 2: Diagrama de los componentes del momento angular.

Lo que acabamos de ver puede modificarse para adaptarse mejor a los casos de movimiento circular utilizando la velocidad angular en lugar de la velocidad lineal. Como se muestra en la figura 3, el momento angular \(\vec{L}\) de una partícula puntual que se mueve en una trayectoria circular es perpendicular al plano formado por el radio vector \(\vec{r}\) y el vector velocidad lineal \(\vec{v}\).

Por lo tanto, sustituyendo la velocidad angular —en lugar de la velocidad lineal— en la fórmula, obtenemos una ecuación que también puede escribirse en términos del momento de inercia. El momento angular se mide en \(\mathrm{kg\cdot m^2/s}\). La ecuación siguiente muestra que el momento angular tiene la misma forma que el momento lineal. Sin embargo, el momento de inercia \(I\) es el recíproco de la masa \(m\), mientras que la velocidad angular \(\vec{\omega\}) es recíproca a la aceleración lineal \(\vec{a}\) en el movimiento lineal:

\[\begin{align}v&=r\cdot \omega\\L=m\cdot r\cdot v&=m\cdot r\cdot (r\cdot \omega)=m\cdot r^2\cdot \omega \\ L&=I\cdot \omega \end{align} \]

Fig. 3: Vectores que forman el momento angular.

Momento angular y las leyes de Newton

La segunda ley de Newton sobre el movimiento lineal establece que la aceleración \(a\) de un objeto que se mueve linealmente es proporcional a la fuerza neta \(F\) que actúa sobre el cuerpo y tiene una magnitud inversamente proporcional a su masa —como se describe en la ecuación siguiente—:

\[\begin{align}\sum F&=a\cdot m\\a&=\dfrac{\sum F}{m}\end{align} \]

Esto también puede aplicarse en términos de momento angular, cuando un objeto está girando.

La segunda ley de Newton para el movimiento angular establece que la aceleración angular \(\alpha\) de un objeto en rotación es directamente proporcional a la suma de los torques \(\tau\) que actúa sobre el eje de rotación del objeto. Por otra parte, la aceleración angular es inversamente proporcional al momento de inercia \(I\) con respecto al eje de rotación. Esto se muestra en la siguiente ecuación, donde \(\alpha\) es la aceleración rotacional, mientras que \(I\) es el momento de inercia, que es el recíproco de la masa en el movimiento lineal:

\[\begin{align}\sum \tau &= I\cdot \alpha \\ \alpha &=\dfrac{\sum \tau }{I} \end{align}\]

Ley de Newton generalizada para el movimiento angular

La segunda ley de Newton puede expresarse en términos de momento lineal —en los casos de movimiento lineal— cuando la masa es constante. Del mismo modo, para el movimiento angular cuando el momento de inercia es constante, la ley de Newton también puede expresarse en términos de momento angular.

La tasa de cambio del momento angular de un cuerpo con respecto a algún punto del espacio es igual a la suma del torque que incide sobre el cuerpo con respecto a ese punto:

\[ \sum \tau =\dfrac{\Delta L}{\Delta t}\]

Aquí, el torque es el producto de la fuerza aplicada multiplicada por la distancia perpendicular al eje de rotación y el seno del ángulo entre ellos. El torque se mide en \(\mathrm{N\cdot m}\).

En los siguientes ejemplos se aplica lo que has aprendido:

Conservación del momento angular y ejemplos

Como dice la ley generalizada de Newton para el movimiento angular, la suma de los torques es igual a la tasa de cambio del momento angular.

Sin embargo, si la suma de los torques que actúan sobre un cuerpo o sistema con respecto a un punto del espacio es cero, la conservación del momento angular establece que el momento angular total de un cuerpo con respecto a ese punto se conserva y permanece constante. Esto puede expresarse, matemáticamente, de la siguiente manera:

\[\begin{align}\sum \tau =\dfrac{\Delta L}{\Delta t}=0&\rightarrow \Delta L=0\\L_{inicial}&=L_{final} \end{align}\]

Momento angular en un sólido rígido

Imaginemos, ahora, un sólido rígido.

Para entender el momento angular en un sólido rígido, consideramos que este gira alrededor de un eje —como podría ser su eje de rotación— con una velocidad angular \(\omega\).

Con tal de simplificar el problema, nos centramos ahora en una partícula \(m_i\) que forma el sólido. Esta partícula, en función de su posición, tendrá en radio con respecto al eje de rotación \(r_i\). Por tanto, podremos calcular su momento angular de la siguiente manera:

\[\begin{align}L_i&=m_i\cdot v_i\cdot r_i \\ L_i&=m_i\cdot \omega\cdot r_i^2 \end{align}\]

Como ya sabemos el momento angular de una partícula, ahora es tan sencillo como sumar los momentos angulares de todas las partículas que conforman el sólido rígido, del tal manera que tendremos:

\[\sum L_i=\omega \sum_{i=1}^N m_i r_i^2\]

Si te fijas, el sumatorio del producto de las masas y los radios no es el momento de inercia de la figura. Por tanto, se obtiene la fórmula que relaciona el momento angular y el momento de inercia que habíamos visto antes:

\[L=I\cdot \omega\]